ONTHI DH CD, BDHSG (GTLN,GTNN)

Chuyên đề: TÌM GTLN, GTNNCâu 1... Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1... Khi đó btoán đã cho trở thành : Xác định vị trí của M trên Ox sao cho MA+MB đạt G

Chuyên đề: TÌM GTLN, GTNN

Câu 1 Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007

Cho x, y, z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

Lời giải : Với x, y > 0 ta chứng minh :

4(x3 + y3)  (x + y)3 () Dấu = xảy ra  x = y Thật vậy ()  4(x + y)(x2 – xy + y2)  (x + y)3

 4(x2 – xy + y2)  (x + y)2 do x, y > 0

 3(x2 + y2 – 2xy)  0  (x – y)2  0 (đúng) Tương tự ta có 4(y3 + z3)  (y + z)3 Dấu = xảy ra  y = z

4(z3 + x3)  (z + x)3 Dấu = xảy ra  z = x

Do đó 34 x 3 y3 34 y 3 z3 34 z 3 x3  2 x y z    6 xyz 3

6 x

z z

y y

x













xyz

1 xyz 6 P

3



















 Dấu = xảy ra  







 z y x

1 xyz

 x = y = z = 1 Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1

Câu 2 Đề Dự bị 2 Đại học khối B năm 2006

Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 4. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2

Lời giải : Ta có A =

y

Với x = y = 2 thì A = 9

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9

2

Câu 3 Đề Dự bị 1 Đại học khối B năm 2006

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 11 4 1 72 ,

Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức :  2 2  2 2  2

2

2

Khi x = 3 thì y =15

2 nên giá trị nhỏ nhất của y là 15

2

Câu 4 Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006

Cho hai số thực x 0, y 0  thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x y xy  x2y2 xy

Lời giải : Từ giả thiết suy ra: 2 2

x  y  ta có: a b a  2b2 ab  1

Khi đó A a 3b3a b a   2b2 ab a b  2

Từ (1) suy ra: a b a b 2 3ab

Vì

2

a b ab

2



4

Suy ra: Aa b 2 16

2

  thì A 16. Vậy giá trị lớn nhất của Alà 16

Câu 5 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c

Ta có:

3

2 3





 a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0

 (a + b)(a – b)2  0 (h/n)

Tương tự:

3

2 3





3

2 3





Cộng vế theo vế của ba bđt (1), (2) và (3) ta được:

 

Vậy: S ≤ 3  maxS = 3 khi a = b = c = 1

Cõu 6 Cho x, y, z > 0 thỏa món xy yz zx 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x z

z z y

y y x

x











2 2 2

Cõu 7 Cõu V.(1 điểm) Cho x, y, z > 0 thỏa món x + y + z = 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức









z y

y x

x

Cõu 8 Cho ba số thực khụng õm x, y, z thỏa x + y + z = 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức















Cõu 9 Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2009 + b2009 + c2009 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a4 + b4 + c4

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có

) 1 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4

2005

a a

a a a a

a a







   



Tơng tự ta có

) 2 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4

2005

b b

b b b b

b b







   



) 3 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4

2005

c c

c c c c

c c







   

(1), (2), (3) ta đợc

) (

2009 6027

) (

2009 )

( 4

6015

4 4 4

4 4 4 2009

2009 2009

c b a

c b a c

b a



























P

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

Cõu 10 Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món 1 1 1x yz 2009 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:

2x y z   x2y z x y 2z

Áp dụng bất đẳng thức Cụ- Si, ta cú:

4ab ≤ (a + b)2 1

4

a b





1 1 1

2x y z   x2y z x y 2z

Vậy MaxP = 2009

4 khi x = y = z =

12 2009

Tìm GTLN của xy z 1 zy x 2 zx y 3

M

xyz



Giải: Đk : z1,x2,y3 Ta có :

2

2 2 2 2 3

y

M



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6

Câu 12 Cho 2 2 2

1

Ta có:

1

2

x y z x y z xy yz zx

,

y  z  

Vậy Min S = -1/2

Mặt khác , ta có :

2

2

x y

z x







3

Vậy Max S = 1

Câu 13 Cho x, y, z > 0 thõa xyz = 1

Tìm GTNN của

S

Giải:

Ap dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:

3 3

Tương tự:

3 3

1 y z 3

yz yz

 



3 3

1 z x 3

zx zx

 



Suy ra:

S

3 3 3

xy yz zx

BĐT xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy MinS = 3 3 khi x = y = z = 1

Câu 14 Cho 0 2 2

xy

x y xy x y xy









A

x y

 

Giải:

Ta có:

0

xy

xy x y x y xy









2 2

0

Ta đặt a = 1/x, b = 1/y

2 2

0

a b

a b a b ab

 



 

   



Cách 1:

Ta có: A = ( a + b)2

A a b

  

Ta biết :

3

( vì a + b > 0 )

“ = “ xảy ra  a = b

Từ đó suy ra :

3

16

A

“ = “ xảy ra  a = b = 2

Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2

Cách 2 :

Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)2 -3ab

Màà:

2

2 2

3

a b

a b a b a b vi a b

A a b



Vậy MaxA = 16 khi x = y = ½

Cách 3:

Đặt S = x + y , P = xy với S2 - 4P 0

Từ gt suy ra :

2

3

P hayP S

SP S P









A

2

P





Vậy MaxA = 16 ( khi x = y = ½ )

Câu 15 Cho 2 02

1.

xy









Ta có: S x y 1 y x 1 (x2y2)(x y 2)  2 2

2

x y

0

0, 0

x y xy

x y



    



∙x0,y0 ta không xét

∙x < 0, y < 0

x y

  



 

  



Ta có :

1 1

2 2

x x







2

2 1

2

x y

S x y y x

y x

y x





 







 Sxy x y   S 1 xy x y  1

 S 1 x1 y1 0

 S  1

0 1

" "



2

x y





Câu 16 Cho x y   xy  3.

Tìm GTLN của S = x 1 y1

Giải:

, 0

x y

2

x y

xy



2

x y

xy 

2

x y

Ta cĩ S= x   1 y   1 2( x    1 y 1)  2( x y   2) (b)

Từ (a) và (b) S = x 1 y 1 2(8) 4

“ = “  x   y 3 Vậy MaxS = 4 khi x = y = 3

Câu 17(ĐH-A-2006) Cho hai số thực x 0,y 0  thay đổi và thỏa đk x y xy x   2y2 xy

x y x  y  xy Đặt a=1x;b1yta được a+b=a2-ab+b2.(1) A=a3+b3 =(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)2 Từ (1) suy ra a+b=(a+b)2-3ab

         

2



1

2

Câu 17 (ĐH-B-2006).Cho x,y là các số thực thay đổi

Tìm GTNN của biểu thức A= x 1 2y2  x 1 2y2  y 2

:

x 1 2y2  x 1 2y2  4 4y 2 2 1 y 2  A 2 1 y  2 y 2 f y   

1 y

Lập bảng biến thiên f(y) trên  ;2, từ đó ta được min f f;2 1 2 3

3

 

1

3

Câu 18 (ĐH-A-2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1

2

x y z

y y 2z z



z z 2x x



2

z x y

x yx 2y y



HD:Ta cóx y z2   2x x;y z x2  2y y;z x y2   2z z 

Py y 2z z2x x

z z 2x x +x x 2y y2z z



9

 

9

 

4b c 2a

z z

9

 



Dấu “=” xảy ra  x y z 1   Vậy Min P = 2

Câu 19 (ĐH-B-2007) Cho x>0,y>0,z>0 thay đổi Tìm GTNN của:P=x x 1

2 yz



2 xz



z

2 xy



HD: Biến đổi P=x22 y22 z22 x2 xyzy2z2 Do x2+y2+z2 = x22y2 +y22z2 +z22x2  xy+yz+zx nên P

      ; Xét hàm số f(t) = t2 t2 1với t>0 Từ BBT của f(t) suy ra f t  3, t 0

2

Câu 20 (ĐH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 3cos x 4sin x44 22

3sin x cos x





HD : Đặt t=sin2x , t0;1 Ta được y =1+ 2

1

6t 2

Từ BBT của hsố y ta được : max y =8/5 và min y = 4/3

Câu 21 (ĐH TCKT -2000) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y =2sin8x+cos42x

4 4

2



3

D

2







Câu 22 (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001) Tùy theo giá trị của tham số m , hãy tìm GTNN của

biểu thức : P=(x+my-2)2+(4x+2(m-2)y-1)2

x my 2

4x 2 m 2 y 1



 Khi m2 Min P =0

 Khi m= -2 thì P= (x-2y-2)2+(4x-8y-1)2 Đặt t = x-2y-2 ta được P=t2+(4t+7)2 =7

2

t

Câu 23 (ĐH GTVT 2000) Tùy theo giá trị của tham số m , hãy tìm GTNN của biểu thức :

P=(x-2y+1)2+(2x+my+5)2 HD: Giải tương tự bài 10

Câu 24 Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 2

2





   Ta có y = sin22x-2sin2x+5 Đặt t = sin2x , t  1;1 ta được y(t)=t2 -2t+5

y’ = 2t-2 ; y’=0 t=1.Từ BBT của hàm số y(t)=t2-2t+5 trên1;1ta thấy hàm số nghịch biến

4





4





Câu 25 Tìm GTNN của y = 4x 12x 132  + 4x2  28x 53 HD: ta có 4x2-12x+13 = (2x-3)2+4

4, x

  và có 4x2-28x+53 = (2x-7)2+4 4, x.Do đó y = 2x 3 2(0 2) 2 + 2x 7 20 2 2

Trong mp Oxy xét điểm M(2x;0) chạy trên Ox,hai điểm A(3;2) và B(7;2) cố định.Ta được y

= MA+MB Khi đó btoán đã cho trở thành : Xác định vị trí của M trên Ox sao cho MA+MB đạt GTNN

2

Câu 26 Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = -sin3x-3sin3x+3 HD: đặt t=sinx, t  1;1.Ta được y=t3

2





2





Câu 27 Tìm GTNN của biểu thức A = 22 2



HD: Ta có A =3

2

y

Dấu hiệu :

2

x

+

2

y

Ta được : A=3cos2t-4sintcost = 2sin2t-32cos2t+32

Vì 522sin2t-32cos2t52nên -1 A4

Vậy MinA =-1;MaxA=4