+Với z= thì thay trực tiếp vào bài toán.. Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến... Gọi m n, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z... Đến đây ta có bài toán quen thuộc.
Trang 1Tìm Min-Max Bằng Áp Dụng BĐT Mô Đun
Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến admin Nhóm Toán VD-VDC A-Tóm Tắt Lý Thuyết
1.BĐT Mô Đun
Cho các số phức z z1, 2 ta có:
z + z z +z ( )1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
0
z
=
z +z z − z ( )2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
0
z
=
Chứng minh
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1,−z2 Khi đó: OA= z1 ;BO= z2 ; BA= z1− −( )z2 = z1+z2 ; OA biểu diễn số phức
1
z và OB
biểu diễn số phức −z2
Chứng minh( )1
+ Ta luôn có: BABO+OA z1 + z2 z1+z2 ( )1 Đẳng thức ở ( )1 xảy ra khi và chỉ khi O A B, , thẳng hàng và O thuộc đoạn AB
+ Khi AO tức là z 1 0 điều đó có nghĩa là có số k 0 để OB= −kOA tức là z2=kz1 (Còn khi z =1 0, rõ ràng z1+z2 = z1 + z2 ) Vậy đẳng thức ở ( )1 xảy ra khi và chỉ khi 1
0
z
=
Chứng minh( )2
+ Luôn có BA AO OB− +z1 z2 z1 −z2 ( )2 Đẳng thức ở ( )2 xảy ra khi và chỉ khi , ,
O B A thẳng hàng và O không nằm giữa A B,
+ Khi AO tức là z 1 0 điều đó có nghĩa là có số k 0 sao cho OB= −kOA tức là
z =kz (Khi z =1 0,rõ ràng z1+z2 = z1 −z2 ) Vậy đẳng thức ở ( )2 xảy ra khi và chỉ khi 1
0
z
=
2.Đẳng thức Mô Đun
2.1.Cho các số thực m n, và các số phức z z1, 2ta có:
mz +nz =m z +n z +mn z z +z z
Chứng minh :
2
mz +nz = mz +nz mz +nz =(mz1+nz2)(mz1+nz2)
m z n z mn z z z z
Trang 2Nhận xét:
-Với m=1,n=1 thì có z1+z22= z12+ z22+z z1 2+z z1 2
-Với m=1,n= − thì 1 2 2 2 ( )
z −z = z + z − z z +z z
z +z + −z z = z + z
2.2.
Chứng minh :
2
z
2.3.Cho các số phức z z1, 2 đều khác 0ta có: 1 2 2 1 1 2
Chứng minh :
+Ta có: z1+z22= z12+ z22+z z1 2+z z1 2( )1 ;
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
+Từ ( )1 và ( )2 suy ra:
2
3.Một số chú ý
3.1. z−z1 + −z z2 = z2−z1 ( )1
+Xét zz2, khi đó: Vì z2−z1 = −z z1 + z2− z z2− + −z z z1 = z2−z1 nên suy ra
1 x
x
−
− = − (x ,x(0;1 ) = +z z2 x z( 1−z2)
+Với z= thì thay trực tiếp vào bài toán z2
+Như vậy nếu có 1 2 2 1
2 0
z z
sẽ suy ra z= +z2 x z( 1−z2) (x ,x(0;1 )
3.2. z− − −z1 z z2 = z2−z1 ( )2
+Xét zz2, khi đó:Vì z2−z1 = − −z z1 z2− − + − =z z z1 z2 z z2− nên suy ra z1
1 x
x
−
− = − (x ,x −( ;0) 1;+ ) ) = +z z2 x z( 1−z2)
+Như vậy nếu có 1 2 2 1
2 0
z z z z z z
z z
sẽ suy ra z= +z2 x z( 1−z2)
(x ,x −;0 1;+ )
Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến
Trang 3B Ví Dụ
Câu 1: [Minh Hoạ-L2/N2017] Xét các số phức z thỏa mãn z+ − + − −2 i z 4 7i =6 2 Gọi m M,
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z− +1 i Giá trị của biểu thức P= +m M
bằng
A 13+ 73 B 5 2 2 73
2
2
Định hướng :
Nhận thấy z+ − − − −2 i (z 4 7i) =6 2 sẽ suy ra z=a x( ) ( )+b x i với x D .Đến đây
ta có bài toán quen thuộc
Lời giải
*Trường hợp 1:z= − +2 i(thỏa mãn z+ − + − −2 i z 4 7i =6 2), khi đó:
z− + = − +i i =
*Trường hợp 2:z − +2 i
+Vì 6 2= + − + − + +z 2 i z 4 7i − + + + + − =z 4 7i z 2 i 6 2 nên suy ra
1
x
−
− + + = + − với x ,x(0;1 = − +z ( 2 6x) (+ +1 6x i)
+ z− + = − +1 i ( 3 6x) (+ +2 6x i) 2
72x 12x 13
= − + với x ,x(0;1
f x = x − x+ x , dễ thấy
( ( ) 0;1
min
f x = f =
( ( ) ( )
0;1
max f x = f 1 = 73
*So sánh hai trường hợp thấy: 5 2; 73
2
Câu 2: [Chuyên Thái Bình-L5/N2018] Cho số phức z thỏa mãn ( )1+i z+ + +2 ( )1 i z− =2 4 2
Gọi m n, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Đặt w= +m ni, giá trị của 2018
w bằng
A 21009 B 41009 C 51009 D 61009
Định hướng :
+Biến đổi giả thiết: ( )1+i z+ + +2 ( )1 i z− =2 4 2 + − + − + =z 1 i z 1 i 4
+Áp dụng BĐT: z1 + z2 z1+z2 dễ dàng tìm được m
+Áp dụng
( 2 2)
2
a b+ a +b tìm được n
Trang 4Lời giải
+4= + − + − + + − + − + =z 1 i z 1 i z 1 i z 1 i 2z z 2( )1 Đẳng thức ở ( )1 xảy ra khi
2
z i k z i
z
=
2 1
= − + =m 2
+4= + − + − +z 1 i z 1 i 2 2
2z 1 i z 1 i
2
z
( )2 Đẳng thức ở ( )2 xảy ra khi 1 1
2
z
+ − = − +
=
= +z (1 i) =n 2 Vậy 2018 1009
6
Câu 3: [Đặng Thúc Hứa Nghệ An-L1/N2018] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
5 z− = + −i z 1 3i +3z− +1 i Giá trị lớn nhất của biểu thức z− +2 3i bằng
A 13
Định hướng :
+ Khai thác giả thiết: 5z− = + −i z 1 3i +3z− +1 i thấy ( ) ( )
đó: z+ −1 3i2+ − +z 1 i2 =2z i− + −2 1 2i2
+ Mặt khác: 5z− = + −i z 1 3i +3 z− +1 i ( 2 2) ( 2 2)
1 3 z 1 3i z 1 i
20 z i 5
= − + Từ đó suy ra z i− 2 5 Đến đây ta có bài toán quen thuộc
Lời giải
z+ − i + − +z i = z i− + − i
Ta có 5 z− = + −i z 1 3i +3z− +1 i ( 2 2) ( 2 2)
1 3 z 1 3i z 1 i
20 z i 5
Từ đó suy ra z i− 2 5
+ z− +2 3i =(z i− + − +) ( 2 4i) − + − +z i 2 4i 2 5 2 5+ =4 5 − +z 2 3i 4 5 ( )1
Đẳng thức ở ( )1 xảy ra khi
2 5
2 4
z i
=
− =
− = − +
2 5
= − + Vậy max z− +2 3i =4 5
Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến
Trang 5Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z− −1 2i =2 Giá trị lớn nhất của biểu thức
T = + − + − −z i z i bằng
A 3 7 B 3 5 C 3 6 D 4 2
Định hướng :
Nhận thấy z+ − =1 i (z− −1 2i) (+1 2+ , i) z− −5 4i = (z− −1 2i)−2 2( + Từ đây i) chúng ta sẽ tính được 2z+ − + − −1 i2 z 5 4i2 theo z− −1 2 , 2i +i Đây là điểm then
chốt để đi đến lời giải
Lời giải
Đặt z1= − −z 1 2 ;i z2= +2 i
1 2 1 2
= − − + + + + = +9 (z z1 2+z z1 2);
2
1 2 1 2
= − − + + − + =24 2 z z− ( 1 2+z z1 2)
2z+ − + − −1 i z 5 4i =42
2
xảy ra khi và chỉ khi
1 2
=
(Hệ này có nghiệm) Vậy maxT =3 7
Tổng quát bài toán: Cho số phức z thỏa mãn z−z0 =r Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T =a z−z1 +b z−z2 Biết z0− = −z1 m z( 0−z2), a b r m, , , là các số thực dương và
0, ,1 2
z z z là các số phức cho trước
Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R Cho ,A B là hai điểm cố định sao cho I nằm giữa ,A B Tìm giá trị lớn nhất của
T=xMA yMB+ với x y, là hai số thực dương cho trước
Câu 5: [Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc-L2/N2018] Cho số phức z thoả mãn điều kiện z− − =2 i 2 2
Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
H = + −z i + − +z i Giá trị M +m bằng
Trang 6Định hướng :
+ Tìm m khá đơn giản và rõ ràng áp dụng: z1 + z2 z1+z2
+ Ta đã biết:
z+ − i + − +z i = z i+ + − i
Mặt khác biết z− − =2 i 2 2, tìm max z+i
là bài toán quen thuộc Như vậy áp dụng BĐT : a b, , ( 2 2)
2
a b+ a +b là có thể tìm được M
Lời giải
+H = + − + − + −z 3 2i z 3 4i + − − + −z 3 2i z 3 4i =6 2 ( )1
1
k
k
−
− − =
− − =
1 2
z i k
= −
=
+H 2z+ −3 2i2+ − +z 3 4i2
= 4z+i2+ −3 3i2 =2 z+ +i2 18
( 2 ) (2 2)
z i+ = z− − + +i i − − + +z 2 i 2 2i =4 2 Suy ra H 10 2 ( )2
Đẳng thức ở ( )2 xảy ra khi ( )
, 0
− − = +
− − =
4 3
= +
+Vậy m=6 2;M =10 2 Chọn A
Câu 6: [Đề tham khảo-2018]Xét các số phức z= + ( ,x yi x y ) thỏa mãn z− −4 3i = 5 Khi
biểu thức P= + − + − + đạt giá trị lớn nhất, giá trị của z 1 3i z 1 i x+ y bằng
A 4 B 6 C 8 D 10
Định hướng :
+ Nhận thấy z+ −1 3i =(z− −4 3i)+ , 5 z− + =1 i (z− −4 3i) (+ +3 2i) do đó không tính được z+ −1 3i2+ z− + theo 1 i2 z− −4 3i ( , là các số thực)
+ Tuy nhiên ta lại có z+ −1 3i2+ − +z 1 i2 =2z i− + −2 1 2i2
Từ đây ta có Lời giải sau:
Lời giải
P z+ − i + − +z i = z− + −i i
Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến
Trang 7+ z i− = (z− −4 3i) (+ +4 2i) − − + +z 4 3i 4 2i =3 5( )2 Đẳng thức ở ( )2 xảy ra khi
6 4
= +
+ Từ ( )1 và ( )2 suy ra P 10 2 ( )3 Đẳng thức ở ( )3 xảy ra khi và chỉ khi đẳng thức ở ( )1 và ( )2 đồng thời xảy ra 6 4
= +
Câu 7: [Chuyên Đại Học Vinh-Lần 1-Năm 2019]Giả sử z z1, 2 là hai trong các số phứczthỏa
mãn (z−6 8)( +z i.) là số thực.Biết rằng z1−z2 = , giá trị nhỏ nhất của 4 z1+3z2 bằng
A 5− 21 B 20 4 21− C 20 4 22− D 5− 22
Định hướng :
+Biến đổi (z−6 8)( +z i ) là số thực được z− +3 4i =5 1
2
+Phát hiện quan trọng 4= z1−z2 = (z1− +3 4i) (− z2− +3 4i) ( )2
+Kết hợp ( )1 và ( )2 tính được:(z1− +3 4i) (+3 z2− +3 4i) và đi đến bài toán quen thuộc
Lời giải
+z= +x yi x y( , ).Vì (x− +6) yi (y+ +8) xi là số thực nên x x( − +6) (y y+ = 8) 0 ( ) (2 )2
2
+Đặt 1 1
3 4
3 4
= − +
= − +
, khi đó:Vì z1−z2 =4 w1−w2 =4
1 2 1 2 34
w w w w
1 3 2 12 16 4 22
z + z − + i =
+ z1+3z2 =(z1+3z2−12 16+ i) (+ 12 16− i) z1+3z2− +12 16i −12 16− i =20 4 22− Đẳng
5 22
5
Câu 8: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Năm 2019]Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn
z + − +i z − − i = và iz2− +1 2i = Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 T = z1+z2
bằng
Trang 8Định hướng :
+Thấy có thể làm triệt tiêu biến z2 bằng BĐT
T+ = − − − + +z i z z − − − + +z i z z = z1− − i 2
+Lại có z1+ − −2 i (z1− −4 7i) =6 2 suy ra z1=a x( ) ( )+b x i với x D .Đến đây ta có
bài toán quen thuộc
Lời giải
*Ta có:T+ = − − − + +1 z2 i 2 z1 z2 − − − + +z2 i 2 z1 z2 = z1− − i 2
*Trường hợp 1:z1= − + (thỏa mãn 2 i z1+ − +2 i z1− −4 7i =6 2), khi đó:
z − − = − =i
*Trường hợp 2:z − +2 i
+Vì 6 2= z1+ − + − + +2 i z1 4 7i − + + + + − =z 4 7i z 2 i 6 2 nên suy ra
1
x
−
− + + = + − với x ,x(0;1 = − +z1 ( 2 6x) (+ +1 6x i)
z − − = − +i x + xi = x − x+ .Xét hàm số
f x = x − x+ x , dễ thấy
( 0;1
1
3
= =
*So sánh hai trường hợp ta có:T 2 2 1− ( )1 Đẳng thức ở ( )1 xảy ra khi
1
2
3
1
z i
k
k
=
+ + =
1
2
3
2 4
z i
k
=
=
.Vậy minT =2 2 1−
Câu 9: [Gang Thép Thái Nguyên Năm 2018]Xét số phức z thỏa mãn
iz− − − + −i z i = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= +(1 i z) +2 i
A Pmin =4 2 B Pmin = 26 C min 9
17
P = D Pmin =3 2
Định hướng :
+Biến đổi bài toán: iz− − − + −2i 2 z 1 3i = 34 − +z 2 2i = + − + − + ; z 1 3i 3 5i
P= z+ + i
+Thấy z+ − + − +1 3i ( 3 5i) = − +z 2 2i suy ra z=a x( ) ( )+b x i với x D
Lời giải
+iz− − − + −2i 2 z 1 3i = 34 − +z 2 2i = + − + − + ; z 1 3i 3 5i P= 2 z+ + 1 i
+Vì z− +2 2i = + − + − +z 1 3i 3 5i + − + − = − +z 1 3i 5i 3 z 2 2i nênz+ − =1 3i x(− +3 5i) với x ,x 0 = − −z ( 1 3x) (+ +3 5x i)
Trang 9+ z+ + = − + +1 i 3x (4 5x i) 2
34x 40x 16 4
= + + (Vìx 0 ).Đẳng thức xảy ra khi
1 3
z= − + i.Vậy minP =4 2 Chọn A
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z i− = Biết biểu thức T2 = + +z 3i 2 z− − đạt giá trị nhỏ 4 i
nhất khi z= +x yi x y( , ). Hiệu x− y bằng
A 3 6 13
17
−
17
−
C 3 6 13
17
+
17
+
Định hướng :
+ Khai thác kết luận: Biểu thức T= + +z 3i 2 z− − đạt giá trị nhỏ nhất Ta phải “cân 4 i
bằng hệ số” (làm xuất hiện thừa số 2 trước biểu thức z+3i ) trước khi áp dụng bất đẳng
thức mô đun bằng đẳng thức sau: 2 1
+ = + (z z1, 2 ;z10,z2 0)
+Tổng quát bài toán:Cho trước hai số phức z z1, 2 thỏa mãn 1
1 2
0
z
z z
và số thực dương c
.Biết số phức zthỏa mãn z =c.Tìm giá trị nhỏ nhất của 1
z
c
Lời giải
Đặt u= −z i, khi đó u =2; 4 4 4 2
4
+ = + = + Ta có T=u+4i +2u−4
1 4 2
k
k u
=
16 2 13 17
4 4
k
=
Ta có z= +u i =(4 4− k) (+ −1 k i) Suy ra
3 6 13
3 3
17
x− = −y k= +
Chọn C