b Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B... Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.. Chứng minh rằng: a Các tứ giác ADEG, BCKH nội tiếp được đường tròn.. Xác định vị trí của
Trang 1ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008-2009 TỈNH LẠNG SƠN
Câu 1 (2 điểm)
a) Với x > 1, rút gọn biểu thức:
A
x 1
=
b) Tìm x để tích A.B = 8
Giải:
a) Với x > 1 ta có:
2 2
2
x (x 2x 1)
A
x(x 1) x(x 1)
x
+
Vậy A = x ; B 2
x 1
=
−
b) Vì A.B = 8 và x > 1 nên: x. 2 8
x 1=
−
⇔ 2x 8 x 8= −
2
x 4 x 4 0 ( x 2) 0
x 2
x 4
⇔ = (thoả mãn điều kiện x > 1)
Vậy x = 4
Câu 2: (1 điểm)
a) Hãy biểu diễn hai điểm A(2; 3); B(-2; -1) trên mặt phẳng toạ độ b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
Giải a) Biểu diễn điểm A, B trên mặt phẳng toạ độ Oxy:
b) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a ≠ 0) (d)
Theo đầu bài A ∈ (d) ⇒ 3 = 2a + b (1)
B ∈ (d) ⇒ -1 = -2a + b (2)
Từ (1) và (2) giải hệ:
Trang 2b 1 a 1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1
Câu 3: (2 điểm)
Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho: x2 – x1 = 3, khi đó tính x1 , x2
Giải a) Khi m = 1 ta có: x2 – 4x + 1 = 0
∆’ = 4 – 1 = 3 1
2
= −
= +
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −2 3 ; x2 = +2 3 b) Ta có:
2m 1
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 ⇔∆’ ≥ 0
⇔ 2m + 1 ≥ 0
2
−
≥
Với m 1
2
−
≥ phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi đó theo Viét ta có: x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = m2
theo đầu bài: x2 – x1 = 3
⇔ (x2 – x1)2 = 9 (bình phương 2 vế)
x +x −2x x =9
x +x −4x x =9
⇔ 4(m + 1)2 – 4m2 = 9
⇔ 4(m2 + 2m + 1) – 4m2 = 9
⇔ 4m2 + 8m + 4 – 4m2 = 9
⇔ 8m = 5
8
= (thoả mãn m 1
2
−
Với m 5
8
= ta có:
2 1
2 1
5
8
− =
Trang 32 1
Vậy m 5
8
= và x1 1; x2 25
Câu 4 (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E Hạ DH, EG vuông góc với AB (điểm H, G thuộc AB), DH cắt AC tại K Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ADEG, BCKH nội tiếp được đường tròn
b) AD2 = AK.AC
c) AE.AC+BE.BD = 4R2
d) M là một điểm nằm trên đường tròn đường kính AB Xác định vị trí của điểm M để MA + MB lớn nhất, tính giá trị đó
Giải:
L
J
K
G H
E
O
C
a) Ta có: ·ADB 90= 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ·ADE 90= 0
·EGA 90= 0 (gt)
⇒ ·ADE EGA 180+· = 0 ⇒ Tứ giác ADEG nội tiếp
Chứng minh tương tự ta có tứ giác BCKH nội tiếp
b) Giả sử DH cắt (O) tại J ta có: AB ⊥ DJ ⇒ sđ ºAJ=sđ »AD
mà: ·ADJ 1sdAJº
2
= và ·ACD 1sdAD»
2
=
⇒ ·ADJ ACD= · ⇒ ·ADK ACD=· Xét ∆ADK và ∆ACD ta có: ·ADK ACD=· (cmt) và µA chung
⇒∆ADK đồng dạng ∆ACD
Trang 4c) Ta có ∆AGE đồng dạng ∆ACB (góc nhọn góc vuông)
Từ (1) và (2) ta có: AE.AC + BE.BD = AG.AB + BG.AB
= AB(AG+BG)=AB.AB = 4R2
Vậy AE.AC + BE.BD =4R2
d) Hạ ML⊥AB tại L ta có:
MA2 + MB2 = AB2 (đl pitago)
⇔ (MA+MB)2 – 2MA.MB = 4R2
⇔ (MA+MB)2 = 4R2 + 2MA.MB
2
2
MA+MB lớn nhất ⇔ ML lớn nhất ⇔ ML = R
Vậy M là điểm chính giữa của cung AB ⇒ MA+MB = 2 R2+R2 =2R 2
Câu 5 (1 điểm)
Cho a.b ≥ 1 Chứng minh: a2 + b2≥ a + b, dấu bằng xảy ra khi nào ?
Giải
Xét a.b ≥ 1 ta có: a, b ≥ 0 hoặc a, b <0
Trường hợp 1: với a <0; b <0 hiển nhiên a2 + b2 > a + b (loại)
Trường hợp 2: với a ≥ 0; b ≥ 0 theo bất đẳng thức coshi ta có:
a2 + b2 ≥ 2ab mà ab ≥ 1 ⇒ a2 + b2≥ 2 ⇒ a2 + b2 – 2 ≥ 0 Giả sử: a2 + b2≥ a + b
⇔ 2a2 + 2b2≥ 2a + 2b
⇔ 2a2 + 2b2 – 2a – 2b ≥ 0
⇔ (a2 – 2a +1) + (b2 – 2b + 1) + (a2 +b2 – 2) ≥ 0
⇔ (a - 1)2 + (b - 1)2 + (a2 +b2 – 2) ≥ 0 luôn đúng Vậy: a2 + b2≥ a + b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
-Hết -Nguyễn Trần Khánh – Phòng GD&ĐT huyện Cao Lộc - Lạng Sơn