Tài liệ Bất đẳng thức 2

Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và đạt dấu "=" khi thỏa mãn 7... là 2 nghiệm của phương trình: Với giá trị nào của thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất.. Tìm

5 Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

và đạt dấu "=" khi thỏa mãn

7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :

Ta có :

Ta có :

+

Vậy

8 là 2 nghiệm của phương trình:

Với giá trị nào của thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

11 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Áp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có:

Vậy GTNN của P là Dấu =

13 Giả sử là hai số dương thỏa mãn điều kiện

17 Cho Chứng minh

bất đẳng thức đã cho đúng, dấu “ ” xảy ra

18 Chứng minh

Dấu xảy ra

Từ giả thiết suy ra:

Ta có:

Mà nên là nghiệm của phương trình

23 Cho 3 số thực thoả mãn các điều kiện sau: Chứng minh

Từ giả thiết suy ra: là nghiệm của phương trình:

27 Cho Chứng minh:

31 Cho thoả mãn: Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra

Dấu “ ” xảy ra

Nhận xét:

Ta có

Dấu xảy ra

Bất đẳng thức

34 Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacopxki:

Dấu " = " xảy ra khi

36 Chứng minh rằng nếu thì

(1)

(do x > 0) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh

37 Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

,

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

43 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Điều kiện Ta có :

Hoàn toàn tương tự ta có:

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Ta có b=2-a Thay vào có: với

Khảo sát F trên [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40

52 Cho a,b,c>0 Chứng minh:

Vậy có:

53 Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

54 Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

55 Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

56 Cho a,b,c>0 và thoả mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

57 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

58 Cho a,b>2 và: a+b=8 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0

Cộng vế hai bất đẳng thức ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 320 khi a=b=4

60 Cho a,b,c>0 và thoả mãn: Chứng minh rằng:

61 Cho a,b,c>2 và thoả mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

62 Cho tam giác ABC có ba cạnh a,b,c thoả: a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

63 Cho a,b,c>0 và thoả: abc=ab+bc+ca Tìm giá trị lớn nhất của:

65 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

66 Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện :

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

67 Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện và

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ Bảng biến thiên ta có:

68 Các số x, y, z thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện :

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

74 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = với x ; y; z > 0

ta có 1 + =

tương tự với các nhân tử trong ngoặc còn lại ta được M

dấu = xảy ra khi x = y = z

75 Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 1.Chứng minh rằng :

Tìm Max của A=abcd

83 Cho x,y,z > 0 và x*y*z=1, n thuộc tập hợp các số nguyên dương

Tìm Min của biểu thức :

84 CMR nếu tam giác ABC có các cạnh a,b,c và có diện tích bằng 1 thì

Ta có

Biến đổi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c

85 Cho x,y dương thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của x+y

Côsi cho 2 số dương và

88 chứng minh với mọi a,b,c dương:

Sử dụng bdt Cauchy - Schwarz ta có:

Từ hai bdt trên suy ra điều phải chứng minh

89 Cho Chứng minh rằng:

90 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

trong đó x,y là các số thực thỏa mãn:

91 Cho a>0,b>0,c>0 và abc=1 ,chứng minh : P=

ta có bất đẳng thức với a,b,c >0 :

Vì tích abc=0 và a>0,b>0,c>0 nên ta đặt : (với x,y,z >0}

vậy

93 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = abc Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =

94 Cho tam giác Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Ta có:

vì Vậy Bất đẳng thức đúng

hãy tìm nghiệm có tổng (x+3y) nhỏ nhất

96 tìm min: với x>0,y>0,z>0 và :

áp dụng BĐT với 6 số dương :

99 Cho x,y,z là 3 số dương và Chứng minh rằng

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

101 Cho a, b, c> 0 và a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

102 Cho a, b, c>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Vậy có:

Vậy MinF=6 khi a=b=c=1

103 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

105 Cho Tìm giá trị lớn nhất của:

106 Cho a, b, c>0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của:

108 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng :

Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi và chỉ khi a=b=c=1

110 Cho a,b>o và thoả: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Vậy khi và chỉ khi a=b=c=1.

111 Cho a,b,c>0 và: a+b+c=abc Tìm giá trị nhỏ nhất của:

tương tự (2) (3)

Mặt khác ta lại có: (4) (5) (6)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2),(3),(4),(5) và (6) ta có:

113 Cho a,b,c>0 và: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Lại có:

Dấu bằng khi: