từ đó tính được NOP45o 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.. suy ra góc DOP= góc ONP nên DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN 3.Ba đường thẳng BD, AN,
Trang 1BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2014
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
-Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãna b c 0
x y z và 1
x y z
a b c Chứng
minh rằng
a b c
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
x y y z z x
Câu 3 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
2.6.10 (4 2) 1
( 5)( 6) (2 )
n
n a
là một số chính phương
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 Chứng minh rằng
ab a bc b ca c
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao
cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì :
2
y A
x y
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh………
Trang 2Hướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng 2 -2014
Ngày thi 6/6/2014
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãna b c 0
x y z và 1
x y z
a b c Chứng
minh rằng
a b c
Hướng dẫn
x y z cxy ayz bxz
Từ a b c 0 ayz bxz cxy 0 ayz bxz cxy 0
a b c
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
x y y z z x
Hướng dẫn
ĐKXĐ : | |x 3;| | 1;| |y z 2
Áp dụng Bất đẳng thức
2 2
2
A B
AB ta có đúng với mọi A,B
x y y z z x
Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi
2 2 2
2 2 2
2 2
3 3
y z
z x
Trang 3Hướng dẫn
2 (1.3.5 (2 1).( 4)! 2 ( 4)! 2 1.2.3 ( 1)( 2)( 3)( 4)!
1 ( 1)( 2)( 3)( 4)
n
a
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 Chứng minh rằng
ab a bc b ca c
Hướng dẫn
Đặta x,b y;c z
P
ab a bc b ca c xy xz yz xy yz xz xz yz xy
Thì
P
xy xz yz xy yz xz xz yz xy
P xy yz xz
xy xz yz xy yz xz xz yz xy
Áp dụng Bất đẳng thức 1 1 1 9
A B C A B C ( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương: 3 1 1 1 3 1
Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:
xy yz xz
1
xy yz xz xy yz xz xy yz xz
x y z xyz
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao
cho MN//AP.Chứng minh rằng
Trang 41.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
1 Đăt AB = a ta có AC = a 2 Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy ra
2
2
BN DP
2
2
a
tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c) từ đó tính được NOP45o
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC
Theo a ta có OB ON OD
DP OP DP góc PON = góc ODP=45
0
tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c) suy ra góc DOP= góc ONP
nên DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Đặt giao điểm cua MN và BC là Qvà AP là K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD
QN BN KA AD QN KA KP KA ta có Giả sử MP cắt AN tại I K I cắt MN tại H Áp
dụng định lí ta lét HM HN(2)
PK KA
Từ (1) và (2) Suy raHM QM
HN QN Q trùng H, vậy BD, PM, AN đồng quy
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
Trang 52 ,
d
b d
mà b < 2d => 0 < b – d < d => e >
2
d d
d
Suy ra e ∈ A nhưng e ∉ B ⇒ e = b ⇒
2
d
(mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương)
Vậy b ≥ 2d ⇒ 2d ≤ b ≤ 2a ⇒ d ≤ a Mà a ≤ d (a và d lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên a = d
⇒ b = 2a
Vậy A = {a;2a} Kiểm tra lại ta thấy A thỏa mãn đề bài Vì a ∈ S và 2a ∈ S nên 2 ≤ 2a ≤ 2014
⇒ 1 ≤ a ≤ 1007
Vậy số tập con A thỏa mãn đề bài là 1007 tập