Tài liệu ôn thi vao 10(Cơ bản+Nâng cao Có đáp án)(Hay cực)

+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn Chú ý : - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của

PHÂN I: Lí THUYẾT ĐẠI SỐChủ đề I: rút gọn biểu thức

A/ Ph ơng pháp:

- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;

- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)

- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)

- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:

+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia

+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng

đẳng thức

+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng

+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn

Chú ý : - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại

toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ

nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài

*Sử dụng cỏc phương phỏp phõn tớch thành nhõn tử:

+Phương phỏp đặt nhõn tử chung

+Phương phỏp dựng hằng đẳng thức

+Phương phỏp nhúm cỏc hạng tử

+Phương phỏp phối hợp nhiều phương phỏp

*Căn bậc hai: x là một số khụng õm a

*Điều kiện xỏc định của biểu thức :Biểu thức xỏc định

*Hằng đẳng thức căn bậc hai:

*Các phép biến đổi căn thức

2.Tính giá trị của biểu thức

3.Chứng minh

a)

-Lập phương trình đường thẳng theo các điều kiện cho trước.

-Xác định các yếu tố liên quan đến tính chất và đồ thị hai hàm số trên

Phương pháp:

(1) Hàm số y=ax+b (a #0) xác định trên với mọi x và có tính chất sau:

-Hàm số đồng biến trên R : khi a>o

-Hàm số nghịch biến trên R : khi a<o

-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm của đồ thị.

+Trong trường hợp b=0, đồ thị hàm số luôn đi gốc tọa độ.

+Trong trường hợp b 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b -Đồ thị hàm

số luôn tạo với trục hoành một góc mà

-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x ,y )

(2) Với hai đường thẳng :

Ta có: - cắt nhau

+Nếu thì chúng cắt nhau tại b trên trục tung;

- song song với nhau

- vuông góc với nhau

+Đường thẳng y=ax+b có tung độ gốc là b, hoành độ gốc là –b/a

+Giao điểm của hai đường thẳng y=kx+bvà y=k’x+b’ là nghiệm của hệ:

y=kx+b = k’x+b’

y=kx+b

Hàm số y=ax 2 (a 0)

*Hàm số y=ax 2 (a 0) có đồ thị là parabol (P),có đỉnh là(0;0)

-Nếu a>0 thì (P) có điẻm thấp nhất là gốc tọa độ;

-Nếu a<0 thì (P) có điểm cao nhất là gốc tọa độ.

- Quay bề lõm lên trên nếu a>0; Hàm số nghịch biến khi x<0, đồng biến khi x>0

- Quay bề lõm xuống dưới nếu a<0; Hàm số đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x>0.

*Đường thẳng y=kx+b tiếp xúc với porabol y=ax 2 khi và chỉ khi phương trình ax2b=0 có nghiệm kép

=-kx-*Hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=kx+b và y=ax 2 là nghiệm phương trình ax 2 =kx+b.

*Vị trí của đường thẳng và Parabol:

-Xét đường thắng x=m và (P) y=ax Luôn có giao điểm có tọa độ là (m;am )

-Xét đường thẳng y=m và (P) y=ax

.Nếu m=0 thì có một giao điểm là gốc tọa độ;

Nếu am>0 thì có hai giao điểm là hoành độ là

.Nếu am<0thì không có giao điểm.

-Xét đường thẳngy=mx+n (m 0) và (P) y=ax

Hoành độ giao điểmcủa chúng là nghiệm của phương trình hoành độ: ax

a/Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)

b/ §å thÞ hµm sè trªn cã ®i qua ®iÓm B(3; 9) kh«ng?

Giải:

a/Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a = 1

b/ Vì a =1 nên ta có hàm số

Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 = 9 Vậy B thuộc đồ thị hàm

số y = x2

II/Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a ’ x 2 (a ’ 0).

1.Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Bước 1: Tỡm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trỡnh:

a) (d) và (P) cắt nhau phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt

b) (d) và (P) tiếp xỳc với nhau phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp

c) (d) và (P) khụng giao nhau phương trỡnh (1) vụ nghiệm

3.Chứng minh (d) và (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi

giá trị của tham số:

+ Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: a ’ x 2 = ax + b có :

+ với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức vềdạng:

= với thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol

+ với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức vềdạng:

= thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol

+ với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức vềdạng:

= với thì đờng thẳng không cắt pa ra bol

Bài tập luyện tập:

Bài 1 cho parabol (p): y = 2x2

1.Vẽ đồ thị hàm số (p)

2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1

Bài 2: Cho (P): và đờng thẳng (d): y = ax + b

1 Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếpxúc với (P)

2 Tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 3: Cho (P) và đờng thẳng (d) y = 2x + m

1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

2 Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2

Bài 6: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( ) y = -2(x+1)

1 Điểm A có thuộc ( ) không ? Vì sao ?

2 Tìm a để hàm số (P): đi qua A

Bài 7: Cho hàm số (P): và đờng thẳng (d):

1 Vẽ (P)

2 Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm

CHỦ ĐỀ III/ PHƯƠNG TRèNH - HỆ PHƯƠNG TRèNH - BẤT PHƯƠNG TRèNH

A/ Phương trỡnh, Hệ phương trỡnh, Bất phương trỡnh: (Bậc nhất)

I-Phương phỏp:

1-Phương trỡnh ax+b=0(a 0),với a,b là cỏc số đó cho,x là ẩn số là phương trỡnh bậc

nhất một ẩn.

+Biện luận:

.Nếu a 0 phương trỡnh cú nghiệm

Nếu a=0, b 0 phương trỡnh vụ nghiệm.

.Nếu a=0, b=0 phương trỡnh cú vụ số nghiệm.

*Phương trỡnh bật nhất một ẩn:

-Quy đồng và khử mẫu

-Đưa về dạng ax+b=0(a 0).

-Nghiệm duy nghiệm duy nhất:

*Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu:

-Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh

-Quy đồng và khử mẫu

-Giải phương trỡnh vừa nhận được

-So sỏnh giỏ trị vừa tỡm được với điều kiện xỏc định (ĐKXĐ) rồi kết luận

*Phương trỡnh tớch:

Để giải phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần của nó.Chẳng hạn

với:Phương trình A(x).B(x).C(x)=0 khi và chỉ khi:A(x)=0 hoặc B(x)=0 hoặc C(x)=0.

*Phương trình có chứa hệ số chữ(Giải và biện luận phương trình).( Đã trình bày ở trên rồi!)

*Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối(| |) của một biểu thức:

2-Bất phương trình bậc nhất ax+b>0(a#0) hoặc ( )

Nếu a>0 bất phương trình có nghiệm x>-b/a.

Nếu a<0 bất phương trình có nghiệm x<-b/a.

*Chú ý khi nhân cả hai với cùng với một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.

.Nhân hai vế cua mỗi phương trình với một số thích hợp(nếu cần) sao cho các hệ số

của cùng ẩn bằng nhau hoặc đối nhau

Áp dụng quy tắc cộng(hoặc trừ) đại số để được một hệ phương trình mới trong

đó,một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0(tức là phương trình một ẩn) Giải phương trình một ẩn vừa có từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho

*Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình

-Tìm ĐKXĐ của phương trình.

-Quy đồng và khử mẫu

-Giải phương trình vừa tìm được

-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận

3.Phương trình tích

Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0 Song giá trị cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình

-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức

6.Hệ phương trình bậc nhất

Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình

7.Bất phương trình bậc nhất

Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

Vậy phương trình có nghiệm x = 4

VD2.Giải và biện luận phương trình sau

Giải

a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0

-Nếu b – a ≠ 0 thì

-Nếu b – a = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Vậy:

-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

b) ĐKXĐ:

-Nếu a + 1 ≠ 0 thì

-Nếu a + 1 = 0 thì phương trình vô nghiệm

Vậy:

-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất

-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm

VD3.Giải các hệ phương trình sau

Giải

hoặc

b) ĐK:

đặt

Khi đó, có hệ mới

Thay trở lại, ta được:

c)

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Giải các phương trình sau

2.Giải và biện luận các phương trình sau

3.Giải các hệ phương trình sau

4.Cho hệ phương trình

a) Giải hệ với m =

-b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương

B/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax +bx+c=0(a 0) (1)

-Nếu <0 thì phương trình vô nghiệm

 C¸ch gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt (c) d¹ng: ax 2 + bx = 0

+ Ph¬ng ph¸p : Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö , råi gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch.

: Phương trình có nghiệm kép

:Phương trình vô nghiệm

:Phương trình có nghiệm kép

:Phương trình vô nghiệm.

Dạng 4:Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai:

*Chú ý:dạng phương trình trùng phương.Phương trình vô tỷ và dạng đặt ẩn phụ.

*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn

III-Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

-Nếu phương trình (1) có hai ghiệm thì:

-Nếu có hai số u và v sao cho:

thì u,v là hai nghiệm của phương trình:

-Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là:

-Nếu a+b+c = 0 thì phương ttrình có nghiệm là:

IV-Điều kiện có nghiệm của phương trình ax +bx+c=0 (a 0)

-Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu

-Pt (1) có hai nghiệm

có hai nghiệm phân biệt

-Pt(1) có hai nghiệm dương

-Pt (1) có hai nghiệm âm

-Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ac<0 hoặc P<0.

V-Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó:

d/ 4x2 – 4x + 1 = 0 e/ - 2x2 – 3x + 1 = 0 f/ 5x2 – 4x + 6 = 0

g/ 7x2 - 9x + 2 = 0 h/ 23x2 - 9x - 32 = 0 i/ 2x2 +9x + 7 = 0

k/ 2x2 - 7x + 2 = 0 l/ x 2 - 6x + 8 = 0 m/ x2 +6x + 8 = 0

Bµi3:

a/ (x + 2)2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2)

c/ 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 d/ x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1

d/ 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 e/ 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2

* Các dạng toán về biện luận ph ơng trình bậc hai:

1 Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

+ Điều kiện: ; (hoặc )

+ Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x – 2m = 0 (1)

Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?

Giải:

Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt

Bài tập luyện tập

Bài 1 Tỡm m để mỗi phương trỡnh sau cú 2 nghiệm.

a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0 b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0c/ - x2 + 4x + m + 2 = 0 d/ x2 + (2m + 1)x + m2+ 1 = 0

Bài 2: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = -2

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 3: Cho phương trỡnh: x2 + kx + 3 = 0

1/Tỡm k để phương trỡnh cú hai nghiệm phân biệt?

2/Tỡm k để phương trỡnh cú nghiệm bằng 3 Tớnh nghiệm cũn lại?

Bài 4: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + 2m2 + 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = - 4

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 5: Cho phơng trình : (m – 4)x2 – 2mx + m– 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 1

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = 0

a) Giải phơng trình với k = 3

b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép:

+ Điều kiện: ; (hoặc )

+ Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x – k = 0 (1)

Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ?

= 0

Bài2: Cho phương trỡnh: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0

1/Giải phương trỡnh khi m = 1

Bài5: Cho phương trỡnh: kx2 – (2k-1)x + k + 1 = 0

1/Giải phương trỡnh khi m = 1

2/Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tỡm nghiệm kộp đú ?

3 Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình vô nghiệm : + Điều kiện: ; (hoặc )

+ Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x +n = 0 (1)

Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?

Giải:

Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt

Bài tập luyện tập Tỡm m để mỗi phương trỡnh sau vụ nghiệm ?

a/ x2 + 2x + m + 3 = 0 b/ - x2 - 3x + 2m - 1 = 0 c/ mx2 – (2m – 1)x + m + 1 = 0 d/ mx2 –2(m+2)x + m-1

 Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 – x + 2m – 6 = 0 (1)

a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x1 = 1

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2

Bài 2 : Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số)

có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )

có một nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại

Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0

Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2 Tìm nghiệm còn lại

Bài 5: Cho phơng trình bậc hai

Bài 1 Cho phương trỡnh: 2x2 – mx + m – 2 = 0

Chứng minh rằng phương trỡnh cú nghiệm với mọi m

Bài 2:

Cho phương trỡnh: x2 – (k – 1)x + k – 3 = 0

1/Giải phương trỡnh khi k = 2

2/Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi k

Bài 3:

Cho phương trỡnh: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0

2.Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

2 Toán ứng dụng định lý Viét

1 Tìm nghiệm thứ 2; biết ph ơng trình có một nghiệm

Phơng pháp:

+Thay giá tị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm để

tính nghiêm thứ hai

Hoặc thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai

nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2

Ví dụ:

Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )

có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại

Tỡm m biết rằng phương trỡnh cú nghiệm bằng 3 Tớnh nghiệm cũn lại

Bài 2 Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham

số )

có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )

có một nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại

LẬP PHƯƠNG TRèNH BẬC HA I Khi biết hai nghiệm x 1;x2

Vớ dụ : Cho ; lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn

2/ x1 = 36 vµ x2 = -104

BTBS thêm phần Giải các phương trình sau

Giải

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …

b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).

c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2 Tìm nghiệm còn lại

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

phương trình vô nghiệm

c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:

(-2)2 + 3(-2) – m = 0 m = -2-Tìm nghiệm thứ hai

cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x2 + 3x + 2 = 0

có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x1 = -1; x2 = Vậy nghiệm còn lại là x = - 1

Cách 2: Ta có x1 + x2 = Cách 3: Ta có x1x2 =

d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13

giải hệ tìm được x1 = -22; x2 = 19; m = 418

-Tương tự ta tìm được (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1)

Vậy là hai nghiệm của phương trình

f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Hai nghiệm này luôn âm Vì S = - 3

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Giải các phương trình sau

2.Cho phương trình , có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

3.Cho phương trình x2 + mx + m+3 = 0.

a) Giải phương trình với m = -2

b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình

c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m

d) Xác định giá trị của m để x12 + x22 = 10

e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5

f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm còn lại

g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương

4.Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau

e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0 Tìm nghiệm còn lại

f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

5.Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng của m

b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2

+) Chứng minh A = m2 – 8m + 8

+) Tìm m để A = 8

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m

6*.Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với abc ≠ 0

a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2

b) Lập phương trình nhận hai số làm nghiệm

c) Lập phương trình nhận hai số làm nghiệm

d) Lập phương trình nhận hai số làm nghiệm

e) Lập phương trình nhận hai số làm nghiệm

Bớc 3 Nhận định so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả

lời ( bằng câu viết ) nêu rõ đơn vị của đáp số

II.các dạng toán cơ bản

1.Dạng toán chuyển động;

2.Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học;

3.Dạng toán công việc làm chung, làm riêng;

4.Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nớc;

5.Dạng toán tìm số;

6.Dạng toán sử dụng các kiến thức về %;

7.Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hoá học

III.các Công thức cần lu ý khi gbt bc lpt hpt.

1.S=V.T; V= ; T = ( S - quãng đờng; V- vận tốc; T- thời gian );

2.Chuyển động của tàu, thuyền khi có sự tác động của dòng nớc; VXuôi = VThực + VDòng nớc

VNgợc = VThc - VDòng nớc

3 A = N T ( A – Khối lợng công việc; N- Năng suất; T- Thời gian )

B.Bài tập áp dụng.

Bài toán 1.( Dạng toán chuyển động)

Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng vận tốc Ô tô thứ nhất Sau 5 giờ chúng gặp nhau Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đờng AB mất bao lâu

Lời Giải

Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x ( h ) ( x>0 );

Ta có vận tốc Ô tô đi từ A đến B là : ( km/h);

Vận tốc Ô tô đi từ B về A là: ( km/h);

Sau 5 giờ Ô tô đi từ A đến B đi đợc quãng đờng là; 5 (km);Sau 5 giờ Ô tô đi từ B đến A đi đợc quãng đờng là; 5 (km);Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phơng trình: 5 + 5 = AB;

Giải phơng trình ta đợc: x =

Vậy thời gian Ô tô đi từ A đến B là , thời gian Ô tô đi từ B đến A

là

-Bài toán 2 ( Dạng toán chuyển động)

Một Ô tô du lịch đi từ A đến C Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên

đoạn AC có một Ô tô vận tải cùng đi đến C Sau 5 giờ hai Ô tô gặpnhau tại C Hỏi Ô tô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu , biết rằng vậntốc của Ô tô tải bằng vận tốc của Ô tô du lịch

Lời Giải

Gọi thời gian ô tô du lịch đi từ A đến B là x ( h ) ( 0 < x< 5 ).

Ta có thời gian ô tô du lịch đi từ B đến C là ( 5 – x) ( h )

Lời Giải

Gọi vận tốc của Ca nô là x ( km/h).(x> 0).

Ta có vận tốc của Ô tô là x + 17 (km/h)

Ta có chiều dài quãng đờng sông AB là: x (km); chiều dài quãng

-Bài toán 4 ( Dạng toán chuyển động)

Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km Sau

đó 1 giờ 30 phút một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn

1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vân tốc xe đạp

Lời Giải

Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x ( km/h).(x> 0).

Ta có vận tốc của ngời đi xe máy là 2,5 x (km/h)

Thời gian ngời đi xe đạp đi từ A đến B là (h); Thời gian ngời đi

-Bài toán 5 ( Dạng toán chuyển động)

Một ngời đi xe máy từ A đến B với vân tốc trung bình 30 km / h Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km /h Tính quãng đờng AB, biết thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút

Lời Giải

Gọi chiều dài của quãng đờng AB là x ( km).(x> 0).

Thời gian ngời đi xe máy đi từ A đến B là (h); Thời gian ngời đi

xe máy đi từ B đến A là (h)

Vì ngời đi xe máy nghỉ tại B 20 phút và tổng thời gian cả đi và

về là là 5 giờ 50 phút do đó ta có phơng trình:

+ + = 5 ; giải PTBN ta đợc; x = 75.

Vậy độ dài quãng đờng AB là 75 km/h

-Bài toán 6 ( Dạng toán chuyển động)

Một Ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình

40 km/ h Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì đợcnửa quãng đờng AB, ngời lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng

đờng còn lại, do đó Ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tínhquãng đờng AB

Lời Giải

Gọi chiều dài của quãng đờng AB là x ( km).(x> 0) ( Ta chỉ xét

quãng đờng BC khi vận tốc thay đổi)

Ta có thời gian dự định đi hết quãng đờng BC là (h)

Thời gian Ô tô thực đi trên quãng đờng BC sau khi tăng vận tốc thêm

10 km/h là:

Vì sau khi ngời lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đờng còn lại, do đó Ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định do đó ta có phơng trình: = 1; giải PTBN ta đợc: x = 280

Vậy quãng đờng AB dài 280 km

-Bài toán 7 ( Dạng toán chuyển động)

Một Ô tô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định nếu xechạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vậntốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian

dự định đi lúc đầu

Lời Giải

Gọi chiều dài của quãng đờng AB là x ( km).(x> 0).

Thời gian xe chạy với vận tốc 35 km/h là (h); Thời gian xe chạy với vận tốc 50 km/h là (h)

Theo bài ra ta có phơng trình: - 2 = + 1 Giải PTBN ta

đợc x = 350 km

Vậy thời gian dự định là - 2 = 8 (giờ), Quãng đờng AB là 350 km

-Bài toán 8 ( Dạng toán chuyển động)

Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đơng kính 2m , xuấtphát cùng một lúc từ cùng một điểm Nếu chúng chuyển động cùngchiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngợcchiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật

Lời Giải

Gọi vận tốc của Vật I là x ( m/s).(x> 0).

Gọi vận tốc của Vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y).

Sau 20 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 20x, 20y ( m ).Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 20x – 20y = 20

Sau 4 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 4x, 4y ( m )

Vì nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau

-Bài toán 9 ( Dạng toán chuyển động)

Một chiếc Thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 5 giờ 20 phút một

Ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20

km Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng Ca nô chạy nhanh hơn Thuyền

12 km/h

Lời Giải

Gọi vận tốc của của Thuyền là x ( km/h).(x> 0).

Ta có vận tốc của Ca nô là x + 12 (km/h)

Thời gian Thuyền đi hết quãng đờng 20 km là: ( h)

Thời gian Ca nô đi hết quãng đờng 20 km là: ( h)

Vì sau 5 giờ 20 phút một Ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km, do đó ta có phơng trình: - =

Quãng đờng AB dài 270 km Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A

đến B Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến trớc Ô tô thứ hai 40 phút Tính vận tốc của mỗi Ô tô

Lời Giải

Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x ( km/h).(x> 12).

Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x - 12 (km/h)

Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là: ( h)

Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB là: ( h)

Vì hai Ô tô cùng xuất phát và Ô tô thứ nhất đến B trớc Ô tô thứ hai

-Bài toán 11 ( Dạng toán chuyển động)

Một Tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất

8 giờ 20 phút Tính vận tốc của Tàu thuỷ khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4 km/h

Lời Giải

Gọi vận tốc của Tàu thuỷ khi nớc yên lặng là x ( km/h).(x> 4).

Vận tốc Tàu thuỷ khi đi xuôi dòng: x + 4 ( km/h)

Vận tốc Tàu thuỷ khi đi ngợc dòng: x - 4 ( km/h)

Thời gian Tàu thuỷ đi xuôi dòng là: (h), Thời gian Tàu thuỷ đi ngợc dòng là: (h)

Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngợc dòng là 8 giờ 20 phút do đo

-Bài toán 12 ( Dạng toán chuyển động)

Hai Ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến sông A đến bếnsông B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, Ca nô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đờng đi Ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với

vận tốc nh cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai Ca nô đến

B cùng một lúc

Lời Giải

Gọi chiều dài quãng sông A B là x ( km).(x> 0).

Ta có thời gian Canô I chạy từ A đến B là: ( h), Ta có thời gian Canô II chạy từ A đến B là: ( h)

Trên đờng đi Ca nô II dừng lại 40 phút và cùng đến B do đó ta có phơng trình: - =

Giải PTBN ta đợc x = 80 km Vậy quãng đờng AB là 80km

-Bài toán 13 ( Dạng toán chuyển động)

Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km Mỗi giờ Ô tô thứ nhất chạy chanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B trớc Ô tô thứ hai là 100 phút Tính vận tốc của mỗi Ô tô

Lời Giải

Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x ( km/h).(x> 0).

Ta có vận tốc của Ô tô thứ nhất là x + 12 km/h

Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB là: ( h)

Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là: ( h)

Vì Ô tô thứ nhất đến địa điểm B trớc Ô tô thứ hai là 100 phút do

đó ta có PT: - =

Giải PTBH ta đợc x= 36 Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất 48 km/h, Ô tô thứ hai là 36 km/h

-Bài toán 14 ( Dạng toán chuyển động)

Một Ca nô xuôi dòng 42 km rồi ngớc dòng trở lại 20 km hết tổngcộng 5 giờ Biết vận tốc của dòng chảy là 2 km/h Tính vận tốc của Canô lúc dòng nớc yên lặng

Lời Giải

Gọi vận tốc của Ca nô khi nớc yên lặng là x ( km/h).(x> 2).

Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x + 2 ( km/h)

Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x - 2 ( km/h)

Thời gian Ca nô đi xuôi dòng là: (h)

Thời gian Ca nô đi ngợc dòng là: (h).

Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngợc dòng là 5 giờ do đó ta có phơng trình: + = 5

Giải PTBH: 5x2 - 62x + 24 = 0 ta đợc: x = 12 (TM) Vậy vận tốc

Ca nô khi nớc yên lặng là: 12 km/h

-Bài toán 15 ( Dạng toán chuyển động)

Hai ngời đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km,vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau

30 phút Tính vận tốc của mỗi ngời

Lời Giải

Gọi vận tốc của ngời đi chậm là x ( km/h).(x> 0).

Ta có vận tốc của ngời đi nhanh là x + 3 (km/h)

Thời gian ngời đi nhanh từ A đến B là (h)

Thời gian ngời đi chậm từ A đến B là (h)

Vì hai ngời đến B sớm, muộn hơn nhau 30 phút do đó ta có

-Bài toán 16 ( Dạng toán chuyển động)

Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai ngời gặp nhau tại địa điểm

C cách B 36 km Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h

Lời Giải

Gọi vận tốc của ngời đi từ A là x ( km/h).(x> 0).

Thời gian ngời đi từ A, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: (h)

Vận tốc của ngời đi từ B là x + 4 ( km/h).

Thời gian ngời đi từ B, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: (h)

Vì hai ngời gặp nhau tại C, ngời thứ hai đi sau ngời thứ nhất 1 giờ

-Bài toán 17 ( Dạng toán chuyển động)

Quãng đờng AB dài 120 km Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ

A đến B,Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến

B trớc Ô tô thứ hai 24 phút Tính vận tốc mỗi xe

Lời Giải

Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x ( km/h).(x> 0).

Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x – 10 ( km/h)

`Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là: ( h)

Thời gian Ô tô thứ hai hết quãng đờng AB là: ( h)

Vì Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến

B trớc Ô tô thứ hai 24 phút do đó ta có phơng trình: - =

Giải PT BH: x2 - 10x – 300 = 0 ta đợc x= 60 (TM) Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất là : 60 km/h

,vận tốc của Ô tô thứ hai là : 50 km/h

-Bài toán 18 ( Dạng toán chuyển động)

Một ngời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định Nếu ngời

đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định

2 giờ Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đờng AB

Lời Giải :

Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ngời đó là x ( km/h).(x> 0)

Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ngời đó là y (h).(y> 0)

Ta có độ dài của quãng đờng AB là x.y

Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự

định 1 giờ do đó ta có PT (1):

(x + 10).(y-1) =xy

Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự

Lời Giải :

Gọi vận tốc riêng của Ca nô là x ( km/p), ( x> 0)

Gọi vận tốc riêng của dòng nớc là y ; ( km/p), ( y> 0) ; (x> y)

Ta có vận tốc của Ca nô khi đi xuôi dòng là x+ y ( km/phút), ngợc dòng là x – y ( km/phút)

Thời gian Ca nô xuôi dòng 1 km là ( P ) Thời gian Ca nô ngợc dòng 1 km là ( P )

Vì tổng thời gian xuôi dòng 1 km và ngợc dòng 1km hết tất cả 3,5 phút do đó ta có phơng trình ( 1) là

-Bài toán 20 ( Dạng toán chuyển động)

Bạn Hà dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đẵ định Sau khi 1 giờ, Hà nghỉ 10 phút, do đó để đến B

đúng hẹn Hà phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc lúc đầu của Hà.

Lời Giải :

Gọi vận tốc lúc đầu của Hà là x, ( km/h), ( x> 0);

Thời gian Hà dự định đi từ A đến B là ( giờ);

Sau 1 giờ Hà đi đợc quãng đờng là x km, quãng đờng còn lại Hà phải đi là ( 120 – x);

Thời gian Hà đi trên quãng đờng còn lại ( 120 – x) là ( giờ );Vì trên đờng đi Hà nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hàphải tăng vận tốc thêm 6 km/h nên ta có phơng trình: = 1 + +

, giải PT BH: x2 + 42x – 4320 = 0 ta đợc: x1 = 48, x2 = - 90

( loại )

Vậy vận tốc lúc đầu của Hà là 48 km/h

-Bài toán 21 ( Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm

-Bài toán 22 ( Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

Một khu vờn Hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm một lối

đi xung quanh vờn ( thuộc đất vờn ) rộng 2 m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 Tính kích thớc ( các cạnh) của khu vờn đó

Lời Giải :

Gọi một cạnh của khu vờn là x, ( m ), x< 140

Ta có cạnh còn lại của khu vờn là: ( 140 – x)

Do lối xung quanh vờn rộng 2 m nên các kích thớc các cạnh còn lại đểtrồng trọt là: ( x – 4 ), (140 – x – 4 ) ( m )

Vì diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 do đó ta có phơng trình: ( x – 4 ) (140 – x – 4 ) = 4256.

Giải PTBH: x2 - 140x + 4800 = 0 ta đợc x2 = 80, x2 = 60 Vậy các cạnh của khu vờn HCN là 80 m, 60 m

-Bài toán 23 ( Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích củathửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lầnthì chu vi thửa ruộng không đổi

Vậy dịên tích của thửa ruộng HCN là; 50 75 = 3750 m2

-Bài toán 24 ( Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học)

Cho một tam giác vuông Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2 Nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh

đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm2 Tìm các cạnh của tam giác vuông đó

Lời Giải :

Gọi các cạnh của tam giác vuông lần lợt là x, y; ( cm ), x, y > 3

Vì khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2

-Bài toán 25 ( Dạng toán công việc chung, công việc riêng )

Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha Khi thực hiện mỗi ngày cày đợc 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa Tính diện tích thửa ruộng mà

đội phải cày theo kế hoạch

Lời Giải:

Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x, ( ha ), ( x> 0).Thời gian đội dự định cày là: ( giờ )

Diện tích mà đội thực cày là: ( x + 4 ), ( ha )

Thời gian mà đội thực cày là: ( giờ)

Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong trớc thời hạn 2 ngày do đó ta có phơng trình: - = 2

Giải PTBN ta đợc x= 360 Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha

-Bài toán 26 ( Dạng toán công việc chung, công việc riêng )

Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu

ng-ời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngng-ời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm

đợc 25% khối lợng công việc Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc

đó trong bao lâu

Sau 3 giờ Ngời thứ nhất làm đợc 3 (KLCV)

Sau 6 giờ Ngời thứ hai làm đợc 6 (KLCV)

Vì ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc do đó ta có phơng trình: + =

Theo bài ra ta có hệ phơng trình: , giải hệ phơng trình ta đợc:

Vậy thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là:

24 ( giờ )

Thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ)

-Bài toán 27 ( Dạng toán công việc chung, công việc riêng )

Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc

điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu

sẽ hoàn thành công việc

Lời Giải:

Gọi thời gian tổ hai làm một nmình hoàn thành công việc là x, ( giờ), x> 12

Trong 1 giờ tổ hai làm đợc khối lợng công việc: ( KLCV )

Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung đợc khối lợng công việc là: = ( KLCV )

Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 - = ( KLCV )

Vì tổ hai hoàn thàmh khối lợng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta

có phơng trình: : x = 10

Giải PTBN ta đợc x= 15 Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoànthành khối lợng công việc là: 15 giờ

-Bài toán 28 ( Dạng toán công việc chung, công việc riêng )

Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày

Lời Giải:

Gọi số công nhân của đội là x, ( ngời ), x> 0, ( nguyên dơng )

Số ngày hoàn thành công việc với x ngời là: ( ngày )

Số công nhân sau khi tăng 5 ngời là: x + 5

Số ngày hoàn thành công việc với x + 5 ngời là: ( ngày )

Vì nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày do đó ta có phơng trình:

- = 7 Giải PTBH ta đợc: x1 = 15; x2 = - 20 ( loại ).Vậy số công nhân của đội là 15 ngời

-Bài toán 29 ( Dạng toán công việc chung, công việc riêng )

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự đinh xong trong 12 ngày Họ cùng làm chung với nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc

điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đẵ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày

sẽ làm xong công việc nói trên ( với năng suất bình thờng)

-Bài toán 30 ( Dạng toán công việc chung, công việc riêng )

Hải và Sơn cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong Nếu Hải làm trong 5 giờ và Sơn làm trong 6 giờ thì cả hai làm đợc