Tài liệu Hình học được viết bởi Thầy Thế Anh giáo viên Toán nổi tiếng tại Hà Nội với hàng ngàn học sinh theo học và yêu mến. Các bài tập sát với đề thi THPT quốc gia 2017. Khối đa diện + Thể tíchTài liệu Hình học được viết bởi Thầy Thế Anh giáo viên Toán nổi tiếng tại Hà Nội với hàng ngàn học sinh theo học và yêu mến. Các bài tập sát với đề thi THPT quốc gia 2017. Khối đa diện + Thể tích
Trang 1Chuyên Đề Khối đa diện và Thể tích
Các em phải phân biệt hình với khối?
Hình: bao gồm các cạnh, các đỉnh
Khối: bao gồm cả cạnh, đỉnh, và các điểm bên trong hình đó
Hình đa diện là hình có các mặt là các đa giác
Mọi khối đa diện có thể phân chia thành nhiều những khối tứ diện
PHÉP ĐỐI XỨNG
Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của khối đa diện
M đối xứng với M’ qua mặt phẳng (P).=> (P) sẽ là mặt phẳng trung trực
N đối xứng N’ qua mặt phẳng (P)
=> MN=M’N’
Mặt phẳng đối xứng của một hình? Là mặt phẳng biến hình đó thành chính nó
Mọi mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu
VD1: Có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng của mặt cầu?
A 1 B 5 C.2 D Vô số
Đáp án D
VD2: Có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều?
A 2 B 4 C.6 D Vô số
Đáp án C
Đầu tiên ta cần biết thế nào là hình tứ diện đều? là hình có 4 mặt phẳng, 4 đỉnh và các cạnh bên
bằng các cạnh đáy Hay đơn giản là 4 mặt là các tam giác đều
Mặt phẳng đi qua cạnh và trung điểm cạnh đối diện Có 6 cạnh => 6 mặt phẳng đối xứng
VD3: Có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng của hình lập phương?
A 4 B 6 C.8 D Vô số
Hình lập phương là hình có 6 mặt là hình vuông bằng nhau, các mặt bên vuông góc với mặt đáy
Đáp án C
VD4: Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt đối xứng?
A 3 B 6 C.8 D Vô số
Hình bát diện đều là hình có 8 mặt là tam giác đều Đáp án A
PHÉP DỜI HÌNH – phép di chuyển mà vẫn bảo toàn khoảng cách
Một số ví dụ về phép dời hình:
Phép tịnh tiến theo một vecto v , Phép đối xứng qua đường thẳng (đối xứng trục), phép đối xứng
qua một điểm (phép đối xứng tâm)
Hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau
(giống như 2 tam giác bằng nhau)
Hai hình tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau
Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau
PHÉP VỊ TỰ
Cho hình tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’,D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD,ACD, ABD,ABC
Trang 2A 3 B 1/3 C -3 D -1/3
3
GA GA; 1
' 3
GB GB; 1
' 3
GC GC; 1
' 3
GD GD
Khối đa diện đều
Khối đa diện lồi: là khối đa diện mà bất kì điểm A, B nào của nó thì mọi điểm trên đoạn thẳng AB
cũng thuộc khối đó
Khối đa diện đều: là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây
Các mặt là đa giác đều và có cùng số cạnh
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh
cạnh
A 20 mặt B 12 mặt C 15 mặt D.8 mặt
Đáp án A
A 20 mặt B 12 mặt C 15 mặt D.8 mặt
Đáp án B
Đặc số Ơ-le của khối đa diện Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt
THỂ TÍCH
Thể tích là số đo phần không gian mà hình đó chiếm chỗ
Thể tích khối hộp chữ nhật: V=a.b.c (a,b,c lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ đứng: V=S.h (S: diện tích đáy, h là đường cao)
Thể tích khối chóp S.ABC Trên ba đường SA,SB,SC lần lượt lấy điểm A’,B’,C’ khác S Khi đó
.
' ' '
' ' '
S ABC
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC
Trang 3MINI TEST VD1: Tính thể tích khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối hình tám mặt
đều cạnh a
27
27
a C 4 3 2
27
a D 3
27a
Đáp án A
VD2: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh a
12
24
a C 3 2
9
a D 3
8
a
Đáp án A
VD2: Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh a
12
3
6
8
a
Đáp án B
VD3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’ Mặt phẳng
MNC’ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần Tính tỉ số thể tích giữa phần lớn và phần bé
A.2 B 3 C 4 D.5
Đáp án A
A Lớn hơn B Nhỏ hơn C Bằng D Gấp đôi
Đáp án C
A Lớn hơn B Nhỏ hơn C Bằng D Không so sánh được
Đáp án D
VD6: Tính thể tích của khối hộp ABCD A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a
2
a B 3 3
4
a C 3 3
8
16
a
Đáp án A Hướng dẫn AA’B’D’ là hình tứ diện đều cạnh a=> AA’=A’B’=AD’=B’D’=a Từ đó tinshd
được diện tích đáy là:
2 3 2
a
Áp dụng công thức tính thể tích khối hộp: V=S.h
Trang 4VD7 Tính thể tích khối lăng trụ n-giác biết tất cả các cạnh đều bằng a?
cot
4na n
B.1 3
cot
8na n
C.1 3
cot
2na n
D. 1 3
cot
16na n
Hướng dẫn:
n
=
cot 2
a n
4
a n
cot
4na n
2
a B 3
6
3
2a 6
AC AC a
I
B A
H
Trang 5Thể tích khối lăng trụ: V= ’ 3
6 2
AB AC CC
a
VD8 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a điểm A’ cách đều ba
A
3
3
8a B 3
8
a C 3 3
4
a D 3
4
a
4
a
2
3
3
8a Đáp án A
VD9 Cho M là điểm nằm trong tứ diện đều ABCD cạnh a Tính tổng khoảng cách từ M đến bốn
mặt của tứ diện?
2
3
3
4
a
Đáp án B
Hướng dẫn:
B
A
C
B'
A'
C'
A'
A
B
C
B'
C'
H
Trang 6Thể tích VABCD= 3 2
12
( ;( ) ( ;( ) ( ;( ) ( ;( )
2
( ;( ) ( ;( ) ( ;( ) ( ;( )
1
3
1 3
3 4
ABCD MBCD MABC MACD MABD
ABC M ABC M BCD M ACD M ABD
M ABC M BCD M ACD M ABD
a
6
M ABC M BCD M ACD M ABD
a
VD10 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm của AA’ Mặt phẳng đi qua
M,B’,C chi khối lăng trụ thành 2 phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó?
A 1 B 2 C 3 D 4
Diện tích đáy và đường cao giống nhau=> Thể tích bằng nhau
VD11: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua
AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần
lớn
A 2
7 B.2
9 C.3
5 D.2
3
A'
A
B
C B'
C' M
S
A
D
M Q
N
Trang 7Đáp án C Cách giải đúng:
Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(ABM)
.
.
3 8
SANB
SANB SADB SABCD SADB
SBMN
SBMN SBCD SABCD SBCD
SABMN SABN SBMN SABCD
SABMN ABMN ABCD SABCD
ABMN ABCD
V
V
SAI LẦM 1: Nhớ là công thức chỉ áp dụng cho tứ diện, khối chóp tam giác thôi nhé
Áp dụng bài toán này: Thể tích khối chóp S.ABCD Trên ba đường SA,SB,SC,SD lần lượt lấy điểm
A’,B’,C’,D’ khác S Khi đó
.
' ' ' '
' ' ' '
S ABCD
S A B C D
V SA SB SC SD
V SA SB SC SD
.
.1
S ANMQ
S ABCD
V SN SM SQ SA
V SB SC SD SA
Vậy tỉ số giữa phần nhỏ chi phần lớn: 2/7
VD12: Nếu có phép vị tự tỷ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ thì tính tỷ số
' ' ' '
.
' ' '
S A B C D
S ABCD
V SA SB SC
V SA SB SC
A 2 3
5k B. 3
k C 3
3
k D 2 3
3k
Đáp án B
MINI TEST
Câu 1: Khối lăng trụ n-giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt phẳng?
A 2n,3n,n+2 B 2n-1,3n+1,n+2 C 2n-1,3n+1,n+1 D 2n,3n+1,n+2
Đáp án A
Câu 2: Khối chóp n – giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt phẳng?
A n+1,2n-1,n+1 B n+1,2n,n+1 C n+1,2n,n+1 D n,2n+1,n+2
Đáp án B
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và AD Mặt
phẳng (CB’D’) chia tứ diện thành 2 phần Tính thể tích phần lớn hơn
A 3V/4 B 2V/3 C 5V/6 D 6V/7
Đáp án A
Trang 8Câu 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Các trung điểm của AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên 1 mặt
phẳng (P) Mặt phẳng (P) chia khối hộp ra thành 2 phần Thể tích phần lớn/Phần bé là?
A 1 B.2 C.3 D.4
Đáp số A
Câu 5: Cho khối tứ diện ABCD E,F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD Hai mặt phẳng
(ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện Thể tích của bốn khối tứ diện đó?
A Bằng nhau B Không xác định được C Khác nhau D Gấp 2 lần
Đáp án A
A
B
C
D
A'
B'
C' D'
C D
A
B
C
D E
F
Trang 9Câu 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích đáy là S AA’=h Một mặt phẳng (P) cắt AA’,
BB’,CC’ lần lượt tại A1, B1,C1 Biết AA1=a, BB1=b, CC1=c Mặt phẳng đó chia lăng trụ thành 2
phần bằng nhau? Điều kiện a,b,c ra sao thì thể tích hai phần đó bằng nhau
A a+b+c=3h B a+b+c=3h/2 C a+b+c=3h/4 D a+b+c=2h/3
Đáp án B
1 1 1 1 1 1 1
.
1 ( )
3
ABC A B C A ABC A BCC B
V V V a b c S
1 1 1
' ' '.
1
3
A B C A B C
V h a h b h c S
Để
1 1 1 1 1 1
' ' ' .
A B C A B C ABC A B C
Câu 7: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ và M là trung điểm của cạnh AB Mặt phẳng (B’C’M) chia
khối lăng trụ thành 2 phần Tính tỉ số thể tích phần nhỏ/phần lớn
A 4/7 B.5/7 C.9/7 D.11/7
Đáp án B
Câu 8: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a Đáy là tam giác vuông cân có AB=BC=a Gọi
B’ là trung điểm SB C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC
Tính thể tích S.AB’C’
A
3
36a B. 3
12a C. 3
24
a D. 3
16a
Đáp án A
Câu 9: Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu cạnh?
A.1 B.2 C.3 D.4
Đáp án C
Câu 10: Cho khối chóp có đáy là đa giác n- cạnh Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
A Số cạnh của khối chóp là n+1
B Số mặt của khối chóp là 2n
C Số đỉnh của khối chóp là 2n+1
D Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh
C'
C A1
B1
C1
Trang 10Câu 11: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng là chính nó khi nào?
A d//(P) B d(P) C d(P) D d(P) hoặc d(P)
Đáp án D
Câu 12: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng để
biến d thành d’?
A 1 B 2 C Không có D Vô số
Đáp số B
Câu 13: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 1 B 2 C 3 D 4
Đáp án D
Câu 14: Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối
xứng?
A 1 B 2 C 3 D 4
Đáp án C Hướng dẫn: bao gồm 2 mặt đi qua 2 cặp đường chéo của 2đáy và 1 mặt phẳng cắt
ngang hình hộp
Câu 15: Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B biết rằng OA=2OB Khi đó, tỷ số vị tự là
bao nhiêu?
A 1/2 B 2 C 1
2
D 2
Câu 15: Cho hai đường thẳng song song d, d’ và điểm O không nằm trên chúng Có bao nhiêu
phép vị tự biến d thành d’?
A Có một B Có hai C Không có D Có một hoặc không có
Đáp án A
Câu 16 Khối tám mặt đều thuộc loại
A 4,3 B 3, 3 C 3, 4 D 5, 3
Đáp án C
chung của p cạnh
Câu 17 Khối hai mươi mặt đều thuộc loại
A 4,3 B 3, 3 C 3, 4 D 5, 3
Đáp án D
Trang 11Câu 18: Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích nó tăng lên:
A k lần B k3 lần C k2 lần D 3k3 lần
Đáp án B
Câu 19: Tổng diện tích của các mặt của một hình lập phương bằng 96 Thể tích của khối lập
phương đó là:
A 64 B 91 C 84 D 48
Đáp án A
Tổng diện tích các mặt: 6a2=96=> a=4=> V=a3=64
Câu 20: Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2
Thể tích hình hộp đã cho 1728 Khi đó, các kích thước của hình hộp là?
A 8,16,32 B.2,4,8 C 6,12,24
D.2 3, 4 3,8 3
Đáp án: Ba cạnh có kích thước là: a, ak, ak2=> a3.k3=1728 Mà k=2=> a=6 Đáp án C
hình hộp đó là :
A 4 B 5 C 6 D 8
Đặt
2 2
2 2
2 2
, ,
5
10
13
a b c
a b
a c
b c
2 2
2 2
2 2 2
5
13
c b
c b
Vậy V=6 Đáp án C
Câu 22: Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13,30 và diện tích xung quanh
bằng 480 Khi đó thể tích của khối lăng trụ là?
A 2010 B 1010 C 1080 D 2040
Đáp án:
6
h
h
S p p a p b p c
V=S.h =1080 Đáp án C
Câu 23: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15 Cạnh bên tạo với đáy một góc
A 340 B 336
C.274 3 D.124 3
Trang 12h
S
V S h
Đáp án B
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp Khi đó thể tích của hình hộp là:
A a3 B 3
3
2
2
a
Đáp số:
2
a
(B’D là đường chéo nhỏ của hình hộp, AC là đường chéo lớn của đáy.)
2
Câu 25 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 thì thể tích tăng thêm 98 Cạnh của
hình lập phương đã cho là:
A 4 B 5 C 6 D.3
A'
A
B
C
B'
C'
A'
A
B
C D
B'
C' D'
Trang 13Đáp số: Đáp án D
hộp
A a3 B 3
3
a C 3 3
2
a
2
2
4a
Câu 27 Cho một hình lập phương có cạnh a Khi đó thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là
tâm của các mặt của hình lập phương đã cho bằng:
2
a B 3 3
9
a C 3
3
a D. 3
6
a
Đáp án D
Câu 28 Cho một khối tứ diện đều có cạnh bằng a Khi đó thể tích của khối tám mặt đều mà các
đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho bằng
24
a B 3 3
12
6
24
a
Đáp án: A
A'
A
B
C D
B'
C' D'
H
Trang 14Câu 29 Cho khối mười hai mặt đều (H) có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S Khi đó,
tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong (H) đến các mặt của nó bằng:
A 3
4
V
S B
4
V
S C.3V
S D
12
V S
Đáp án: C
Khối mười hai mặt đều có mặt phẳng cắt giữa là hình lục giác Gọi tâm O là tâm hình lục giác
Ta chỉ cần tính khoảng cách từ O đến các mặt là xong
Ta có thể chia khối H thành 12 hình chóp tam giác
Xét riêng 1 hình chóp thì khoảng cách từ O đến mặt đáy là:
1
12 3 a a 4
h S h
S
=> tổng khoảng cách từ O đến các mặt sẽ là: 12.ha=> đáp án C
Câu 30: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng của các cạnh đáy Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A 2888 B.1123 C.4273 D.1245 2
Đáp án A Các em nhớ công thức Herong tính S tam giác khi biết 3 cạnh
A 124 3 B.120 2 C.180 2 D.180
Đáp án D Diện tích đáy: S=36/ 2 , đường cao: h=10/ 2 => V=S.h=180
Câu 32: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Nếu dung tích của cái hộp đó là
4800 thì cạnh tấm bìa có độ dài là:
A.42 B.36 C.44 D.38
Đáp số C
Câu 33: Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
A
B
C
L
N M
R Q
Trang 15A 3cot
12
tan 12
tan 12
tan 4
Đáp án D
Câu 34: Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một
A.3 3cos2 .sin
4
3 cos sin 4
4
3 cos sin 4
Đáp án: B
Câu 35 Cho hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4, diện tích của một mặt bên bằng 2
Thể tích H là:
3 B.4 C.4/3 D 4 2
3
Đáp án A
Câu 36 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy 6,8,10 Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
A.16 3 B.8 3 C.16 2
3 D 16
Câu 37 Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích của nó
tăng lên:
A n2 B 2n2 A n3 A 2n3
Đáp án A
Câu 38 Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì
thể tích của nó
A Không thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng lên (n-1) lần D Giảm đi n lần
Đáp án B
