Đề thi và đáp án ĐH khối A năm 2006

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.. Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2..

ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI A NĂM 2006

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I: ( 2 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x = m

Câu II: ( 2 điểm)

sin

cos sin sin

x 2 2

x x x

x

2 6 6

=

−

− +

2 Giải hệ phương trình : ( ) yx R

4 1y 1x

3 xy

yx

∈









=+

++

=

−+

,

Câu III: (2 điểm)

Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

b) Viết ptrình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cosα = 16

Câu IV: (2 điểm)

x 4 x

x 2

2

∫

π

cos sin

2 Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2 + y2 – xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 y 3

1 x

1

PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a: Theo chương trình THPT không phân ban ( 2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng :

d1 :x + y + 3 = 0, d2 : x – y – 4 = 0, d3 : x – 2y = 0

Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2

2 Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của 4 x n

x

1











 + , biết rằng 1

2 C

C

1 n

2

1 n

1

1

Câu V.b: Theo chương trình THPT phân ban thí điểm ( 2 điểm)

1 Giải phương trình : 3.8x + 4.12x – 18x – 2.27x = 0

2 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng hciều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB

ĐÁP ÁN : Câu I: ( 2 điểm)

2 Đặt y1 =









≤

−

−

−

−

≥

− +

−

=−

+

−

0 x nếu 4 x12 x9 x2

0 x nếu 4 x12 x9 x2 4 x12 x9

x2

2 3

2 3 2

3

,

,

Ta có đồ thị của y1 là đồ thị của hàm số ở câu 1 khi x ≥ 0 và lấy đối xứng qua trục Oy khi x ≤ 0

PT đã cho ⇔ m – 4 = 2 x 3 − x 2 + 12 x

Vậy số nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số y1 và đường thẳng y1 và đương thẳng y2 = m –4

Từ đồ thị ta có ycbt ⇔ 0 < m – 4 < 1 ⇔ 4 < m < 5

Câu II: ( 2 điểm)

2.Giải hệ phương trình : ( ) yx R

4 1y 1x

3 xy

yx

∈









=+

++

=

−+

,

Từ (1) ta có : x, y ≥ 0

(1) ⇒ x + y = 3 + xy ≤ 3 + x+2y(Cauchy)

⇒ x + y ≤ 6 ⇒ (x +1) + (y + 1) ≤ 8

Theo B.C.S ta có : 4 = 1 x + 1 + 1 y + 1 ≤ 2 ( x + 1 )( y + 1 ) ≤ 2 8 = 4

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = y =3

Câu III: (2 điểm)

1 Ta có :C(1 ; 1 ; 0), M(21 ; 0 ; 0), N(21 ; 1 ; 0)

)

;

;

(

' C 1 1 1

A→= − MN→= ( 0 ; 1 ; 0 )

)

;

;

(

2

1

M

A→= − A ' C , MN = ( 1 ; 0 ; 1 )







   →   →















   →   →

MN

C

A ' , A→' M = −21

MN C A

M A MN C A

=

















 →



 →



 →



 →



 →



, '

' , '

2 Cách 1 :

Pt (A’C) :







=−

+

=−

⇔

− −==

01 zx

0y

x 1

1z 1

y

1

x

Mp(P) chứa A’C ⇒ pt(P) : m.(x – y) + n(x + z – 1) = 0 ( m2 + n2≠ 0)

⇔ (m + n)x – my + nz – n = 0 (Oxy) : z = 0

n 6

1

+ + +

= α

=

) (

Chọn n = 1 ⇒ m =1 v m = -2

Vậy (P1) : 2x – y + z – 1 = 0 ; (P2) : x – 2y – z + 1 = 0

Cách 2 :

PT mp(P) có dạng x – y = 0 (loại)

Hay h(x – y) + (x + z – 1) = 0 với h ∈ R

Vậy pt mp(P) có dạng : (h + 1)x – hy + z – 1 = 0

Ta có : 16 1 h 112 h2 12

+ + +

= α

=

) ( cos ⇔ 2h2 + 2h + 2 = 6 ⇔ h2 + h – 2 = 0 ⇔ h = 1 v h = -2 Vậy (P1) : 2x – y + z – 1 = 0 ; (P2) : x – 2y – z + 1 = 0

Câu IV: (2 điểm)

2 Cách 1 :

Đặt S = x + y, P =xy với S2 – 4P ≥ 0 Từ gt ⇒ S, P ≠ 0

Ta có SP = S2 – 3P ⇔ P =

3 S

S 2

+

2 2

2 3

3

3 3 3

y x y x

y x y

1

x

1

2 2

2

S

3 S

P

S









 +

=

=

3 S

1 S 0 3 S

1 S S 0 3 S

S 4

+

−

⇔

≥











 +

−

⇔

≥ +

⇔ S < - 3 v S > 1 (*)

S

3 h S

3 S

2 <

−

=

⇒

, ∀ S thoả (*)

Từ BĐT ta có 0 < h ≤ 4 và h ≠ 1, ∀ S thoả (*) mà A = h

⇒ Max A = 16 khi x = y = 21 (S= 1, P = 41 )

Cách 2 :

xy

y x y

1 x

1 0 4

y 2

y

x 2+ 2 > ⇒ + = + >









 −

y

1 x

1 A y

1 x

1 y

x

y x y

1

x

1

A

2 3

3

3 3 3

3 + = + = +  ⇒ = +

=

Dễ dàng C/m được :

2

b a 2

b

+

≤











 + (với a + b > 0) Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b Aùp dụng với a = x1 , b = y1 ta có :

16 A 2

A 2

A 2

y

1 x

1

2

y

1

x

1

3 3

3 3

≤

⇔

≤









⇔







 +













≤























 +

dấu ‘=’ xảy ra khi 2

y

1 x

1 = =

Vậy MaxA = 16

Cách 3 :

S

h’

h

+∞

1

0

4

1

A = 22

P

S , suy ra A = PS = S23−SSP

S2 – 4P ≥ 0 ⇔

4

1 S

P 0

3S

P 1 4 1 0 3

SP S 4

S 2 − 2− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥

Nên A = 22

P

S

≤ 16 Vậy MaxA = 16 (khi x = y = )

2 1