KINH TẾ LƯỢNG - Chương 4: Tự tương quan

Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng tự tương quan Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan Ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất khi có tự tương quan Hậu quả của việc sử dụng phương pháp OLS khi có tự tương quan Phát hiện tự tương quan Các biện pháp khắc phụ

Chương 4: Tự tương quan

(Autocorrelation)

 Bản chất và nguyên nhân của hiện

tượng tự tương quan

 Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi

có tự tương quan

 Ước lượng tuyến tính không chệch tốt

nhất khi có tự tương quan

 Hậu quả của việc sử dụng phương

pháp OLS khi có tự tương quan

 Phát hiện tự tương quan

Bản chất và nguyên nhân của hiện tượng tự tương quan

1. Tự tương quan là gì ?

Trong mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển,

ta giả định rằng không có tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên ui, nghĩa là:cov(ui, uj) = 0 (i  j)

Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả

định rằng sai số ứng với quan sát nào

Bản chất và nguyên nhân của

hiện tượng tự tương quan

 Tuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện

tượng mà sai số của các quan sát lại phụ

thuộc nhau, nghĩa là:

cov(ui, uj)  0 (i  j) Khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan.

 Sự tương quan xảy ra đối với những quan sát

“cắt ngang” đgl “tự tương quan không

gian”.

 Sự tương quan xảy ra đối với những quan sát

“chuổi thời gian” đgl “tự tương quan thời

gian”.

2 Nguyên nhân của tự tương quan

 Quán tính: mang tính chu kỳ, VD: các chuổi số liệu

thời gian về: GDP, chỉ số giá, sản lượng, thất

nghiệp, …

 Sai lệch do lập mô hình: bỏ sót biến, dạng hàm sai.

 Hiện tượng mạng nhện: phản ứng của cung của

nông sản đối với giá thường có một khoảng trễ về

thời gian: QSt =  1 +  2Pt-1 + ut

 Độ trễ: một hộ chi tiêu nhiều trong khoảng thời

gian t có thể do chi tiêu ít trong giai đoạn t-1

Ct = 1 + 2It + 3Ct-1 + ut

 Hiệu chỉnh số liệu: do việc “làm trơn” số liệu  loại

bỏ những quan sát “gai góc”.

Ước lượng OLS khi có tự tương

quan

 Giả sử tất cả các giả định đối với mô

hình hồi qui tuyến tính cổ điển đều thoả mãn trừ giả định không tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên ut

 và không còn là ước lượng hiệu

quả nữa, do đó nó không còn là ước lượng không chệch tốt nhất

^

1

 ˆ2

Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan

 Xét mô hình với số liệu chuổi thời gian:

E(et) = 0; Var(et) = 2 ; Cov(et, et+s) = 0

(*): phương trình tự hồi quy bậc nhất Markov, ký hiệu:

AR(1)

Ước lượng bình phương nhỏ

nhất khi có tự tương quan

 Với mô hình AR(1), ta có thể chứng minh được:

 Nếu =0, thì phương sai sai số của AR(1) bằng phương sai sai số của OLS.

 Nếu sự tương quan giữa các u t và u t-1 rất nhỏ, thì phương sai sai số của AR(1) cũng bằng phương sai sai số của OLS.

 Vậy n ếu  tương đối lớn , các ước lượng của  vẫn không chệch nhưng không còn hiệu quả nữa nên chúng không là “BLUE”.

Ước lượng tuyến tính không

chệch tốt nhất khi có tự tương

quan

 Ước lượng bình phương tổng quát (GLS) của 1

phối hợp được tham số tự tương quan  vào công thức ước lượng Đó chính là lý do vì sao ước lượng bình phương nhỏ nhất tổng quát là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất

và

Ước lượng tuyến tính không

 Khi  = 0, không có thông tin bổ sung

cần được xem xét và vì vậy cả hai hàm ước lượng GLS và OLS là như nhau

Hậu quả của việc sử dụng OLS

khi có tự tương quan

1. Các ước lượng OLS vẫn là các ước

lượng tuyến tính, không chệch,

nhưng chúng không phải là ước lượng hiệu quả nữa

2. Phương sai ước lượng được của các

ước lượng OLS thường là chệch Kiểm định t và F không còn tin cậy nữa

Ví dụ

 Giả sử hãy xem xét khoảng tin cậy

95% từ các ước lượng OLS[AR(1)] và GLS, giả sử giá trị đúng của 2 = 0

 Xem xét một giá trị ước lượng cụ thể

của 2, chẳng hạn b2

 Chúng ta chấp nhận giả thuyết H0: 2

= 0, nếu dùng khoảng tin cậy OLS; nhưng bác bỏ H0, nếu dùng khoảng tin cậy GLS

Ví dụ

Hậu quả của việc sử dụng OLS khi có tự tương quan

3 = RSS/df là ước lượng chệch của  2 và

trong một số trường hợp là chệch về phía dưới (underestimate)

4 Giá trị ước lượng R 2 có thể bị ước lượng

cao hơn (overestimate) và không tin cậy khi dùng để thay thế cho giá trị thực của

R 2

5 Phương sai và sai số chuẩn của các giá trị

dự báo không được tin cậy (không hiệu

quả)

2

 ˆ

Phát hiện tự tương quan

1. Phương pháp đồ thị

2. Kiểm định d của Durbin – Watson

3. Kiểm định 2 về tính độc lập của các

phần dư

Phương pháp đồ thị

 Giả định về sự tự tương quan liên quan đến

các giá trị ut của tổng thể, tuy nhiên, các

giá trị này không thể quan sát được.

 Ta quan sát et, hình ảnh của et có thể cung

cấp những gợi ý về sự tự tương quan.

 Ta có thể chạy OLS cho mô hình gốc và thu

thập et từ đó Vẽ đường et theo thời gian và quan sát.

Phát hiện tự tương quan

2 Kiểm định d của Durbin – Watson

Thống kê d Durbin – Watson được định nghĩa như

sau:

d là tỷ số giữa tổng bình phương của chênh lệch giữa

2 sai số liên tiếp với RSS

Do et2 và et-12 chỉ khác nhau có một quan sát, nên

ta có thể xem chúng bằng nhau d có thể được

1 2

2 2

t

t t t

t n

t

t

n t

t t

e

e e e

e e

) e

e

( d



  e t e t 1

Kiểm định d của Durbin –

Kiểm định d của Durbin – Watson

Kiểm định d của Durbin –

Watson

Giả thuyết H0 Quyết định nếu

Không có tự tương quan

dương

Không có tự tương quan

dương

Không có tự tương quan âm

Không có tự tương quan âm

Không có tự tương quan âm

hoặc dương

Bác bỏ Không qđ Bác bỏ Không qđ

Kiểm định d của Durbin –

Watson

quyết định, => một số cải biên kiểm định d:

Kiểm định d của Durbin –

Kiểm định d của Durbin –

Watson

Các bước thực hiện:

 Chạy mô hình OLS và thu thập phần

sai số et

 Tính d theo công thức trên.

 Với cở mẫu n và số biến giải thích k,

tìm giá trị tra bảng dL và dU

 Dựa vào các quy tắc kiểm định trên

để ra kết luận

Kiểm định Breusch-Godfrey (BG)

 Kiểm định này cho phép các biến ước lượng

không ngẫu nhiên là các biến trễ của Yt, các mối tương quan bậc cao AR(2), AR(3), … và

những trung bình di động bậc cao của sai

số “trắng”, t trong mô hình.

 Giả sử có mô hình hồi quy hai biến

Yt =  1 +  2 Xt + ut, Lưu ý: Xt có thể là biến trễ của Yt.

 Giả sử ut có sự tự tương quan bậc p, AR(p):

Kiểm định Breusch-Godfrey (BG)

Các bước thực hiện kiểm định BG:

1 Ước lượng OLS mô hình gốc và thu thập sai số et, et-1,

et-2, …, et-p.

2 Hồi quy et theo các biến Xt, và các biến et-1, et-2, …, et-p

Ví dụ, p = 3, thì ta thêm 3 biến trễ vào mô hình Lưu

ý, khi chạy mô hình này, ta chỉ có (n-p) quan sát.

e t = 1 + 2 X t + 1 e t-1 + 2 e t-2 + … + p e t-p + t,

Thu thập R 2 từ mô hình ước lượng này.

3 N ếu cở mẫu lớn, BG chứng minh rằng:

(n – p)R 2 ~  p2

Nếu (n – p)R 2 > p2 tra bảng ở một mức ý nghĩa cho

trước, ta bác bỏ giả thuyết H



Số phần dư

dương tại t -

1

A11(E11)

A12(E12)

R2

Kiểm định 2 về tính độc lập của

các phần dư

 Để kiểm định giả thuyết về tính độc lập

của các phần dư ta có thể tiến hành kiểm định giả thuyết H0: Các hàng và cột độc lập với nhau; với giả thuyết đối: H1: Các hàng và cột không độc lập với nhau

 Để kiểm định giả thuyết H0 nêu trên ta

dùng tiêu chuẩn kiểm định  2 :

dư Nếu xảy ra trường hợp trái lại thì ta

n C

Các biện pháp khắc phục

Những việc cần làm khi phát hiện sự tự tương

quan:

1. Hãy xem xét xem hiện tượng này có phải là tự

tương quan thuần túy (pure autocorrelation)

hay là do xác định dạng mô hình sai.

2. Nếu là tự tương quan thuần túy, ta dùng

những cách chuyển đổi mô hình thích hợp.

3 Đối với mẫu lớn, ta có thể dùng phương pháp

Newey-West để thu thập s.e của các ước

lượng OLS đã được điều chỉnh cho tự tương

quan.

Các biện pháp khắc phục

1 Trường hợp đã biết cấu trúc của tự

tương quan: Phương pháp GLS:

Trong thực hành, người ta thường giả sử rằng ut theo mô hình tự hồi qui bậc nhất, nghĩa là:

ut = ut-1 + et (*)

Trong đó  < 1 và et thoả mãn các giả định của phương pháp OLS Giả sử (*) là đúng thì vấn đề tương quan chuỗi có thể được giải quyết thoả đáng nếu hệ số

ta xét mô hình hai biến:

Trừ (4.23) cho (4.25) ta được:

yt - yt-1 = 1(1 - ) + 1 (xt - xt – 1) + (ut - ut – 1)

= 1(1 - ) + 1 (xt - xt – 1) + et (4.26)

 Phương trình hồi qui (**) được gọi là phương trình sai phân tổng quát (Generalized Least Square – GLS)

 Để tránh mất mát một quan sát này, quan sát đầu của y và x được biến đổi như sau:

2 Trường hợp  chưa biết:

Thông thường cấu trúc của tự tương quan

là không biết nên GLS khó thực hiện

2 1 Phương pháp sai phân cấp 1

 Nếu  = 1 thì phương trình sai phân

tổng quát (4.27) quy về phương trình sai phân cấp 1:

y t – y t – 1 =  1 (x t – x t – 1 ) + (u t – u t – 1 ) =  1 (x t – x t – 1 ) + e t

Hay:

yt = 1  xt + et (4.28)Trong đó:  là toán tử sai phân cấp 1 Để ước lượng hồi qui (4.28) ta sẽ sử dụng mô

Giả sử mô hình ban đầu là:

 Nếu  = -1 nghĩa là có tương quan âm hoàn toàn Phương trình sai phân tổng quát bây giờ có dạng: (suy ra từ 4.27)

2 2 Ước lượng  dựa trên thống kê Durbin-Watson

d-d  2(1 - ) hay

=> xấp xỉ và có thể không đúng với mẫu nhỏ Đối với các mẫu nhỏ có thể sử dụng thống kê d cải biên của Theil – Nagar



2 2

2

k n

k )

/ d (

2 3 Thủ tục lặp Cochrance – Orcutt để ước lượng 

Phương pháp này sử dụng các phần dư et

đã được ước lượng để thu được thông tin

về  chưa biết

Ta xét phương pháp này dựa trên mô hình hai biến sau:

yt = 1 + 1xt + ut (4.34)Giả sử ut được sinh ra từ phương trình

AR(1):

ut = ut – 1 + et (4.35) Các bước ước lượng  được tiến hành như

Các bước ước lượng  được tiến hành như sau:

Bước 1: Ước lượng mô hình (4.34) bằng phương pháp OLS và thu được các phần dư e t

Bước 2: Sử dụng các phần dư để ước lượng hồi qui:

et = et – 1 + vt (4.36)

L ưu ý đây là hồi quy qua gốc Do e t là ước lượng vững của ut thực nên ước lượng  c ó thể thay

cho  th ực.

Bước 3: sử dụng thu được từ (4.36) để ước

lượng phương trình sai phân tổng quát (4.26)

Tức phương trình:ˆ

ˆ



Bước 4: Vì chúng ta chưa biết trước rằng thu được từ (4.36) có phải là ước lượng tốt

nhất của  hay không Ta thế giá trị ước lượng của 1* và 1* thu được từ (4.37) vào hồi qui gốc (4.34) và thu được các phần dư mới et*:

et* = yt – (1* + 1* xt) (4.38)

Ước lượng phương trình hồi qui tương tự với (4.36)

et* =  e*t – 1 + wt (4.39)

là ước lượng vòng 2 của 

Thủ tục này tiế tục cho đến khi các ước

lượng kế tiếp nhau của  khác nhau một

lượng rất nhỏ, chẳng hạn nhỏ hơn 0,05 hoặc

ˆ

ˆ

2 4 Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để

Bước 1: Coi (4.40) như là một mô hình hồi qui

bội, hồi qui yt theo xt, xt – 1 và yt – 1 và coi giá trị ước lượng được đối với hệ số hồi qui của yt – 1 (= ) là ước lượng của  Mặc dầu là ước lượng

2 4 Phương pháp Durbin – Watson 2

bước để ước lượng 

Bước 2: Sau khi thu được , hãy biến đổi

yt* = yt - yt – 1 và xt* = xt - xt –1

và ước lượng hồi qui (4.27) với các biến

đã được biến đổi như trên

Như vậy, theo phương pháp này thì bước

1 là để ước lượng  còn bước 2 là để thu được các tham số

ˆ

ˆ

ˆ

Ví dụ: Cho các số liệu về thu nhập (Y) và tiêu dùng (C) trong khoảng thời gian từ

Cˆ

Durbin – Watson d-statistic (4,30) = 1,724628

Từ kết quả trên, ta thấy = 0,97472 Dùng

quát, ta được kết quả:

Phương pháp Newey-West để điều

chỉnh sai số chuẩn của ước lượng OLS

 Các phương pháp trước chủ yếu tiến hành qua

2 bước: 1) ước lượng giá trị , và 2) dùng giá trị  vừa được ước lượng để chuyển đổi mô hình hồi quy.

 Phương pháp Newey-West dựa trên các ước

lượng OLS nhưng điều chỉnh sai số chuẩn để

khắc phục sự tự tương quan

 Thuật toán để điều chỉnh s.e này không được

trình bày ở đây vì rất phức tạp, các phần mềm máy tính mới đều tính được các s.e điều chỉnh