ỨNG DỤNG đạo hàm TÍNH đơn điệu của hàm số(lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) file w (lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) file word image marked

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.. Khẳng định nào sao đây

BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ NB-TH: 26 câu - VD: 21 câu - VDC: 8 câu

■ Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu

"x1, x2 ÎK,x1< x2Þ f x( )1 < f x( )2 Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu

"x1, x2 ÎK,x1< x2Þ f x( )1 > f x( )2

■ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì

f ' x( )³ 0,"x ÎK Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì

Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f (x) liên tục trên

đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f (x)liên tục trên đoạn

1.1.1 Chiều biến thiên của hàm số

đúng?

A Nếu f '(x) ³ 0,"x ÎK , f '(x) = 0chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số tăng trên K

B Nếu

f ' x( )> 0thì hàm số đồng biến trên khoảng K

C Nếu f '(x) ³ 0,"x ÎK thì hàm số tăng trên K

D Hàm số

y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu

"x1, x2ÎK,x1< x2 Þ f x( )1 > f x( )2 Hướng dẫn giải

Xem phần lý thuyết

1- x Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥;1) và (1;+¥)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1)È 1;+¥( )

C Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-¥;1) và (1;+¥)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1)È 1;+¥( )

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−;1)và (1;+)

3+ 3x2- 3x + 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến trên

B Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-¥;1)và 1;+¥( )

C Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1) và nghịch biến trên khoảng 1;+¥( )

D Hàm số luôn đồng biến trên

(I) (-¥;- 2) ;(II) (- 2;0) ;(III)( )0; 2 Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A (I) và (III) B (I) và (II) C (II) và (III) D Chỉ (I)

A Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

B Hàm số luôn nghịch biến trên

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;2)và (2;+¥)

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;- 2) và(-2;+¥)

+) lập bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên ( )1;5

Câu 11 [NB-TH]Cho hàm số y=x3+3x2−9x+15 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;1)

C Hàm số đồng biến trên (− − 9; 5) D Hàm số đồng biến trên khoảng (5; + )Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D =

+) Do y'=3x2+6x− =9 3(x−1)(x+3) nên hàm số không đồng biến trên

A Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;0)và 2;3( )

B Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2( )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;2); 2; 3( )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 3( )

=



 =

+) BBT

ỉ

èç

ừ÷và

11p

12 ;p

ỉèç

ỉèç

ừ÷

C

0;7p12

ỉ

èç

ừ÷và

7p

12;

11p12

ỉèç

ỉèç

ừ÷và

11p

12 ;p

ỉèç

ừ÷ Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D =

+) ' 1 sin 2

2

Giải ' 0 sin 2 1 12

72

2x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số luơn đồng biến trên

ừ÷và nghịch biến trên khoảng

-¥;p

4+ kp

ỉèç

ừ÷

ừ÷và đồng biến trên khoảng

-¥;p

4 + kp

ỉèç

ừ÷

D Hàm số luơn nghịch biến trên

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D = ; y' = 1- sin 2x ³ 0 , "x Ỵ

+) Hàm số luơn đồng biến trên

Câu 15 [NB-TH]Cho các hàm số sau:

3 2

1

3 43

1

x y x

−

=+ ;

24

=+ đồng biến trên Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Hướng dẫn giải

y = x +1 x - 2( ) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;-1)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1

2) và đồng biến trên khoảng (

ìíî

Câu 19 [NB-TH]Cho hàm số y = x + 3+ 2 2 - x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1) và nghịch biến trên khoảng ( )1;2

B Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;-2)và nghịch biến trên khoảng ( )-2;2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;-2)và đồng biến trên khoảng ( )-2;2

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1) và đồng biến trên khoảng ( )1;2

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D = −( ; 2

'2

x y

ỉèç

ừ÷ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số khơng đổi trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷

B Hàm số luơn tăng trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷

C Hàm số luơn giảm trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷

D Hàm số đơn điệu trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷ ( vừa tăng, vừa giảm trên -

p

2;

p2

ỉèç

ừ÷)

cos 2 cos sin 2 sin

ỉèç

ừ÷

1.1.2 Tìm tham số, để hàm số đơn điệu

Câu 21 [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y= x - m + 2

x+1 giảm trên các khoảng mà nĩ xác định ?

A. m < 1 B m £ -3 C m £ 1 D m < -3

Hướng dẫn giải

+) Tập xác định:

D= \ -1{ }+)

( )2

1'

1

m y x

−

=+

+) Để hàm số giảm trên các khoảng mà nĩ xác định

ïỵï

+) Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó

m³ -1

m£ 1

ìí

luôn nghịch biến trên ?

m³ -4

m£ 23

ìíïîï

+) Phương trình f'( )x =0 có nghiệm kép khi m =0, nghĩa là hàm số luôn đồng biến

+) Trường hợp m 0 , phương trình f'( )x =0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yên cầu bài toán)

ï

+) Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên là m = − 1

Hướng dẫn giải

+) Tập xác định:

D = \ -m{ }+)

+) Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng (-2;-1)

Câu 29 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= mx+ 4

x + m giảm trên khoảng

4' m

y

−

=+

+) Để hàm số giảm trên khoảng

Trường hợp 2.2: y =' 0 có hai nghiệm x x thỏa 1, 2

3 > 0

ìí

ïï

î

ïï

+) Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ³ max g(x) Û m ³ 12

Câu 31 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4- 2(m-1)x2+ m- 2 đồng

biến trên khoảng

(1;3)? A

mÎ -¥;2( ùû B

mÎ -5;2éë ) C

mÎ 2,+¥( ) D

mÎ -¥;-5( ) Hướng dẫn giải

g

2

10

+) Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m £ min g(x) Û m £ 2

Câu 32 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1

3x3-1

2mx2+ 2mx - 3m + 4

nghịch biến trên một đoạn cĩ độ dài là 3?

A m = -1;m = 9 B m = -1 C m = 9 D m =1;m = -9 Hướng dẫn giải

Câu 33 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1- sin x

sin x - m nghịch biến trên

ừ÷ Þ f (t) =

1- t

t - mnghịch biến trên khoảng 0;

12

ỉèç

ừ÷

+) Hàm số nghịch biến trên

0;12

ỉèç

ừ÷ Û f '(t) =

ừ÷

êêê

ìíïïỵ

ïï

Û m £ 0 hoặc

1

2 £ m < 1

Câu 34 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = tan x - 2

tan x - m đồng biến trên

ìíïî

+) Tập xác định , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

-¥;p q

11

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

(x - m)2

+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ( )g x    0, x D

+) Điều kiện tương đương là

Dg( x) = -m2+ m + 2 £ 0 Û m£ -1

m³ 2

éëê

+) Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

2

2x (1 m x) 1 m y

 = có hai nghiệm thỏa x1x21

Điều kiện tương đương là

2g(1) = 2(m2- 6m +1) ³ 0 S

2 = m £ 1

ìíïîï

Û m £ 3- 2 2 » 0,2

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 39 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số avà b sao cho hàm số

Câu 40 [VDC]Tìm mối liên hệ giữa các tham số avà b sao cho hàm số y= f x( )=2x a+ sinx b+ cosx

luôn tăng trên ?

2 2 2 2

y    −x a +b  a +b 

1.1.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

x − x − x− =m có đúng 1 nghiệm?

A m  −27 hoặc m  5 B m  − hoặc 5 m 27

C −   27 m 5 D −  5 m 27

Hướng dẫn giải

+) (1) Û m = x3- 3x2- 9x = f (x)

+) Bảng biến thiên của f x( ) trên

+) Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m  −27 hoặc m  5

Câu 42 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x +1 = x + m có

nghiệm?

A. m £ 2 B m  2 C m  3 D m  3

Hướng dẫn giải

+) Đặt t = x +1,t ³ 0

+) Phương trình thành: 2t = − +  = − + + t2 1 m m t2 2t 1

+) Xét hàm số f t( )= − + +t2 2t 1,t0; f t'( )= − +2t 2

+) Bảng biến thiên của f(t)

t 0 1 +∞

f’(t) + 0 -

f(t) 2

1 -∞

+) Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m  2

Câu 43 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2- 4x +5 = m+ 4x - x2

có đúng 2 nghiệm dương?

f(x)

−

5

27

−

+

m = + −  + − − = (1) t t t t m Nếu phương trình (1) có nghiệm t t thì 2, 2 t1+ = −t2 1 (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t  1+) Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1

g(t)

5

-3

Câu 46 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2+ mx + 2 = 2x +1 có

+) Ta có : f '(t) = 2 - 6t ta có :

f '(t) = 0 Û t =1

3+) BBT

ùû

ú

ú +) Thay vào bất phương trình ta được f (t) = t

0

+) Từ bảng biến thiên ta có : m < 0

Câu 49 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

3( 1+ x + 3- x)- 2 (1+ x)(3- x) ³ m nghiệm đúng với mọi

+) Từ bảng biến thiên ta có m £ 6 2 - 4 thỏa đề bài

Câu 50 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

ừ÷

cos2x

+ 3 19

ỉèç

ừ÷

+) So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S =[1; 4]

Câu 55 [VD]Bất phương trình x2- 2x + 3 - x2- 6x +11 > 3- x - x -1 có tập nghiệm

(a;bùû Hỏi hiệu b - a có giá trị là bao nhiêu?