2H1 KHOI DA DIEN THỂ TÍCH

Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó.. Thể tích của khối chóp đã cho bằng A.. Lời giải Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng

Lời giải Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao

bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

32

34

Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao

bằng 4a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 4: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao

bằng 2a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 5: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều

cao bằng 4a Thể tích khối chóp đã cho bằng

A

34

316

3 a . C 4a 3 D 16a 3

Lời giải

Thể tích khối chóp:

1.3

Câu 6: (Tham khảo 2018) Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là:

Lời giải

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là: V  Bh

13

Câu 7: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả

các mặt của hình bát diện đó Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A S 4 3a2 B S 3 a2 C I 2 3 a2 D I 8a2

V 

B

3 312

a

V 

C

3 32

a

V 

D

3 34

Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy Vậy có 11 mặt

Câu 10: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và

thể tích bằng a3 Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A

36

 a h

B

32

 a h

C

33

 a h

3 ABC

3 2

33

A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều.

Lời giải

Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục giác đều có tâm đốixứng Còn tứ diện đều không có tâm đối xứng

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A

3

4 23

a

383

a

3

8 23

a

3

2 23

Gọi khối chóp tứ giác đều là S ABCD. , tâm O, khi đó

Câu 2: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và

cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V của khối chóp S ABC

A

31312

a

V 

31112

a

V 

3116

a

V 

3114

a

V 

Lời giải

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao của tam

giác đáy Theo định lý Pitago ta có

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có

Câu 3: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam ' ' '

giác cân với AB AC a  , BAC  1200 Mặt phẳng (AB C ) tạo với đáy một góc 60 0 Tính

thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

338

a

V 

B

398

a

V 

C

38

a

V 

D

334

Hình lăng trụ tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh đáy

và một mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên

Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy, SA4,

3 ABC

Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có    BB a , đáy ABC là

tam giác vuông cân tại B và ACa 2 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A 

36

a V

B 

33

a V

C 

32

a V

A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

B Hai khối chóp tam giác.

C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

D Hai khối chóp tứ giác.

Lời giải

Mặt phẳng AB C chia khối lăng trụ   ABC A B C thành hai khối chóp   

Chóp tam giác: A A B C và chóp tứ giác:    A BB C C .  

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a ,cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V

của khối chóp đã cho

A 

3146

a V

B 

3142

a V

C 

326

a V

D 

322

a V

D S

Xét hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có ba kích thước đôi một khác nhau. ' ' ' '

Khi đó có 3 mặt phẳng đối xứng là MNOP QRST UVWX, ,

a

C

323

a

D

363

a

Lời giải

+) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: S ABCD a2

+) Chứng minh được BCSAB

SB

Ta được: SB BC 3 x2a2 a 3 x a 2

3 2

R

M Q

P T

W X

V U

C'

C D

A

D' B

Câu 11: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn góc

của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được

có thể tích lớn nhất

Lời giải

Ta có : h x cm   là đường cao hình hộp

Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 2x cm  

Vậy diện tích đáy hình hộp S 12 2 x2cm2

Suy ra với x  thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là 2 y 2 128

Câu 12: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính thể tích V của khối lập phương ABCD A B C D.     , biết

a

V 

C V 3 3a3 D

313

V  a

Lời giải

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x x ; 0

Xét tam giác ' ' 'A B C vuông cân tại B' ta có:

' ' ' ' ' '

A C A B B C x2x2 2x2  A C' 'x 2Xét tam giác 'A AC vuông tại ' A'ta có

AC A A A C  3a2 x2 2x2  x a

Thể tích của khối lập phương ABCD A B C D.     là V a3

Câu 13: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 Tính thể tích V của khối chóp

S ABCD

A

326

a

V 

B

324

a

V 

C V  2a3 D

323

Câu 14: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông

góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 30 Tính thể tích V của khốichóp S ABCD

A

3618

a

V 

B V  3a3 C

363

a

V 

D

333

B

A

C H

Câu 15: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác   

vuông cân tại A, cạnh AC  2 2 Biết AC tạo với mặt phẳng  ABC một góc 60 và



V

B

16 3



V

C

8 33



V

D

16 33

ABC A B C trừ đi thể tích của khối chóp    A A B C

Giả sử đường cao của lăng trụ là C H Khi đó góc giữa AC mặt phẳng  ABC là góc

a

157

a

213

a

153

a

B C D K

S

A

D K

H S

a S

Thể tích hình chóp S ABCD. :

3 36

a V

a AK

.Vậy  ,   21

Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng 1 Gọi M

, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA và  BB Đường thẳng  CM cắt đườngthẳng C A  tại P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C B  tại Q Thể tích khối đa diện lồi

A MPB NQ C C PQ MNI A B C C MNI

Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai

mặt phẳng vuông góc với nhau Gọi S là điểm đối xứng của Bqua đường thẳng DE Thể tíchcủa khối đa diện ABCDSEF bằng

E

D

C B

A

Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông

góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng

22

a

Tính thể tích của khốichóp đã cho

A

32

a

B

33

a

339

a

Lời giải

Ta có BCAB BC, SA BCAH Kẻ AHSB AH SBC

.Suy ra       2

AD a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC

tạo với đáy một góc 60 

Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

333

a V

33

a V

Câu 6: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và DA đôi một vuông góc

với nhau; AB6a , AC7a vàAD4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh

BC,CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

A

372

V  a

B V 14a3 C

3283

Câu 7: (Đề minh họa lần 1 2017) 111Equation Chapter 1 Section 1 Cho hình chóp tứ giác S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc

với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

34

3a Tính khoảng cách h từ B đến

mặt phẳng SCD

A

23

h a

B

43

h a

C

83

h a

D

34

Q P

NM

D

CB

A

SI

 là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Câu 8: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi V  là thể tích của khối đa

diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số

V V



A

12

V V





23

V V





58

V V





B

C

D G

Cách 2 Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp

Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCDcó thể tích bằng 12 và G là trọng tâm

của tam giác BCD Tính thể tích V của khối chóp A GBC

DN BC ha S

Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C.   , khoảng cách từ C đến

đường thẳng BB bằng 2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng

1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và

2 33

A M 

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

G

I D

A 2 B 1 C 3 D

2 33

Lời giải

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác

1 1

A B C có các cạnh A B 1 ; 1 A C 1  3; B C  1 1 2

Suy ra tam giác A B C 1 1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1

Gọi giao điểm của AM và A H  là T

Ta có:

2 33

A M 

; A H 1

13

A M AA

A B C

Câu 2: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng cách từ C đến ' ' '

đường thẳng BB' bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và CC lần lượt bằng 1'

và 3, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( ' ' ')A B C là trung điểm M của ' 'B C và

AA  AA  A A nên tam giác AA A1 2 vuông tại A

Gọi H là trung điểm A A1 2

thì

1 2 1 2

A A

.Lại có MH BB  '  MH  ( AA A1 2)  MH AH  suy ra MH  AM2 AH2  3

S S

Thể tích lăng trụ là V AM S   ABC  2.

Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu 'S Scos

Câu 3: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C.    Khoảng cách từ C đến

đường thẳng BB bằng 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng

1 và 2 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và

Lời giải

Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC , H là hình chiếu vuông góc của

C lên BB

Ta có AJ BB 1 

  2

Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có

52

.Gọi N là trung điểm BC, xét tam giác vuông ANF ta có:

AJK

.1.2 12

   SAJK SABC.cos 60

121cos 60

2

AJK ABC



.Vậy thể tích khối lăng trụ là V AM S. ABC

15 2 15.2

Câu 4: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C.

đến BB là 5 , khoảng cách từ A đến ' BB và ' CC lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc'

của A lên mặt phẳng ' ' ' A B C là trung điểm M của ' ' B C ,

15'

3



A M

Thể tích của khốilăng trụ đã cho bằng

Kẻ AI BB , ' AK CC ( hình vẽ ) '

Khoảng cách từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2'  AI 1, AK 2

Gọi F là trung điểm của BC

15'

Vì CC'BB' d C BB( , ') d K BB IK( , ')  5  AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK  EF BB  '  EF AIK  EFAE

AF

52153



32



AIK ABC

23

 S ABC

Xét AMF vuông tại A :

tan  AF AMF

AM

15333

A

Câu 5: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán

kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.

A V 144 B V 576 C V 576 2 D V 144 6

Lời giải

Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình chóp tứ giác đều lần lượt là x h x h ; ( , 0) Ta có đáy

là hình vuông với độ dài nửa đường chéo bằng 2

x

suy ra độ dài cạnh bên

2 22

x h l

ra khi h h 36 2 h h12,x12 vậy V max 576

Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA

vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng 3 Gọi  là góc giữa haimặt phẳng SBC và  ABC , tính  cos khi thể tích khối chóp  S ABC nhỏ nhất.

3cos

2cos

1cos

2cos

2

Lời giải

Đặt ABACx x, 0

Ta có BC AB2AC2  2xGọi I là trung điểm của AB, hạ AHSI tại H

Ta có góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABC là  SIA·  góc nhọn

H

f t tt

33

3

Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều

bằng 2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB.

Vậy với 3 2x thì V ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng 3 3

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC,

và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành

hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V

A

3

13 2216

a

B

3

7 2216

a

C

3218

a

D

3

11 2216

Gọi diện tích một mặt của tứ diện làS Gọi P là giao điểm của NE và CD , tương tự cho Q.

Ta thấy P Q, lần lượt là trọng tâm các tam giác BEC và BEA nên  

14



.

19

Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên

nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính

thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.

A

125 1 2 6

125 5 2 2 12

125 2 2 4

Khối tròn xoay gồm 3 phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5 , bán kính đáy bằng

5

2 có thể tích2