Đề tài Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT

Đề tài Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Xuất phát từ nhu cầu thực tế của việc dạy và học nội dung bất đẳng thức ở bậc phổ thông và trong khuôn khổ một luận văn đề tài được lựa chọn là: “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT”. 1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU a. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và khai thác khả năng vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT. b. Nhiệm vụ nghiên cứu •Tìm hiểu mối liên hệ giữa toán cao cấp và môn toán ở trường phổ thông nói chung, giữa toán cao cấp và nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán phổ thông nói riêng •Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu •Đề xuất một số giải pháp vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán ở các chuyên toán THPT. 1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu bằng việc vận dụng các kiến thức của toán cao cấp GV dạy môn Toán ở các trường THPT có thể: •Đưa ra một hệ thống các bài toán về bất đẳng thức. •Giải một số dạng toán về bất đẳng thức. •Đánh giá nhanh lời giải của HS trong các bài toán về bất đẳng thức. Thì việc dạy nội dung bất đẳng thức của GV môn Toán ở các trường THPT nói chung và ở các lớp chuyên toán THPT nói riêng sẽ đạt được hiệu quả hơn. Hơn nữa, GV còn có thể xây dựng được các chuyên đề về bất đẳng thức dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi. 1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu nằm trong khuôn khổ một đề tài được nhiều GV dạy toán quan tâm đó là: “Vận dụng toán cao cấp vào việc dạy môn toán ở trường phổ thông”. Việc nghiên cứu đề tài này còn là mong muốn của tác giả góp phần hưởng ứng cuộc vận động đổi mới PPDH của Bộ Giáo dục và Đào tạo đang diễn ra trong tất cả các ngành, bậc học. 1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU a. Quy trình nghiên cứu Bước 1: Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Bước 2: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan và các kết quả đã đạt được về vấn đề vận dụng toán cao cấp vào dạy học bất đẳng thức trong môn toán ở trường phổ thông Bước 3: Đề xuất giải pháp thực tế khả thi thực hiện việc áp dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT Bước 4: Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi của giải pháp Bước 5: Viết luận văn, báo để bảo vệ và công bố kết quả b. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: •Nghiên cứu về nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học. •Nghiên cứu lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh. •Nghiên cứu các nội dung của Toán cao cấp có liên quan trực tiếp đến môn Toán ở trường phổ thông nói chung và có liên quan trực tiếp đến nội dung bất đẳng thức nói riêng. •Nghiên cứu chương trình, nội dung và các chuyên đề bồi dưỡng ở các lớp chuyên toán THPT. Điều tra, quan sát: •Điều tra thực trạng việc vận dụng Toán cao cấp vào việc dạy môn toán ở trường phổ thông nói chung và ở các lớp chuyên toán của THPT nói riêng. •Điều tra thực trạng vấn đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh các lớp chuyên toán THPT. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết các kết quả nghiên cứu về lí luận và những vấn đề điều tra quan sát được dùng làm căn cứ cho việc viết luận văn. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các đề xuất nêu trong luận văn 1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm có 4 chương (không kể tới các phần mở đầu, danh mục chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, phụ lục): Chương 1: Giới thiệu chung về đề tài Chương 2: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Chương 3: Một số giải pháp thực hiện việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT Chương 4: Thực nghiệm sư phạm TÓM TẮT CHƯƠNG 1 Trong chương này, luận văn đã trình bày một cách khái quát về đề tài nghiên cứu “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT” đó là: Nội dung nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, ý nghĩa của việc nghiên cứu, quy trình và phương pháp nghiên cứu.

MỤC LỤC

Chương I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1

1.1 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 4

1.2 NHU CẦU NGHIÊN CỨU 5

1.3 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 6

1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 6

1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 7

1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU 7

1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 7

1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN 9

TÓM TẮT CHƯƠNG 1 6

Chương 2: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 10

2.1 NHU CẦU, ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PPDH MÔN TOÁN 10

2.2 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 11

2.2.1 Lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh 11

2.2.2 Vấn đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT 18

2.2.3 Tình hình vận dụng toán cao cấp vào việc dạy học môn toán ở các lớp chuyên THPT 26

2.3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐÃ ĐƯỢC NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 28

2.4 VẤN ĐỀ ĐẶT RA CHO LUẬN VĂN 28

TÓM TẮT CHƯƠNG 2 29

3.1.1 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất của đạo hàm 30

3.1.2 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất của hàm lồi 43

3.1.3 Xây dựng bất đẳng thức từ bất đẳng thức vectơ 50

3.2 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VỀ VIỆC VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP ĐỂ TÌM LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ở THPT 53

3.2.1 Một số ví dụ về vận dụng tính chất hàm lồi để tìm lời giải một số bài toán về bất đẳng thức ở THPT 53

3.2.2 Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức véctơ để tìm lời giải một số bài toán bất đẳng thức ở THPT 74

3.2.3 Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức Schwarz để tìm lời giải một số bài toán về bất đẳng thức ở THPT 84

3.2.4 Một số ví dụ minh họa về việc vận dụng bất đẳng thức hoán vị để giải một số bài toán về bất đẳng thức 91

3.3 VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP ĐỂ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ NHANH LỜI GIẢI CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 96

3.3.1 Bất đẳng thức Cauchy - Giá trị lớn nhất và bé nhất của một biểu thức 96

3.3.2 Vận dụng kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy để kiểm tra đánh giá nhanh lời giải của học sinh 98

3.3.3 Vận dụng bất đẳng thức vectơ để kiểm tra, đánh giá nhanh lời giải của học sinh trong dạy học bất đẳng thức 103

3.3.4 Vận dụng bất đẳng thức Jensen để kiểm tra, đánh giá nhanh lời giải của học sinh trong dạy học bất đẳng thức 105

TÓM TẮT CHƯƠNG 3 108

Chương 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 109

4.1 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM 109

4.1.1 Mục đích thực nghiệm 109

4.2 NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 109

4.3 TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM 109

4.4 GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 110

4.5 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 118

4.5.1 Đề kiểm tra thực nghiệm 118

4.5.2 Về phương pháp và khả năng lĩnh hội của học sinh 119

4.5.3 Về kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm sư phạm 119

TÓM TẮT CHƯƠNG 4 117

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 121

TÀI LIỆU THAM KHẢO 122

PHỤ LỤC 124

Chương I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1.1 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Đất nước ta đang trong thời kì công nghiệp hóa, hiện đại hóa chuyển từ kinh tế tập trung sang cơ chế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa đòi hỏi phải có một lực lượng lao động khoa học, kĩ thuật chất lượng cao Hơn lúc nào hết, việc phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước được coi là quốc sách Vấn đề này được thể hiện qua các nghị quyết số 14/NQTƯ (11/1979) và đặc biệt là Hiến pháp nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (1992, Điều

66, Điều 72) đã trực tiếp đề cập đến việc phát triển các trường đào tạo tài năng đặc biệt là các trường chuyên Đào tạo nhân tài là một trong những mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục mà các trường chuyên là một trong những mũi nhọn tiên phong trong quá trình đào tạo nhân tài cho đất nước Trong đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh là hết sức cần thiết để đào tạo nhân tài Vì vậy, Hội nghị lần IV BCHTƯ Đảng khóa 7 (1/1993) đã ra nghị quyết

về “tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo”, nêu rõ bốn quan điểm chỉ đạo của Đảng, trong đó có quan điểm thứ hai trực tiếp đề cập đến việc “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”

Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh ” (Luật Giáo dục 1998, chương I, điều 24) Quy định này đã trở thành định hướng cho việc đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay,

có thể gọi tắt là định hướng hoạt động mà tinh thần cơ bản là: Phương pháp dạy học cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Trong xu thế đổi mới phương pháp dạy học thì việc vận dụng toán cao

nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà Hơn nữa, nó góp phần vào việc hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh THPT

Toán cao cấp và toán THPT có mối liên hệ chặt chẽ Nhưng không ít sinh viên khoa Toán ở các trường sư phạm hiểu đây là hai lĩnh vực riêng độc lập của môn Toán Trên thực tế chúng có liên hệ với nhau : rất nhiều những khái niệm toán cao cấp có nguồn gốc từ môn Toán ở THPT nhưng mối liên hệ

đó bị che phủ, bị lu mờ Điều này làm hạn chế việc vận dụng toán cao cấp vào dạy toán ở THPT Do đó cần tìm giải pháp thích hợp để vận dụng toán cao cấp vào dạy mỗi nội dung trong môn toán THPT

Việc vận dụng toán cao cấp vào dạy môn toán ở trường phổ thông là một đề tài đã và đang được rất nhiều giáo viên toán THPT quan tâm; song vẫn còn đó những hạn chế và còn gặp nhiều khó khăn trong việc triển khai và thực hiện đề tài ở các trường phổ thông

Hệ thống các lớp chuyên chọn được tổ chức một cách có hệ thống ở các bậc học xong tài liệu giảng dạy dành cho các lớp chuyên chưa được hoàn thiện Nếu các tài liệu đó được liên tục bổ sung thì sẽ tốt cho việc bồi dưỡng năng lực giải toán đối với học sinh chuyên toán THPT

Từ đó vấn đề đặt ra là tìm hiểu khả năng vận dụng toán cao cấp vào việc dạy học môn toán ở trường phổ thông Tuy nhiên trong khuôn khổ một luận văn tác giả chỉ đi nghiên cứu, tìm hiểu khả năng vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán ở các lớp chuyên toán THPT

1.2 NHU CẦU NGHIÊN CỨU

Bất đẳng thức là một trong những nội dung khó trong chương trình ở bậc phổ thông Chúng ta không có một chiến lược giải chung, một quy tắc tựa thuật giải chung cho tất cả các bài toán về bất đẳng thức thậm chí cho một lớp các bài toán về bất đẳng thức Để tìm lời giải cho một bài toán về bất đẳng thức phải dựa trên những đặc điểm riêng có tính chất đặc thù của bài toán Có

nhiều bài toán về bất đẳng thức mà lời giải mang tính “thủ thuật”, đôi khi lời giải có được không dựa trên các phương pháp tư duy thường dùng Vì vậy việc dạy và học nội dung bất đẳng thức gặp nhiều khó khăn cho cả học sinh

và giáo viên Trong khi nội dung bất đẳng thức giữ một phần quan trọng trong chương trình môn toán ở bậc phổ thông Hơn nữa, dạy học nội dung bất đẳng thức còn tạo ra một môi trường thuận lợi để giáo viên cung cấp tri thức phương pháp và phát triển tư duy cho học sinh

Vì vậy việc nghiên cứu để nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung bất đẳng thức ở bậc phổ thông là một nhu cầu thực tiễn

1.3 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

Xuất phát từ nhu cầu thực tế của việc dạy và học nội dung bất đẳng thức ở bậc phổ thông và trong khuôn khổ một luận văn đề tài được lựa

chọn là: “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học

sinh chuyên toán THPT”

1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

a Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và khai thác khả năng vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT

b Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu mối liên hệ giữa toán cao cấp và môn toán ở trường phổ thông nói chung, giữa toán cao cấp và nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán phổ thông nói riêng

 Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

 Đề xuất một số giải pháp vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán ở các chuyên toán THPT

1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu bằng việc vận dụng các kiến thức của toán cao cấp GV dạy môn Toán ở các trường THPT có thể:

 Đưa ra một hệ thống các bài toán về bất đẳng thức

 Giải một số dạng toán về bất đẳng thức

 Đánh giá nhanh lời giải của HS trong các bài toán về bất đẳng thức Thì việc dạy nội dung bất đẳng thức của GV môn Toán ở các trường THPT nói chung và ở các lớp chuyên toán THPT nói riêng sẽ đạt được hiệu quả hơn Hơn nữa, GV còn có thể xây dựng được các chuyên đề về bất đẳng thức dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi

1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU

Đề tài nghiên cứu nằm trong khuôn khổ một đề tài được nhiều GV dạy toán quan tâm đó là: “Vận dụng toán cao cấp vào việc dạy môn toán ở trường phổ thông” Việc nghiên cứu đề tài này còn là mong muốn của tác giả góp phần hưởng ứng cuộc vận động đổi mới PPDH của Bộ Giáo dục và Đào tạo đang diễn ra trong tất cả các ngành, bậc học

1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

a Quy trình nghiên cứu

Bước 1: Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Bước 2: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan và các kết quả đã đạt được về

vấn đề vận dụng toán cao cấp vào dạy học bất đẳng thức trong môn toán ở trường phổ thông

Bước 3: Đề xuất giải pháp thực tế khả thi thực hiện việc áp dụng toán cao cấp

vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT

Bước 4: Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi của giải pháp Bước 5: Viết luận văn, báo để bảo vệ và công bố kết quả

b Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận:

 Nghiên cứu về nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học

 Nghiên cứu lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh

 Nghiên cứu các nội dung của Toán cao cấp có liên quan trực tiếp đến môn Toán ở trường phổ thông nói chung và có liên quan trực tiếp đến nội dung bất đẳng thức nói riêng

 Nghiên cứu chương trình, nội dung và các chuyên đề bồi dưỡng ở các lớp chuyên toán THPT

Điều tra, quan sát:

 Điều tra thực trạng việc vận dụng Toán cao cấp vào việc dạy môn toán

ở trường phổ thông nói chung và ở các lớp chuyên toán của THPT nói riêng

 Điều tra thực trạng vấn đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh các lớp chuyên toán THPT

1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm có 4 chương (không kể tới các phần mở đầu, danh mục chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, phụ lục):

Chương 1: Giới thiệu chung về đề tài

Chương 2: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Chương 3: Một số giải pháp thực hiện việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

TÓM TẮT CHƯƠNG 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày một cách khái quát về đề tài nghiên cứu “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT” đó là: Nội dung nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, ý nghĩa của việc nghiên cứu, quy trình và phương pháp nghiên cứu

Chương 2: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.1 NHU CẦU, ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PPDH MÔN TOÁN

Trong văn kiện của Đảng và Nhà nước đã từng đề cập tới vấn đề đổi mới PPDH: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh ” (Luật Giáo dục 2005)

Trong công cuộc hội nhập và đổi mới điều đầu tiên đó là hội nhập về tri thức Trong công cuộc hội nhập về tri thức ấy, lĩnh vực phải hội nhập trước nhất và quyết liệt nhất chính là lĩnh vực giáo dục

Trước những yêu cầu và nhu cầu của sự phát triển xã hội, kinh tế đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục Nền giáo dục quốc dân phải tạo ra một thế hệ mới những công dân có năng lực lao động một cách tự chủ, tích cực và sáng tạo Điều này đặt ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, đòi hỏi có những thay đổi, điều chỉnh về nội dung dạy học, phương pháp dạy học

và đương nhiên cả mục tiêu dạy học một cách phù hợp

Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần hình thành và phát triển nhân cách Song song với việc tiếp thu tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, môn Toán còn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung, rèn luyện một số đức tính và phẩm chất cần thiết cho người lao động như: tính chính xác, khoa học, kỷ luật, sáng tạo…Ngoài ra, môn Toán còn là công cụ giúp học sinh học tập các môn học khác trong nhà trường phổ thông, tạo cơ sở để học sinh học tiếp đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động

Mục tiêu dạy học không chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở những tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quy

trình học tập một cách có hiệu quả Như vậy, để học tập có hiệu quả thì hiểu

lý thuyết thôi chưa đủ, người học cần vận dụng lý thuyết vào thực hành mà trước hết là vận dụng lý thuyết vào giải toán Việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán không chỉ đơn thuần là dạy giải một bài toán cụ thể mà quan trọng là thông qua bài toán đó GV dạy cho học sinh chiến lược để giải toán Qua quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán cụ thể, GV cần cài đặt sẵn những tri thức phương pháp giải toán trong đó Dần dần học sinh lĩnh hội

và rèn luyện phương pháp tìm lời giải cho một lớp các bài toán Cao hơn nữa học sinh tự mình giải quyết được các bài toán mới lạ

2.2 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.2.1 Lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh

Phần này được viết dựa vào các tài liệu sau:[13], [15], [16], [17], [19]

2.2.1.1 Năng lực

Khái niệm năng lực đã từ lâu được rất nhiều nhà giáo dục học quan tâm, nghiên cứu và cũng có rất nhiều cách quan niệm về khái niệm này

 Theo Từ điển Tiếng Việt 1995 NXB Đà Nẵng ([16]), năng lực là:

- Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó

- Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

 Theo Từ điển Giáo dục (NXBGD)([15]) thì:

- Năng lực, khả năng được hình thành hoặc phát triển, cho phép một con người đạt thành công trong một hoạt động thể lực, trí lực hoặc nghề nghiệp

- Năng lực được thể hiện vào khả năng thi hành một hoạt động, thực hiện một nhiệm vụ Năng lực chỉ có hiệu quả khi nó được chứng minh Trong trường hợp ngược lại nó chỉ là giả định hoặc không có thực

- Năng lực có thể bẩm sinh hoặc do rèn luyện mà chiếm lĩnh được Nó phát triển bởi kinh nghiệm hoặc bởi việc học tập phù hợp với tính riêng biệt của cá nhân

- Năng lực được coi như khả năng của con người khi đối mặt với tình huống mới, gợi lại được những tin tức và những kĩ thuật đã được sử dụng trong những thực nghiệm trước đây

 Hiện nay trên thế giới vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất về năng lực PGS.TS Trần Thúc Trình trong cuốn “Tư duy và hoạt động toán học” ([13]) đã viết về năng lực như sau:

Ở Hoa Kỳ định nghĩa được sử dụng rộng rãi nhất (theo nghĩa có nhiều tài liệu đề cập và nhiều hệ thống trường học công nhận để hướng dẫn hành động của mình) là định nghĩa của Sidney Marlan: “Trẻ em có năng khiếu và tài năng là những trẻ em có những năng lực nổi bật, có khả năng đạt được những thành tích cao đã qua thẩm định của các nhà chuyên môn giỏi Đó là các trẻ em đòi hỏi một chương trình giáo dục chuyên biệt hay được giáo dục với nội dung vượt xa chương trình học bình thường để có những đóng góp cho bản thân và xã hội” ([13]) Những trẻ em có tiềm lực cho những thành tích cao trong một hay một số mặt sau:

- Năng lực trí tuệ chung

- Năng khiếu hàn lâm riêng biệt

- Tư duy sáng tạo hay phát triển

 Nói chung năng khiếu là phải có thành phần sáng tạo, đó là quan điểm được nhất trí bởi Gakkagher và Weiss (1979) Hai ông đã có nhiều cố gắng tổng kết những đặc trưng của trẻ em có óc sáng tạo: đó là những

em bé có năng lực nổi bật trong khái quát, nhìn nhận, trình diễn hay mô

tả tư tưởng mới, quan điểm mới hay sản phẩm mới

 Các nhà triết học duy vật cho rằng:

- Con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau Tố chất là cơ sở tự nhiên ban đầu của năng lực, còn chưa được phát triển và chỉ được bộc lộ ra trong hành động Đó chính là những tính chất giải phẫu sinh lí C.Mác chỉ ra rằng:

“Con người là một thực thể tự nhiên, lại là một thực thể tự nhiên sống Con người một mặt được phú cho những sức lực tự nhiên, những sức lực sống, trong khi vẫn là một thực thể tự nhiên hoạt động, những sức lực ấy tồn tại trong con người ở dạng những tố chất và năng lực, dưới dạng những đam mê…Tuy nhiên những sức lực tự nhiên ấy cần có môi trường thuận lợi mới phát triển được nếu không sẽ bị thui chột ”

- Muốn phát triển tố chất phải kiên trì lao động “Thiên tài đó là 1% hứng khởi và 99% mồ hôi” (Gioocgiơ Bupphông – Pháp, thế kỉ XVIII)([13], tr48)

 Nhà tâm lí học Xô-Viết V.A.Kơrutecxki cho rằng:

Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động nhất định của con người Nó chỉ tồn tại một lọai hoạt động nhất định, vì vậy chỉ trên cơ sở phân tích loại hoạt động đó mới thấy được biểu hiện của năng lực

 Năng lực là một cái gì động: Nó không những chỉ thể hiện và tồn tại trong hoạt động tương ứng mà nó còn được tạo nên trong hoạt động và phát triển hoạt động

Trong các thời kì phát triển riêng biệt xác định của con người thì xuất hiện các điều kiện thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển các loại

năng lực riêng biệt Kết quả của hoạt động thường phụ thuộc vào một lớp tổ hợp năng lực ([19]) Nghiên cứu về lí thuyết năng lực của các tác giả đã nêu trên có thể hiểu năng lực, khả năng được hình thành phát triển cho phép con người đạt được thành công trong một hoạt động nào đó Năng lực tiềm ẩn ở mỗi con người nếu không có môi trường thuận lợi để nó phát triển thì năng lực sẽ bị thui chột Năng lực của mỗi con người là khác nhau, có những con người có năng lực cao đó là những thiên tài hay những người có năng khiếu

2.1.1.2 Lí luận về năng lực toán học

Năng lực nói chung chỉ tồn tại trong hoạt động, nói riêng năng lực toán chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện năng lực toán học Năng lực toán học cũng ở trạng thái động, nó hình thành và phát triển trong hoạt động toán học theo từng thời kì, có thời kì thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển năng lực toán học, thường vào lứa tuổi 12, 13, 14 Cũng thường xảy ra các tổ hợp năng lực toán học với triết học, toán học với ngoại ngữ…

 Năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:

- Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

- Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan có một giá trị lớn đối với loài người ([19], tr13)

Bộ óc của con người có thiên hướng tách từ môi trường xung quanh những kích thích loại quan hệ không gian, quan hệ số lượng, quan hệ lôgic và

có thiên hướng làm việc hiệu quả với các kích thích thuộc loại đó

Khuynh hướng toán học của trí tuệ đặc trưng cho những người có năng lực toán học là thường tri giác nhiều hiện tượng qua lăng kính của các quan

hệ toán học, thường nhận thức các hiện tượng đó trên phương diện toán học

 Theo Khinsin thì năng lực toán học thể hiện ở những nét sau:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Phân tích chính xác kí hiệu

- Có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở…

 Theo Kônmôgôrôp thì trong thành phần của những năng lực toán học có:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán

- Trí tưởng tượng hình học hay trực giác hình học

- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng đắn quy nạp toán học là tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học

 Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những thành phần sau:

- Thu nhận thông toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

- Chế biến thông tin toán học:

+ Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực quan hệ số lượng và không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng kí hiệu toán học

+ Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học

+ Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lời giải

+ Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại các phương hướng của quá trình tư duy thuận sang tư duy đảo (trong suy luận toán học)

- Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm về loại, sơ đồ, suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên nhân tắc đường lối giải toán)

- Thành phần tổng hợp khái quát hóa

- Khuynh hướng toán học của trí tuệ

Các thành phần nêu trên quan hệ biện chứng với nhau hợp thành một

hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực Ngoài ra, trong cấu trúc năng lực còn có thể có các thành phần không bắt buộc như:

- Tốc độ của quá trình tư duy

- Năng lực tính toán

- Trí nhớ về chữ số, số, công thức

- Năng lực tưởng tượng không gian

- Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc toán học trừu tượng Phân tích sơ đồ cấu trúc của năng lực toán học ta có thể chú ý rằng một

số yếu tố xác định trong đặc điểm của các mặt tri giác, tư duy, trí nhớ của hoạt động toán học có một ý nghĩa chung Chẳng hạn, việc tri giác hình thức hóa bài toán đó là một sự tri giác được khái quát hóa, tắt, linh hoạt; trí nhớ toán học đó là một trí nhớ về các hệ thống khái quát, tắt và linh hoạt Nếu như

ta nói đến việc tri giác hình thức hóa (khái quát) bài toán thì cũng có thể nói đến việc giải hình thức hóa (khái quát) và đến việc ghi nhớ hình thức hóa (khái quát) Vì vậy sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực có thể biểu thị bằng một công thức cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống các kí hiệu số, dấu và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ

Đặc điểm của tư duy toán học dẫn đến việc tăng cường tốc độ chế biến thông tin toán học Điều này liên quan đến việc thay thế một khối lượng thông tin lớn bởi một khối lượng thông tin nhỏ do khái quát hóa và suy luận gọn, tắt

và vì vậy liên quan đến việc tăng cường sức lực của trí tuệ

Các năng lực đã nêu biểu hiện với mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi, khá, trung bình, yếu Ở các em có năng khiếu, các em giỏi thì các mối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống trên tài liệu toán học được tạo thành ngay tức khắc, sau đó một số ít bài tập Ở các em kém thì mối liên tưởng đó được tạo thành hết sức khó khăn Ở các em trung bình thì muốn hình thành dần dần các mối liên tưởng đó cần phải có cả một hệ thống bài tập, cần phải có sự rèn luyện Chính vì vậy, người giáo viên cần đánh giá năng lực toán học của học sinh một cách đúng đắn để có thể giúp đỡ học sinh học toán tốt hơn

 Những chỉ tiêu năng lực toán học cơ bản của UNESCO Pari (1973):

- Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các khái niệm

- Năng lực tinh nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu

- Năng lực biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa ẩn

và các dữ kiện thành kí hiệu

- Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

- Năng lực xây dựng một chứng minh

- Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa

- Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa (toán có lời văn)

- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng

để giải

- Năng lực khái quát hóa toán học

2.1.1.3 Lí luận về năng lực giải toán của học sinh

 Năng lực giải toán của học sinh là một biểu hiện của năng lực toán học

- Học sinh có năng lực giải toán tức là khi cho biết đề bài toán học sinh tức thì có thu nhận thông tin toán học của bài toán, chế biến các thông tin đó, huy động trí nhớ toán học tìm ra phương pháp giải bài toán đó đồng thời cũng lưu trữ thông tin đó sau khi đã tổng hợp khái quát hóa

- Theo G Polya học sinh có năng lực giải toán tức là phải biết giải toán, không chỉ những bài toán thông thường mà cả những bài toán đòi hỏi tư duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo sáng tạo

- Học sinh có năng lực giải toán ở THPT cũng vậy, các em biết tìm cách giải và trình bày lời giải bài toán rõ ràng sáng sủa

 Một vấn đề đặt ra là khi dạy bất đẳng thức ở THPT làm thế nào để biết một học sinh có năng lực giải toán? Theo chúng tôi học sinh đó có thể:

- Giải nhanh các bài tập bất đẳng thức

- Nghĩ ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán bất đẳng thức

- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa bài tập bất đẳng thức đã cho

- Biết trình bày lời giải bài toán một cách ngắn gọn, sáng sủa

- Ít mệt mỏi trong những giờ học bất đẳng thức, ngược lại còn ham mê, hứng thú

2.2.2 Vấn đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

2.2.2.1 Ý nghĩa của bài tập toán trong dạy học môn toán

Dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THPT và đặc biệt là các lớp chuyên toán THPT có thể coi việc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán Việc giải bài tập toán có nhiều ý nghĩa:

- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kĩ năng Trong nhiều trường hợp giải bài toán là một hình thức

để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới

- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề

cụ thể, vào thực tế, vào các vấn đề mới

- Đó là một hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra được năng lực học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục rèn luyện cho con người về rất nhiều mặt

Với ý nghĩa quan trọng như trên, trong việc lựa chọn hệ thống bài tập toán và hướng dẫn học sinh giải toán, người giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác động nhiều mặt của bài tập toán ([3])

Trong chương trình THPT một số các bất đẳng thức thường dùng đó là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski Ngoài ra trong luận văn tác giả bổ sung thêm một số các bất đẳng thức cung cấp cho HS trong quá trình giải các bài tập bất đẳng thức ở trường THPT Qua đó HS có điều kiện

để phát triển năng lực giải toán

2.2.2.2 Các bước tiến hành để giải một bài toán theo G Polya

Theo lí luận của các nhà khoa học V.M Bradixơ, Fanghaenel, Faorekhop, G Polya, Phạm Văn Hoàn, Đỗ Trung Hiếu,…có thể hiểu “Giải bài toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích của bài toán Đó là một quá trình tìm tòi, sáng tạo, huy động kiến

thức - kĩ năng - thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán

đã cho”([12])

Xuất phát từ đặc điểm các bài toán bậc phổ thông (tính vừa sức, tính kết quả, tính liên thông môn đồng bộ thống nhất và tính phát triển) tiến trình giải một bài toán (gọi tắt là TTGT) được hiểu là một quá trình lao động phát minh của học sinh (theo nghĩa sáng tạo tái tạo) để chiếm lĩnh tri thức mới

“đồng hóa – điều tiết thích nghi với môi trường có dụng ý sư phạm cùng với các tình huống học tập lí tưởng được tạo ra” ([5], tr 225, 226, 227)

 Phân tích - tổng hợp các quan niệm TTGT của G Polya: Các nhà khoa học GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, GS.TSKH Phạm Văn Hoàn, Hoàng Chúng, Nguyễn Thái Hòe…đi đến nhận định chung:

- Có thể thiết kế một TTGT (một algôrit) theo các bước cơ bản (tập hợp các thao tác trí tuệ)

- TTGT phải tương thích với hệ thống giáo dục hiện hành: chương trình SGK và đặc thù bậc học

- TTGT phải phát huy được năng lực sáng tạo – năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học giải toán

- TTGT đảm bảo được tính khả thi, chất lượng và tính hiệu quả ([8])

Căn cứ vào tiến trình giải toán 4 bước của G Polya ([17]), nhiều giáo viên đã đạt kết quả cao khi dạy học sinh TTGT theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu đề bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

Bước 3: Thực hiện chương trình giải bài toán

Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải toán, nghiên cứu lời giải

 Tìm hiểu bài toán

Để hiểu một bài toán trước hết phải hiểu đề bài toán và hơn nữa phải có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người thầy giáo cần chú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò lòng ham muốn giải toán của học sinh giúp học sinh hiểu bài toán phải giải

Thực chất của bước “tìm hiểu bài toán” là tiếp nhận bài toán, tri giác vấn đề hay là giai đoạn chuẩn bị của quá trình sáng tạo được thể hiện như sau:

- Tạo tâm lí hứng thú giải toán, khêu gợi trí tò mò, gợi mở trí sáng tạo, lòng ham muốn và khát vọng giải bằng được bài toán, tạo môi trường có dụng ý sư phạm cùng các tình huống học tập lí tưởng

- Hiểu và phân tích bài toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, biểu diễn hình học hoặc đồ thị, biểu thức đại số…đối với từng loại bài toán Tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi ngay vào các chi tiết Cần tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chính nhiều lần và ở nhiều mặt Nếu là bài toán chứng minh thì yếu tố chính là giả thiết và kết luận Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cần tìm, cái chưa biết), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối liên hệ giữa cái cần tìm và cái đã cho) của bài toán

- Chuyển dịch ngôn ngữ tự nhiên trong bài toán sang ngôn ngữ kí hiệu toán học

 Xây dựng chương trình giải toán (giai đoạn ấp ủ của quá trình sáng tạo) Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán Nó quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh hay chậm của việc giải toán Điều cơ bản ở bước này là biết “định hướng đúng” để tìm ra được đường đi đúng

- Phát biểu các mối quan hệ định hướng định tính và định lượng của bài toán Huy động các lực lượng tâm lí tiềm thức, vốn tri thức, lượng thông tin, kĩ năng và thủ thuật, kinh nghiệm về giải toán

- Lựa chọn cách giải: Theo lí luận dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thì “xây dựng chương trình giải” nằm trong bước 2 “giải quyết vấn đề” khi thực hiện dạy học giải quyết vấn đề cần:

+ Phân tích, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm

+ Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác

bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Trong khâu này thường hay sử dụng những quy tắc tìm đoán và chiến lược nhận thức như sau: quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua trường hợp suy biến, xem xét tương tự, khái quát hóa, xét mối liên hệ phụ thuộc, suy ngược (tiến ngược, lùi ngược) và suy xuôi (khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi đúng [5])

- Không có một thuật toán nào để giải được mọi bài toán cả Những người

có kinh nghiệm giải toán đã có lời khuyên như sau:

+ Sử dụng bài toán đã giải

Việc tìm ra con đường đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi khá thuận lợi nếu ta nhớ lại được là ta đã từng tìm ra con đường đi đến cách giải một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải Thực tế khó

mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn mới, không giống hay không liên quan đến bài toán đã có Mặt khác, cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang giải Cần phải lựa chọn được một hay một số bài toán trong đó

mà thực sự có lợi Hãy xét kĩ lại cái chưa biết hay một cái chưa biết tương tự Hãy nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài toán đang xét Cần phải lợi dụng bài toán đã giải này về phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm giải toán ([11 ], tr 6) Điều đó chính là “quy lạ về quen”, “xem xét tương tự” khi giải quyết vấn đề

+ Biến đổi bài toán

Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức những kiến thức đã học từ trước Cần phải nhớ lại và vận dụng những yếu tố cần thiết cho việc giải toán Có thể dùng định nghĩa hay định lí đã biết để thay thế

điều phải chứng minh hay cần tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toán một cách khác Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét

 Thực hiện chương trình giải

Sau khi đã tìm được cách giải rồi tiến hành thực hiện chương trình giải Việc tiến hành thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả để đánh giá công việc giải toán Khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không khó khăn như trước nữa nhưng tính chất công việc có khác nhau

Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm dự đoán và không ngại gì mà không dùng một cách lập luận “tạm thời” Nhưng khi thực hiện chương trình giải thì phải thay đổi quan niệm đó và chỉ được thừa nhận những

lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Một điều quan trọng trong việc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết nhất là đối với các bài toán phức tạp Phải trình bày sao cho tường minh sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng giai đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy Trình tự mà ta trình bày trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo để tìm lời giải

Thực hiện chương trình giải: Học sinh có thể đồng hóa hay điều tiết để thực hiện kế hoạch Sử dụng các thao tác tư duy và các phương pháp suy luận trong dạy học giải toán Lựa chọn từ các phương án để có cách giải tối ưu Việc trình bày lời giải cũng cần phải hết sức chú ý, trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa

Hiện nay, học sinh các lớp chuyên toán là những em có tố chất, năng lực về toán nhưng người thầy giáo cũng cần rèn luyện cho các em trong việc trình bày lời giải Không những nó giúp cho học sinh trình bày lời giải của bài toán tốt hơn mà nó còn giúp các em phát triển về ngôn ngữ rất tốt Vì vậy, nhận thức rõ điều này người thầy giáo cần có kế hoạch dài hơi, nghiêm túc trong việc rèn luyện học sinh trong trình bày lời giải, yêu cầu cao, có thái độ nghiêm khắc trong mọi giờ học đối với mọi bài làm của học sinh

 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Học sinh thường có thói quen không tốt là khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lời giải xem có sai lầm hay thiếu sót

gì không, ít đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy cần tránh những thói quen đó của học sinh và cần rèn luyện những thói quen tốt cho học sinh chuyên toán, tránh những yếu điểm như đã nêu ở trên

2.2.2.3 Một số biện pháp thường dùng để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

 Cơ sở lí luận để xây dựng các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

- Những cơ sở của tâm lí học và giáo dục học

Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự phối hợp giữa hoạt động dạy của thầy giáo và hoạt động học của học sinh, cho nên các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của học sinh, làm cho học sinh có “động cơ hoàn thiện tri thức” Bản chất của hoạt động học là quá trình tự tổ chức, tự điều khiển, điều chỉnh hoạt động nhận thức của mình đồng thời người học chủ động trong hoạt động học Mặt khác, nhân cách của học sinh trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội Vì vậy, cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung vào phát triển các hoạt động học, các biện pháp tập trung vào tăng cường các hoạt động nhằm bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh (năng lực nhận thức, năng lực thực hành, năng lực tổ chức hoạt động, năng lực tự kiểm tra, đánh giá

- Lí luận về phương pháp dạy học bộ môn toán

Theo [3] và [5], phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông phải luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc giáo dục rèn luyện con người, với việc bồi dưỡng và phát triển năng lực của học sinh

 Căn cứ vào nhiệm vụ dạy học bộ môn: bên cạnh việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng thực hành toán học, học sinh còn phải rèn luyện năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn, cụ thể là trau dồi cho học

sinh khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vào thực tiễn cuộc sống…Do đó, cần thiết xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho học sinh nhằm bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải toán, góp phần thực hiện nhiệm vụ dạy học bộ môn Các biện pháp này được dựa trên quan điểm hoạt động với

4 tư tưởng chủ đạo ([5], tr 73):

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

- Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động

- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả hoạt động

- Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy học

 Nội dung biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

Theo các yêu cầu rèn luyện, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh trên cơ sở lí luận tâm lí học và giáo dục học đã trình bày ở trên: biện pháp bồi dưỡng năng lực thực hành cho học sinh nói chung và bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh nói riêng phải nhằm vào việc biến kiến thức và kĩ năng cơ bản trong từng phần kiến thức một thành kiến thức và kĩ năng cơ bản tổng hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập, lao động nghề nghiệp cho cả cuộc sống theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp và hướng nghiệp dạy nghề qua môn toán ở THPT

Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh:

Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ các kiến thức về môn toán

Để đảm bảo cho việc học tập môn toán được tốt, trước hết cần đảm bảo cho học sinh nắm vững và có hệ thống các kiến thức trong chương trình Từ

đó người thầy giáo chọn lọc các kiến thức và kĩ năng từ cơ bản đến nâng cao,

từ đơn giản đến phức tạp để dạy cho học sinh sao cho đảm bảo 50% đến 75% thời gain cho luyện tập kĩ năng

Biện pháp 2: Trang bị các tri thức về phương pháp toán:

Dạy giải bài tập toán có nêu giả thiết, kết luận, không thỏa mãn khi tìm được cách giải mà phải tìm được cách giải ngắn gọn nhất

Dạy cách giải bài tập, cách suy luận, phân tích ra những bài toán nhỏ quen thuộc,…Dạy tập dượt tìm tòi, phát hiện, sáng tạo theo con đường suy đoán, suy diễn

Đặc biệt, đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải, giáo viên cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ, cách tìm lời giải Qua đó trang bị cho học sinh một số tri thức về phương pháp giải toán Thông qua dạy học một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức kinh nghiệm tiến tới linh hoạt trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành phương pháp giải một lớp các bài toán

2.2.3 Tình hình vận dụng toán cao cấp vào việc dạy học môn toán ở các lớp chuyên THPT

 Toán cao cấp và toán THPT có mối liên hệ chặt chẽ Nhưng không ít sinh viên khoa Toán ở các trường sư phạm hiểu đây là hai lĩnh vực riêng độc lập của môn Toán Trên thực tế chúng có liên hệ với nhau : rất nhiều những khái niệm toán cao cấp có nguồn gốc từ môn Toán ở THPT nhưng mối liên hệ đó bị che phủ, bị lu mờ Điều này làm hạn chế việc vận dụng toán cao cấp vào toán ở THPT Do đó cần tìm giải pháp thích hợp để vận dụng toán cao cấp vào dạy mỗi nội dung trong môn toán THPT

 Tình hình dạy và học ở các lớp chuyên Toán THPT

Để tìm hiểu tình hình dạy học ở các lớp chuyên toán THPT hiện nay, chúng tôi đã trao đổi trực tiếp với các giáo viên dạy toán ở một số trường THPT chuyên và được biết tình hình cụ thể như sau:

- Về nhận thức:

Trên cơ sở phiếu điều tra ở phụ lục, hầu hết giáo viên đều cho rằng việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán là việc làm cần thiết đối với người giáo viên dạy toán

Việc xây dựng các chuyên đề dạy học bồi dưỡng cho học sinh lớp chuyên là vấn đề được quan tâm hàng đầu của giáo viên dạy các lớp chuyên hiện nay Nói chung là hầu hết các giáo viên còn lúng túng trong vấn đề này nhất là giáo viên mới ra trường Việc định hướng và xây dựng nội dung tài liệu giảng dạy còn gặp nhiều khó khăn, chủ yếu là người đi sau học tập và rút kinh nghiệm của những người đi trước

- Về thái độ:

Qua trao đổi với giáo viên dạy toán về việc vận dụng toán cao cấp xây dựng chuyên đề bất đẳng thức để bồi dưỡng cho học sinh các lớp chuyên có hai khuynh hướng: đa số giáo viên nhất là giáo viên trẻ thì ủng

hộ, số còn lại cho rằng việc làm đó không cần thiết vì tài liệu về toán sơ cấp rất nhiều và phong phú

Trong chương trình đại số dành cho học sinh chuyên toán có một chuyên đề đó là: “bất đẳng thức” Nội dung bất đẳng thức có rất nhiều tài liệu

đề cập đến nhưng để nghiên cứu theo hướng vận dung toán cao cấp còn ít

Hiện nay việc dạy học nói chung và dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT vẫn ở trong tình trạng nhồi nhét về kiến thức

Vì vậy việc nghiên cứu để tìm tòi khả năng ứng dụng Toán cao cấp vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông nói chung và dạy học nội dung bất đẳng thức cho học sinh các lớp chuyên THPT là một nhu cầu thực tiễn

2.3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐÃ ĐƢỢC NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN ĐẾN

ĐỀ TÀI

Phần này đƣợc tìm hiểu trên http://vnmath.com.vn

 Luận văn: Sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức, Đặng Văn Hiếu, 2009

 Luận văn: Một số bất đẳng thức hình học, Hoàng Ngọc Quang, 2009

 Luận văn: Một số bất đẳng thức đạo hàm và ứng dụng, Nguyễn Kim Toàn, 2012

Các tài liệu kể trên đã đƣa ra một số dạng bài tập về bất đẳng thức nhờ việc vận dụng toán cao cấp Tuy nhiên lời giải của các bài toán đó dựa vào kiến thức toán cao cấp và chƣa đƣợc “phổ thông hóa” để phù hợp với học sinh THPT Mặt khác các tài liệu đó chƣa đề cập đến khả năng vận dụng toán cao cấp nhƣ một công cụ để kiểm tra, đánh giá nhanh kết quả của học sinh THPT trong giải bài toán về bất đẳng thức

2.4 VẤN ĐỀ ĐẶT RA CHO LUẬN VĂN

Việc vận dụng toán cao cấp vào việc dạy học môn toán ở phổ thông nói chung và các lớp chuyên toán nói riêng là một nhu cầu thực tiễn Song việc vận dụng nhƣ thế nào, vận dụng cái gì, vận dụng ở đâu là những câu hỏi lớn chƣa có lời giải đáp Trong khuôn khổ một luận văn tác giả chỉ đề cập đến một nội dung nhỏ đó là: Vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên THPT

Có rất nhiều cách vận dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở THPT Song việc lựa chọn cách nào, vận dụng nhƣ thế nào là một vấn

đề khó Nhiệm vụ đặt ra cho luận văn là:

 Vận dụng các kết quả đã có của toán cao cấp để sáng tác ra các bài tập

về bất đẳng thức phù hợp với học sinh các lớp chuyên toán THPT

 Sử dụng những kết quả của toán cao cấp để giải một số bài toán về bất đẳng thức ở phổ thông sau đó trên cơ sở lời giải đó tìm cách “phổ thông hóa” để có được lời giải phù hợp với học sinh THPT

 Sử dụng những kết quả của toán cao cấp như một công cụ để kiểm tra đánh giá kịp thời lời giải của học sinh trong các bài toán về bất đẳng thức

TÓM TẮT CHƯƠNG 2

Trong chương 2, luận văn đã trình bày một cách sơ lược về nhu cầu, định hướng đổi mới phương pháp dạy học; cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu; những kết quả có liên quan Từ đó đặt ra vấn đề mà luận văn cần giải quyết Vấn đề đó sẽ được trình bày ở chương sau

Chương 3: MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN VIỆC VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP VÀO DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC

CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN THPT

3.1 VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN THPT

3.1.1 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất của đạo hàm

Phần này được viết dựa vào các tài liệu sau: [4], [6], [10], [17]

Trong mục này chúng ta sẽ vận dụng hai định lí Lagrang và định lí Rolle để xây dựng bất đẳng thức

3.1.1.1 Đạo hàm - Khái niệm và một số định lí về đạo hàm

Cho f(x) là hàm số với miền xác định là U và x0 U Ta nói rằng f

đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 U nếu f có đạo hàm trên một khoảng (a, b) nào đó nằm trong U và chứa x0, sao cho f(x)  f(a) (tương ứng

f(x)  f(a) ) Cực đại hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương

 Nhận xét

- Nếu fđạt cực đại tại athì -f đạt cực tiểu tại a

- Nếu fđạt cực tiểu tại athì -f đạt cực đại tại a

Giả sử hàm số f :[a, b]  R liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) Nếu

f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất 1 điểm c  (a, b) sao cho '

f (x ) = 0, x   (a, b) Có thể lấy clà điểm bất kì trên khoảng (a, b)

 Nếu m < M thì f(a)  m hoặc f(a)  M Giả sử chẳng hạn f(a) = f(b)  m Theo định lý Vâyơxtrat, tồn tại ít nhất một điểm c [a, b]  sao cho

f(c) = m Vì c  a, c  b (do f(a) = f(b)  m) nên c  (a, b) Theo định lý Fermat ta có '

f (c) = 0

Dễ dàng thấy  thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle:

  liên tục trên đoạn [a, b]

 có đạo hàm trên khoảng (a, b)và '(x) = f'(x) -f(b) - f(a)

Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 thì kết luận hiển nhiên đúng

Giả sử kết luận đúng với (n-1) số không âm

Ta chứng minh trong trường hợp các nghiệm này đôi một khác nhau (trường hợp còn lại tương tự) Giả sử a < a < …< a1 2 n khi đó theo định lý Rolle thì f'(x)sẽ có n -1 nghiệm phân biệt là y , y ,…, y1 2 n-1 trong đó a < y < ai i i+1  i

n n là những đa thức đối xứng của các nghiệm yi nên theo

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = lnx, x [a, b], 0<a<b 

Ta thấy f(x)liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên (a, b) và ' 1

Mặt khác

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) = sinx với x  [a,b]

Ta thấy f(x)liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên (a, b) và f'(x) = cosx với

x  (a, b) Theo định lý Largang thì tồn tại c  (a, b) sao cho

sinb - sina f(b) - f(a)

f(b) - f(a) = f'(c).(b - a) f'(c) = cosc =

Vì cosc  1 nên sinb - sina 1

b - a  Do đó

a - b a + b a - b b - a sinb - sina b - a a - b sina - sinb b - a cos sin

Từ đó ta có bất đẳng thức sau:

Với n 1, n  N Khi đó 1+1+ +1 lnn 1+1+ + 1

Ví dụ 5: Cho hàm số n

f(x) = x với x [a,b],0 <a< b, n>1, n   N

Ta thấy f(x)liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên (a, b) và n-1

x c f(x) - f(0) e -1

Do f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên [a,b],[b,c] với a   b c Hơn nữa

f(x)có đạo hàm trên các khoảng (a,b),(b,c) và 2





Suy ra f'(x) = 0 có hai nghiệm là

= x - δ x + x

Suy ra

Theo bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm y , y , y1 2 3  0 ta có