Chuyên đề Phương trình và bất đẳng thức bao gồm 9 phần nhỏ thể hiện theo chủ đề, có nhiều dạng như: Các dạng phương trình, bất phương trình căn bản, các dạng hệ phương tình căn bản, các hệ nghiệm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, vv... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1NGƯT ThS LÊ HOÀNH PHÒ
C ác c h u y ê n đ ề
Bííni líÍT Để THI
Trang 3NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quóc GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại: Biên tập - Chế bản: (04) 39714896;
Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011
SÁCH LIÊN KẾT
CÁC CHUYÊN ĐỂ BÁM SÁT OỂ THI THPT QUỐC GIA
PHƯƠNG TR ÌN H VÀ BÂT ĐẲNG t h ứ c
Mã số: 1L-337ĐH2015
In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phẩn Văn hóa Văn Lang
Địa chỉ: Số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q Bình Thạnh - TP Hồ Chí Minh
Số xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/3-217-ĐHQGHN, ngày 3/6/2015
Quyết định xuất bản số: 354LK-TN/Q0-NXBDHQGHN, ngày 22/6/2015
Trang 4LỜI NÓI ĐẦU
Các Km học sinh th ân mến!
Nhằm mục dích giúp các bạn học sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ TH Ô NG QUỐC GIA dạt diôm khá, điổm cao đổ trúng tuyên vào các trường Cao dắng, Đại học mà mình dã xác dịnh nghô' nghiệp cho tương lai, theo dịnh hướng mới
Bộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuyên dề, dổ các cm tiện dùng trong ôn luyện theo chương trình học và trước kỳ thi:
- TỌA ĐỘ KHÔ NG GIAN
- LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA DỘ PhẤnG
- P H Ư Ơ N G T R Ì N H VẢ BẤT dẤnG t h ứ c
Ciuín P HƯ Ơ N G T R Ì N H VẢ HAT ĐANG THỨC gồm có 9 phổn nhb dế tiện luyện tập theo chủ dề Từ các kiến thức và phương pháp giái 'l’oán căn bán và nâng cao dần dán, kêl hỢỊ) ôn tập 'I'oán lớp 10 và 1 1 bổ sung và mớ rộng ki(m thức và phương pháp giái khác nhau, luyện tập thêm 'roán khó, Toán tống hỢp, các bạn rèn luyện kỹ năng làm bài và từng bước giái dũng, giái gọn các bài tập (:ác bài toán trong kiêm tra thi cứ
Dù dã cố gáng kiếm tra trong quá trinh biên tỘỊ) song cũng không t ránh khỏi những sai sót mà tác gia chưa thấy hốt mong đón nhận các góp ý của quý bạn dọc học sinh de lần in sau hoàn thiện hơn
Tác giá
LÊ HƠÀMỈ PHỜ
Trang 5MỤC LỤC
1 CẢC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẤ T l>Hi;ƠN(} TRÌNH (' ÂN l ìẢ N 5
2 TỒNG HỢP VT PHƯƠNG TRÌNH BÁT PHI ƠNG T RÌ N H 29
3 CÁC DẠNG 111; PHƯƠNG TRÌNH CẢN BAN 46
4 TỐNG 1 lỢP VÙ 111; P1 lUƠNG '1'RÌNI 1 59
5 DIHU K11;N V H N G H I H M 96
6 CÁC PIIƯƠNG PI lÁP GI IỦ’N(} MlNl ỉ BẤ T DANG ri l ư c CẢN BAN 134
7 TỒNG HỢP BẢ'l' DANG THỨC 158
8 CÁC PHƯƠNG PHÁP l ÌM GIẢ TRỊ I.ỚN NIIA T NHƠ NIIẢ r CẢN BAN 196
9 TỎNG HƠP VH GIẢ TRỊ I.ỚN NHÁ I' NHƠ NHẢ r 214
Trang 6CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN BẢN
Phương trình và biến đoi
- Hai phương trình (cùng án) gọi là tương đirơng nếu chủng có cùng tập nghiệm, có thể cùng bằng rỗng.
Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D, y =f(x) là một hàm sổ xác định trên D, khi đó:
Khi b ~ 0: Phương trĩnh có nghiệm với mọi X
Khi h ĩT: 0: Phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai và định lý Viet
Phương trình bậc hai: ax^ f bx ^ c 0, a 0
b ± VÃ2a
Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 có 2 nghiệm Xi , X 2 thì lổng s = X ] + X 2 = - — và tích p = xị X7 = —.
Đảo lại nếu hai s ố X/, X 2 cỏ lổng X ì + X 2 = s và tích X / X 2 = p thì chúng là nghiệm của
phương trình - sx + p = 0 Phương trình nàv có nghiệm khi - 4P >0
Trang 7- Phân lích một tam thức bậc hai thành nhân tử:
Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax^ + bx + c có hai nghiệm X/ v à X 2 (có thể trùng nhau) thì nó cổ thể phân tích được thành nhãn tử như sau:
f(x) = ax^ + bx + c = a (x - X i) (x - X 2)
Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Đặt điểu kiện xác định, trong điều kiện đó biến đổi về phương trình bậc nhất, bậc hai, Giải ra nghiệm và đối chiếu điểu kiện xác định.
Phương trình bậc ba
Dạng ax^ + bx^ + cx + d = 0, a 0
Biến đoi thành lích s ố hoặc dùng máy tính cá nhân đ ế tìm nghiệm X = x„ Chia
da thức v ế trái cho (x - x„) hoặc dùng s ơ dồ Hooc - ne đ ế có phân tích:
Trang 8- Nen n lẻ ihì cỏ nghiệm X = - I.
- Nếu n chẵn, n ^ 2m thì chia 2 vế cho x " ' 0 Đặt ẩn phụ / = X H— , 111 >2.
trái dấu a 0 cùng dấu a
Dẩu tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai: f(x) = ax^ + hx + c (a 9^0)
Tam thức bậc hai không đỗi dấu trên R
Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phá dấu giá tri tuyêt đối bằng cách: dùng đinh nghĩa A =
Trang 9|f ( x ) |> g ( x ) c ^
<=>
|f ( x ) |< g ( x ) «
'g (x ) < 0 g(x) > 0, f (x) < -g (x ) hay f (x) > g(x)
g (x ) < 0 _ g (x )> 0 ,f^ (x )> g ^ (x )
Phưoitg trình, bất phương trình chứa căn thức
Phá cán thức hằng cách đặt điểu kiện và hình phương, đặt ân phụ, nhãn lượng liên hiệp,
ỉ) Công thức ^IÃ ^ = |a|, VÃB = VÃ.^/B khi A, B > 0
2) ) Biển dổi về phương trình tích sổ, thêm bớt đại lượng từ việc đoán nghiêm
đê phân tích ra thừa số
3) Đặt ân phụ rói chuyên phương trình thành hệ phương trĩnh cơ bản.
4) Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số, dùng đạo hàm và bất đăng thức đê đánh giá:
Xét f(x) là hàm sổ vế trái, nếu cần thì biến doi, chọn xót hàm, đặt ẩn phụ, Tính đạo hàm rỏi xét tính đơn điệu.
Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trĩnh f(x) =0 có tỏi đa I nghiệm Neii f(a) = 0, a thuộc K thì X = a là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)=0 Neii f(u) = f(v) với u,v thuộc K thì u = V, Neu f(u) > f(v) với u,v thuộc K thì u > V. Nếu f cỏ đạo hàm cấp 2 không đổi dấu thì f ’ là hàm đơn điệu nên phương trình f(x) =0 có tối đa 2 nghiệm Neu f(a) = 0 và f(b) =0 với a ^ b thì phương trình f(x)= 0 chỉ có 2 nghiệm là X = a và X = b.
Trang 10Bài toán 1.1: Giải các phưong trình
Vậy phương trình có một nghiệm X = 3
Bài toán 1.2: Giải các phương trình:
Trang 11Bài toán 1.4: Cho phương Irinh y(x^ - 4 + 5) - X" -t 6 O.Tìm các cặp nghiệm (x;y) sao cho y có giá trị lớn nhất, bé nhất.
Giải
Phương trình <=í> (y - 1 )x^ - 4yx + 5y + 6 = 0
Xét y = 1 thì X = — Xét y phương trình có nghiệm khi A’ > 0
44y^ - (y - 1) (5y + 6 ) > 0 c :> - y ^ - y + 6 > 0
<=> - 3 < y < 2 Do đó max y = 2, min y = - 3
3Vậy hai nghiệm (x; y) phải tìm là ( —; - 3), (4,2)
Bài toán 1.5: Giải các phương trình;
<=> X = - — hoặc X = 5 (thoả mãn) Vậy s = ; 5}
b) Với điều kiện X 2, X 10, X 5^ 1, phương trình tương đương
Trang 12x' + 2x- 8 9ì0
b) Điêu kiên < - 4 , x ^ 2 , x ^ \ , x ^ - 3
[x- + 2 x - 3 ^ 0Đặt t = x^ -t 2x - 3 thì PT:
Vậy phương trình có nghiệm X = u 4 V = V 3 - V 9 .
Bài toán 1.9: Giải các phương trình:
a) (x - 1) (x+5) (x - 3) (x4 7) = - 63 b) (x+3)4 + (x+5)^ = 16
Trang 13Vậy phương trình có hai nghiệm là - 5 và - 3.
Bài toán 1.10: Giải các phương trình:
a) x^ - 3x^ + 4x^ - 3x t 1 = 0 b) 2x'*
Giải
a) Phương trình không có nghiệm X = 0
Chia hai v ế cho X’ ta có
1'hay vào ta được r - 3t 4 2 = 0 o ti = 1; ti = 2
Khi X + — = 1 x^ - X + 1 = 0: vô nghiệm
Trang 14Vậy phương trình có 4 nghiệm là 1; 5; 2; —.
Bài toán 1.11: Giải các phương trình:
2 x ^ - 5 x + 3 2x^ + x + 3 b) (x + 4) (X + 6) (x - 2) (x - 12) = 25x1
Giải
a) Vì X = 0 không là nghiệm của phương trình
b) Phương trình (x“ + lOx -f- 24)(x^ - 14x + 24) = 25x^
o (x^ - 2x -t- 24 + 12) (x^ - 2x + 24 - 12x) = 25x^
Cí> (x^ - 2x f 24 )^ - (12x)^ = 25x- <r> (x^ - 2x t 24)^ - (13x)^ = 0
Trang 15Vậy phương trình có 4 nghiệm - 3; - 8; 1 5 ± V Ĩ ^
Bài toán 1.12: Giải các bất phương trình:
Trang 16Bài toán 1.14: Giải các bất phương trình:
Lập BXD vế trái, ta có tập nghiệm s = (-2; -1) u (1; +oo).
Bài toán 1.15: Giải các bất phương trình:
-2x+6
X 5X+4 x“-7x+10 ” (x 5x+4)(x 7x+lQ)Lập bảng xét dấu vế trái thì được tập nghiệm
b) Với X < - —, PT: 12x = -3<=>x = - — (loai)
Trang 17Bài toán 1.17: Giải các phương trình;
Bài toán 1.18: Giải phương trình sau: I 2x + 3 I + 1 X - 5 I = X + 8.
Bài toán 1.19: Giải các phương trình:
Trang 18Lập bảng xét dấu thì có tập nghiệm là là khoảng (2; 5).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S - ( - 4 ; - l ) u ( 2 ; 5)
b) Cho I x - y / ĩ = 0<=>x = — ; \Ỉ2 - x = 0 <=> x = y ị ĩ
< 0 .
Trang 19BPT o o.x > 2 %/2 - 2: Vô nghiệm
Vậy tập nghiệm là; s ( -QO;-— u i ^ ; ìx ỉ ĩ )
Trang 21b) BPT o ( x “ - x ) “ < ( x ' - 1 )• < > x (x" - 1 r < (X - 1 r ( x t 1 Ỵ
C:> (x - 1)" (2x t 1) > 0 < > 2x f 1 > 0 < > X > - —
Vậy tập nghiệm của bất phưcmg trình là
lìài toán 1.25: Giải các bất phưcmg trinh;
l x - 2 6x 2
> - 3
<3
> 0
10 c-> ị_ 9< 0
X < hay X > 2
3 <-> X <
X <,
3Vậy tập nghiệm của bất phưcrng trinh là
Vậy tập nghiệm là: (-oc; ()| u |2; 3) u (3; )2C)
Bài toán 1.26: Giai các phưonu trình:
Trang 22, Í2x + 7 = (x- -4r Í A : ' - 1 0 x f 9 = 0b) P'l'cỏ: v2x f 7 =x-4<;><^ o ị < >x = 9.
p 1 < > 1 < V X 1 1 < 2 <; > 1 < X t 1 < 4 <-> 0 < X < 3.
[Vx H 1 > 0
Vậy phương trình cỏ nghiệm là 0 < X < 3
lìài toán 1.28: Giai các pliương trinh:
Trang 23PT<=>t = t“ -6<=> t ^ - t - 6 = 0<=>t = -2 hoặc t = 3
Chọn t = 3 <=> 7 (x + 1)(x + 2) =" 3 <=> x^ f 3x - 1 = 0
Trang 24Giải ra được nghiệm X ■ ■ 3 ± 4 ỹ ì
Bài toán 1.31: Giải phương Irình; V x +1 + ■\/2x + 3 = x ^ - X - 1
Nên dấu = xảy ra, do đó nghiệm X = -1
Vậy phương trình có hai nghiệm là X = -1, X = 3.
Bài toán 1.32: Giải các phương trình:
Trang 26Thử lại X = 0 đúng nên phương trình có nghiệm X = 0.
b) Vì X = 1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho ịỊ(x -1)^ -t- 0
Khi X < -3 thì X - 1 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi X > 2 thì X - 1 > 0 nên phương trình tương đương:
x + x - 6 < x - 2 x + l <=>3x<7<=>x< —
37
Trang 27Xét 1 - X < 0 <í=> X > 1 thì BPT nghiệm đúng
Xét l - x > 0 < = > x < l t h ì BPT tương đương;
x^ - 1 > (1 - x)^ <tí> x^ + 2x - 2 > 0 <=> X < -1 - Vs hoặc X > -1 + V3 Vậy tập nghiệm là (-oo; -1 - V3 ) u (-1 + ; +oo)
b) Điều kiện: x ^ - 5 x - 1 4 > 0 < = > x < - 2 hoặc X > 7
Khi x< -2 thì 2x - 1 < 0 nên BPT nghiệm đúng
Khi X > 7 thì 2x - 1 > 0 nên BPT tương đương
x^ - 5x - 14 > (2x - 1)^ <=> 3x^ + X -i- 15 < 0: vô nghiệm
Vậy tập nghiệm là (-oo; -2]
Bài toán 1.37: Giải các bất phương trình:
Trang 28b) Điều kiện X > 1 Ta nhân lượng liên hợp 2yỉ\ - 1 + 2 > 0
Nếu X = 2 thi 0 > 0: loại Nếu X > 2 thì BPT 3 > 2 Vx - r + Vx + 2
Vì X > 2 nên VT > 2 ^/ĩ + V3 > 3: vô nghiệm
Vậy nghiệm của bất phương trình 7 -4V2 < x < 2
B À I T Ậ P Bài tập 1.1: Giải các phương trình:
Trang 29Bài tập 1.5: Giải các phưong trình:
Trang 30Vậy nghiệm phưong trình: X 1 ± V2
Cách khác: đặt l X t 1 thi dược phương trinh
Trang 31Bài toán 2.3: Giải phương trình: 3x^' - 18x + 24 = —- — r - —r
1f'(t) = 2t + -^ > 0 nên f đồng biến trên (0; +co)
Xét X = 5 => f(5) = + 2^ỊĨ6 = 10; đúng
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = 5
Bài toán 2.6: Giải phương trình; (4x - l ) V x ^ - ^ = 2x^ + 2x + 1.
Giải
Đặt y = Vx^ + 1 (y > 1) => x^ = y^ - 1
Trang 32PT » (4x - l)y = 2(y^ - 1) 4- 2x + 1 « l ỷ -(4x - l)y + (2x - 1) = 0
Trang 33Khi X y ihì x“ - 8x t 6 0 <-> X 4 ± Vl 0
C'họn nghiệm p 1' là X 4 I VlO
Khi y 4 - X Ihì x“ - 4x - 2 0 < i> X 2 ± Vh
Chọn nghiệm P’l' là X 2 - Vh
Vậy nghiệm p 1' là X 4 I VlO ; X 2 - vỏ .
Bài toán 2.9: Giải phương trình: 2Vx" 9 = (x -f 5)^'' ^ ^ •
Vậv nghiệm của phương trình là s Ị-3; I 1 ỉ
Bài toán 2.10: Giái phương trinh:
Trang 34Vậy phưong trình có nghiệm duy nhất X = 1.
Bài toán 2.12: Giải phương trình;
1 Ox^ - 9x - 8 x yỈ2x~ - 3 x + 1 + 3 = 0.
Giải
Điều kiện: 2x^ - 3 x + l> 0 < = > x < Ậ hoặc X > 1.
2Xét X < 0 thì phương trình vô nghiệm
Xét X > 0 thì phương trình tương đương với
Trang 35Vậy nghiệm của phương trình là X = 5 4' ^/34
Bài toán 2.14: Giải phương trình: ^ í x ^ + ^ Ỉ 4 - x - y ỉ '-6 x + \\.
Bài toán 2.15: Giải phương trình: x^ + 1 = 2 \Í2x - 1.
Nến (2) <=> X - 1 = 0 <=> X = t <=> x^ = 2x ■
Trang 36[x^ = 5 y -2 (1)[y’ = 5 x - 2 (2)Trừ vế theo vế suy ra: (x - y)(x^ + y^ + xy + 5) = 0 (3)
Bài toán 2.17: Giải phương trình: 3V6-X -2-y/6 + x = 2
Từ (1) suy ra: V = — -Thô vào (2) ta được phương trình;
4u^ + 9u^ - 12u - 44 = 0 <=> (u - 2)(4u^ -I- 17u + 22) = 0
<=> u = 2 (vì 4u^ + 17u I- 22 > 0, Vu)
Trang 37Nên hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +oo)
Khi X = 1 => f( 1) = 5 nên X = 1 là nghiệm PT
íu + l = v íu = v - l [u = v - l
ị v ’ - u ^ = l ị v ^ - ( v - 1 ) ^ = 1 | v ^ - V" + 2 v - 2 = 0
[ ( v - l ) ( v '+2) = 0 lu = 0
Suy ra X = 1 Vậy nghiệm của phương trình là X = 0 , X = 1.
Bài toán 2.20: Giải bất phương trình; (x - l)(x - 3) < 18
Trang 38X 'ì
<=> x < -2 hoặc X > 1 Vậy s - (-co; -2 | u [1; 4 oo).
Bài toán 2.23: Giải bất phương trình; I x^ - 5x t- 4| < x^ + 6x + 5
Trang 392 x - 4 > 0V
Trang 40Bài toán 2.27: Giải bất phương trình: + ^ / x - 4 > 8 - x
Vậy nghiệm bất phương trình: X > 25
Bài toán 2.28: Giải bất phương trình: v 2 x ^ + X - 1 - y J x - \ < X
Vậy nghiệm bất phương trình là X = 2
Bài toán 2.29: Giải bất phương trình: (x - 2) Vx“ + 4 < x^ - 4
Vậy tập nghiệm là (-oo; 0] u [2; +oo)
Bài toán 2.30: Giải bất phương trình: (x + 2) V 9 -X ’ < X" - 2 x- 8
Giải
Điều kiện: -3 < X < 3
Bất phương trình: (x + 2) V 9 - x “ < x^ - 2 x - 8
Trang 41<=> (x + 2)(x - 4 - V 9 - x ^ ) > 0
V i x < 3 : : í > x - 4 < 0 = í > x - 4 - V 9 - X “ < 0
Nêii bấl phương trình Cí> X + 2 < 0 <í> X < - 2
Vậy nghiệm của bất phương trình: -3 < X < -2
Trang 42Ncu X < -5: BPT » ^/(l-x)e-x-2)+ ^I-xX -x -3 )< ^ (ì-x )e x -5 )
<=> V - X - 2 + V - X - 3 < V -Õ T ^^
-2x - 5 ( 2 -y/õ^+ 2)(x + 3) < -X - 5
<=> 2 ^ (x + 2)(x + 3) < X < 0: vô nghiệm
Vậy bất phương Irình có nghiệm duy nhất X =■ 1
Bài toán 2.33: Giải bât phương trình: - ^ - > 2
Ta có X == 0 không thỏa mãn bất phương trình (1)
Với X >0, x ^ 2 bất phương trình tương đương với - - - = —
Trang 43, x - 2 (V x+l)(V x-2)Với t > 1 ta có —T=r- > 1 <=> - - - > 0 <=> X > 4
Vậy nghiệm bất phương trình l à x > 4 , — < x < 2
Bài toán 2.35: Giải bất phương trình x^ + 6x + 11 > 3(x+l)-s/2x I- 5
Vậy nghiệm BPT: — < X < 2 hay X > 3 + 2V7
Bài toán 2.36: Giải bất phương trình: +38x-l -2-/6X-1 >x+l.