Áp dụng đẳng thức và bđt mô đun KHAI NGUYEN

Căn bậc hai của b gọi là module.. Ở khía cạnh hình học, mỗi số phức sẽ là cặp tọa độ của một vector, và độ lớn của vector đó chính là module.. Module của số phức... Như vậy từ giả thiết

NHÓM TOÁN VD - VDC

ÁP DỤNG ĐẲNG THỨC

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN

NĂM HỌC 2020 – 2021

Mỗi số phức, ở khía cạnh đại số, là nghiệm tương ứng duy nhất một tam thức bậc hai monic

2

4 0

số không âm Căn bậc hai của b gọi là module

Ở khía cạnh hình học, mỗi số phức sẽ là cặp tọa độ của một vector, và độ lớn của vector đó chính là module

Module của số phức Số phức liên hợp:

z= +a bi a b thì module của z là z = a2 +b2; Số phức liên hợp của z là

2

z z

2

z z

= ;

1 2 1 2

zz = z z , z2 = zz; z1+z2 =z1 +z2, zz1 2 = z z1 2, z= ; z 1 1

z z

z = z ,

2

0

z

 

= 

 

1/ Đẳng thức Mô - Đun

m z +nz =m z +n z +m n z z +z z với m n,  và z z1,2 

+

2

+ + + =  + + 

 với z z z, ,1 2 

+Nếu

2

, , 0

a b c a

b ac

 





2

b i z

a

2/ BĐT Mô - Đun

LÝ THUYẾT

I

=I

2

; 0;1

0

; 0; ; 0

z z

 + =  + + − − 

 + =  + + − − 

+ =



 + = + +   





2

, ;0 1;

0

; 0; , 0

z z

 + =  + + − − 

 + =  − − + + 

+ =



 + = + +   





1 2

a Định hướng

m z +nz =m z +n z +m n z z +z z Trong đó ,

m n là các số thực và z z1,2là các số phức Như vậy từ giả thiết ta sẽ tính được 3z1+z2 và đưa bài toán đã cho về bài toán quen thuộc

b Lời giải tham khảo

Lời giải

2 2

3z +z = 9 z + z +3 z z +z z = 19

+Áp dụng bất đẳng thức mô đun, có:

1 2

MỘT SỐ VÍ DỤ

II

=I

1 2



2

+

2

+

a Định hướng

b Lời giải tham khảo

Lời giải

2 6 6 ; ,0 1

 + − = +     = − +z ( 2 6x) (+ 1 6+ x i)

+Xét hàm số f x( ) = 72x2 −12x+13,x 0;1 , dễ thấy

0;1

m in

f x = f  =

 0;1 ( ) ( )

2

4 Ⓒ 51009 Ⓓ 61009

a Định hướng

+Biến đổi giả thiết: (1+i z) +2 + (1+i z) −2 = 4 2 z+ − +1 i z− + =1 i 4

+Áp dụng BĐT: z1 + z2  z1+z2 dễ dàng tìm được m

+Áp dụng

2

+ + + =  + + 

  và a b,  ta

b Lời giải tham khảo

Lời giải

+4= z+ − +1 i z− + 1 i z+ − + − + =1 i z 1 i 2z  z 2( )1 Đẳng thức ở ( )1 xảy

2

z

+ − = − +  





=

+4= z+ − +1 i z− +1 i 2 2

2 z i 1

= + −

2

z

2

z





=

  = z (1+i)n = 2 Vậy w2018 =61009Chọn D

Ⓐ 13

a Định hướng

+ Ta có: z+ −1 3i2 + z− +1 i2 =2z i− 2 + −1 2i2

 

+ Mặt khác:

5 z i− = z+ −1 3i+3 z− +1 i ( 2 2) ( 2 2)

b Lời giải tham khảo

Lời giải

+ Ta có: z+ −1 3i2 + z− +1 i2 =2z i− 2 + −1 2i2

5 z i− = z+ −1 3i+3 z− +1 i ( 2 2) ( 2 2)

+

2 5

z i



=









2 5

5

+

3

+

a Định hướng

2 2

a z z+ +b z z+ theo z w+ và z k − (w a b,  ) Khi đó dễ dàng tính được M

b Lời giải tham khảo

Lời giải

2

2





2 2 3 3

5 33 3

3

c Bài tập tương tự

thứcT = z+ − +1 i z− −5 4i bằng

a Định hướng

+ Tìm m khá đơn giản và rõ ràng áp dụng: z1 + z2  z1+z2

+ Ta đã biết:

2

+ + + =  + + 

3 2 3 4 2 3 3

z+ − i + z− + i = z i+ + − i 

m ax z i+ là bài toán quen thuộc Như vậy áp dụng BĐT : a b,  , ( 2 2)

2

a+ b a +b là

có thể tìm được M

b Lời giải tham khảo

Lời giải





− − =

( 2 ) (2 2 )







 − − =



4 3

 = +

1 3 1

a Định hướng

+ Nhận thấy z+ −1 3i= (z− −4 3i)+ , 5 z− + =1 i (z− −4 3i) (+ 3 2+ i) do đó không

+ Tuy nhiên ta lại có z+ −1 3i2 + z− +1 i2 =2z i− 2 + −1 2i2

 

b Lời giải tham khảo

Lời giải







6 4

 = +

+ Từ ( )1 và ( )2 suy ra P 10 2 ( )3 Đẳng thức ở ( )3 xảy ra khi và chỉ khi đẳng thức ở

= +



  = +z 6 4iChọn D

15

+ Ⓓ 2 7

15 +

a Định hướng

+Nhận thấy z z − là số thuần ảo Coi z z− là một biến số và tìm cách giảm biến số trong

ra

P  z z− + + z z− − i=Q

+Nếu đặt z= +x yi x y, ,(  )thì Q là biểu thức chứa một biến y và ta có bàn toán quen

thuộc

b Lời giải tham khảo

Lời giải

+Đặt z= +x yi x y, ,(  ), ta có :

+Từ đó suy ra P 2 2( + 3) ( )1 Khi 3

3

m inP =2 2+ 3 Chọn A

17

−

17

−

17

+

17

+

a Định hướng

+ Khai thác kết luận: Biểu thức T = z+3i+2 z− −4 i đạt giá trị nhỏ nhất Ta phải “cân

+ = + (z z1,2  ;z1 0,z2 0)

+Tổng quát bài toán:Cho trước hai số phức z z1,2 thỏa mãn 1

0

z









c

− + −

b Lời giải tham khảo

Lời giải

4

− + = − + = − +

2

z i

= +   



 − =



17

c Bài tập tương tự

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 )2 2

2

Câu 2: Trong không gian cho tam giác A BC có A B =2 ,R A C =R CA B, =120.Gọi M là điểm

Ⓐ 1

2 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 4

a Định hướng

z

z

2020

1

z

+ Đặt z2020 = +x yi x y( ,  ).Ta đưa về bài toán quen thuộc

b Lời giải tham khảo

Lời giải

z

z

2020

1

z

( )2020 ( 2020)

2020

1

+Đặt z2020 = +x yi x y( ,  ), khi đó:

2020

1

+Ta có P = 2x+ −6 2(x+1)+yi ( )2 2

2x 6 2 x 1 y

= + − + + =2(x− 2(x+1) )+6

+Xét hàm số f x( ) =2(x− 2(x+1) )+6,x − 1;1 Dễ thấy

1;1

1

2

f x f

−

 1;1 ( ) ( )

m axf x f 1 4

a Định hướng

+ Đặt z1 = +x yi x y;( ,  ), khi đó từ 2z1 + =i z1 −z1 −2i tính được

2

4

x

2

+ Tìm cách kết nối kết luận z1−z2 với giả thiết z2 − −i 10 = bằng: 1

1 2

z −z +z2 − −i 10  z1 −z2 +z2 − −i 10 ( )

2 2 2

4

x

b Lời giải tham khảo

Lời giải

+ Đặt z1 = +x yi x y;( ,  ), khi

4

x

z + =i z −z − i x + y− = − y−  =y 1 2

4

x

+z1−z2 +z2 − −i 10  z1 −z2 +z2 − −i 10 ( )2 2 2

4

x

4

x

( ) 10 1 ,

4

x

= − + −  

+ Suy ra z1−z2 3 5 −1( )1 Đẳng thức ở ( )1 xảy ra khi ( )

1

1 2

4 4 , 0

10

3 5 1

= +



  



 − = − −



 − = −



1

2

4 4

50 2 5 5 5

= +





a Định hướng

z = z  z1 = z2 = z2

b Lời giải tham khảo

Lời giải

z = z  z = z = z

5 5

z = − i; 2 24 18

5 5

z = + i; c=zz1 2 = z12 =36 và 1 2 48

5

− = + =

Chọn A

Nhận xét

A đối xứng với B qua trục thực O x Từ đây ta có các bài toán mới bằng cách thay điều kiện

1

2

4 3 1

8 6 4

− + =





− − =

thực của phương trình bậc hai hệ số thực

a Định hướng

6

+P =2z+ −1 5i2 + − +3 8i2

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M A sẽ tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P

b Lời giải tham khảo

Lời giải

vẽ)

+P =2z+ −1 5i2 + − +3 8i2

m inP =156Chọn A

c Bài tập tương tự

Câu 1: Cho số phức z thoả mãn z z+ + −z z = z2 Giá trị lớn nhất của biểu thức

5 2

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z2 =2z z+ +5 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z2 +3 =2z z+ Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Câu 4: Gọi S là tập tất cả các số thực dương m để có bốn số phức z thỏa mãn hệ

2

=





+ + − =

2

a Định hướng

2 2

2

z z

H = z − zw−z z = z − −w

4 2

z z w

−

= −

−

− = − − − +

b Lời giải tham khảo

Lời giải

2

z z

yi

− =

2 2

4

y

2

2

z z

H = z − zw z z− = z − −w

4 2

z z w

−

−

3 2 2

z z

−

2

z z

i

−

9 y 2 5

= + +  H 24

+Khi

2

18 14

z i

=





Nhận xét

Ta có thể tìm min H như sau

− + = − + − + 3 2

2

z z

−

 − + − + ( )2

9 y 2

= + + 3H 8

2 2

= −



 = −

phức

2

z−z

2

z z

NM = − −w

Rõ ràng điểm M thuộc đoạn thẳng AB với

(0; 2), (0; 2)

NHÓ