Bài tập Đại số tuyến tính – PGS.TS.. b Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở B,C, với... Trong các ma trận sau đây, ma trận nào chéo hóa được?. Nếu chéo hóa được, xác định ma trận chéo hóa
Trang 1Bài tập (Đại số tuyến tính – PGS.TS Đinh Ngọc Thanh)
1 Trong các ánh xạ sau đây, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính
f :ℝ →ℝ , f x , x , x = x , 0, 0
f :ℝ → ℝ , f x , x , x = x , x−
f :ℝ → ℝ , f x , x , x , x = x +x , x −x
f :ℝ →ℝ , f x , x , x = x x , x
f :ℝ → ℝ , f x , x , x = x +3, x , x
2 Cho f : V →W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ và { 1 2 r}
S = u , u , , u là một hệ các vectơ của V Chứng minh rằng nếu hệ vectơ ( ) ( )1 2 ( )r
f u , f u , , f u độc lập tuyến tính (trong W ) thì hệ vectơ S cũng độc lập tuyến tính (trong V )
3 Cho ánh xạ f :ℝ2 →ℝ xác định bởi 2
f x, y = x+2y, 2x+y a) Chứng minh rằng f là một toán tử tuyến tính trên ℝ 2
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B ={u1 =( )2,1 , u2 =( )3, 2}
4 Cho ánh xạ tuyến tính f :ℝ3 →ℝ xác định bởi 2
( 1 2 3) ( 1 2 3)
f x , x , x = 2x , x −x a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B: e1 =(1, 0, 0 , e) 2 =(0,1, 0 , e) 3 =(0, 0,1) trong ℝ 3 và cơ sở C : f1 =( )1, 0 , f2 =( )0,1 trong ℝ 2
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B trong ℝ và cơ sở 3
: f 1, 2 , f 1,1
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B′: e1′ =(1,1,1 , e) 2′ =(0,1, 2 , e) 3′ =(0, 0,1) trong ℝ 3 và cơ sở C′ trong ℝ 2
5 Cho ánh xạ f :ℝ4 →ℝ xác định bởi 3
f x , x , x , x = x −2x , x −2x , x −2x
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B,C), với
Trang 2{ ( ) ( )
e 1, 1, 0, 0 , e 0,1, 1, 0 , , e 0, 0,1, 1 , e 0, 0, 0,1
B
,
C ={f1 = (1,1,1 , f) 2 =(1,1, 0 , f) 3 =(1, 0, 0) }
6 Cho phép biến đổi tuyến tính f :ℝ3 →ℝ xác định bởi 3
( 1 2 3) ( 2 3 1 2 1)
f x , x , x = x −2x , x +x , x Tìm ma trận của f đối với cơ sở B: e1 =(1,1, 0 , e) 2 =(0,1,1 , e) 3 =(1, 0,1)
7 Xác định ánh xạ tuyến tính f :ℝ3 →ℝ có ma trận đối với cơ sở 3
: e = 1,1, 0 , e = 0,1,1 , e = 1, 0,1
1 2 0
1 2 1
Với u =(3, 2, 0− ), tìm tọa độ của f u( ) đối với cơ sở B
8 Cho phép biến đổi tuyến tính f :ℝ4 →ℝ với ma trận đối với cơ sở chính tắc là 4
1 0 2 1
1 2 0 1 A
2 0 1 1
0 0 2 1
Xác định Ker f và tìm một cơ sở của nó
9 Cho ánh xạ tuyến tính f :ℝ4 →ℝ xác định bởi 3
)
f x , x , x , x 2x 3x 5x 6x , 3x 4x 6x 7x ,
3x x x 4x ,
Tìm một cơ sở của Ker f và một cơ sở của Im f
10 Cho ánh xạ tuyến tính f :ℝ3 →ℝ xác định bởi 3
f x , x , x = x −2x +x , x +x , x +x −2x
Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho Ker f , Im f
11 Trong các ma trận sau đây, ma trận nào chéo hóa được ? Nếu chéo hóa được, xác định
ma trận chéo hóa nó cũng như ma trận chéo nhận được
1 3
−
2 3
Trang 3c)
1 0 0
1 1 1
2 0 1
−
d)
4 4 5
− − −
e)
8 4 1
− −
f)
0 0 1
0 1 1
1 1 1
12 Cho B ={e , e , e1 2 3} là một cơ sở của không gian vectơ V Phép biến đổi tuyến tính
f : V→ V có ma trận đối với cơ sở này là A Hãy tìm một cơ sở của V sao cho đối với
cơ sở này ma trận của f là một ma trận chéo
a)
2 2 0
0 2 0
−
5 6 2
6 6 1
−