BAI TAP ANH XA TUYEN TINH

Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập sinh hoặc cơ sở của U. Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0 dimImf + dimKerf = dimUTìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập sinh hoặc cơ sở của U. Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0 dimImf + dimKerf = dimUTìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập sinh hoặc cơ sở của U. Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0 dimImf + dimKerf = dimU

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TRẦN NGỌC DIỄM

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

f: U → V là axtt nếu

i) f(x+y) = f(x) + f(y), ∀x, y∈U ii)f(λx) = λf(x), ∀x∈ U, ∀ λ ∈K

* f(M) = {f(x)/ x∈ M}

* f − 1(N) = {x/ f(x) ∈ N}

* Imf = f(U) : ảnh của f

* Kerf = f −1(0) : nhân của f

Một số tính chất cần nhớ

Chú ý

1. Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập sinh hoặc cơ sở của U

2. Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0

3. dimImf + dimKerf = dimU

i. Nếu M ≤ U thì f(M) ≤ V

ii. M ≤ U, M = < S> ⇒ f(M) = < f(S)>

f : U → V tt:

CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1. Cho bởi biểu thức tường minh:

( 1 , , 2 3 ) ( 1 2 3 , 2 3 1 2 2 )

2. Cho thông qua ảnh của cơ sở

Cho {e1, …, en} là cơ sở của U, {f1, …, fn} là hệ vector tùy ý trong V

Khi đó tồn tại duy nhất axtt f: U→ V sao cho f(ei) = fi, i = 1, 2, …, n

Với x = α1e1 +…+ αnen ∈V: f(x) = α1f1 +…+ αnfn

Cách cho axtt

1 Tìm axtt f: R2 → R3 xác định bởi

f (1,1) = (1,−2,0), f (2, − 3) = (1,2,3)

2 Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

( 1,1,2 ) ( 1,2,3 ; ) ( 0,3,1 ) ( 1,1,1 ; ) ( 2,1, 2 ) ( 0,3,4 )

Tìm f(2,0,1)

Cách cho axtt

1 Cho f: R3 → R3,

Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf

2. f: R4 → R3,

Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf

f x y z t = + − x z t x + − + y z t − + − + x y z t

Cách cho axtt

3 Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

( 1,1,2 ) ( 1,2,3 ; ) ( 0,3,1 ) ( 1,1,1 ; ) ( 2,1, 2 ) ( 0,3,4 )

Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf

4 Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

( 1,0, 1 ) ( 1,2,3 ; 1,1, 1 ) ( ) ( 1,1,1 ; ) ( 2,1,2 ) ( 0,3,4 )

Tìm m để u =(1,-2,m) thuộc về Kerf

Cách cho axtt

5. Tìm cơ sở và chiều của Kerf, Imf nếu f cho bởi

f: R3 → R3 : f(1,1,1) = (1,2,1),

f(1,1,2) = (2,1,-1), f(1,2,1)= (5,4,-1)

MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

A gọi là ma trận của f trong 2 cơ sở E, F

f : U → V tuyến tính, dimU = n, dim V = m

E = {e1, …, en}, F = {f1, …, fm} là cơ sở của U và V

[ ] F E ( [ ] [ ] 1 F 2 F [ ] n F )

[ f x ( ) ] [ ] [ ] F = f F E x E

Ma trận axtt

1. Cho f : R3 → R2, f(x,y,z) = (x+y-z, x+z)

a. Xác định ma trận của f trong các cơ sở chính tắc của R3 và R2.

b. Xác định ma trận của f trong các cơ sở

E = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} và F = {(2,1), (1,-1)}

Ma trận axtt

2 Cho f : R3 → R3,

f(x, y, z) = (x+y − z, y+z, 3x+y)

a. Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E của R3

b. Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và

cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}

c. Xác định ma trận của f trong cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}

Ma trận axtt

3 Cho axtt

:

1,1,0 , 2,1, 1 , 1,1, 1 1,1, 1 , 1,1,2 , 1,2,1

E

F

A

−

a) Tìm f(2,0,-1)

b) Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf

Ma trận axtt

4 Cho axtt

:

{ 1,1,0 , 2,1, 1 , 1,1, 1 }

A

a) Tìm f(2,0,-1)

b) Tìm m để (m, 2, 0) thuộc về Kerf