CHUYÊN ĐỀ HAY : HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SÔ LÔGARITH

c Đạo hàm của hàm mũ và logarit: Đạo hàm hàm số sơ cấp: Đạo hàm hàm số hợp B_PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Với chương này thì mình phải học công thức thật kĩ rồi áp dụng cho phù hợp... Những

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SÔ LÔGARITH

a

b b

5 loga b c loga bloga c 10 loga b

c

b b

a > 1

y = a x

O

c) Đạo hàm của hàm mũ và logarit:

Đạo hàm hàm số sơ cấp: Đạo hàm hàm số hợp

B_PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Với chương này thì mình phải học công thức thật kĩ rồi áp dụng cho phù hợp

Vấn đề 1: Tính toán – Rút gọn các biểu thức

+ Ngược lại với A  0 thì  

4 4

3 8



 Ta thấy công thức: x y.  x y

a  a

6 2.3 6 3

4 4

2 2



 áp dụng:

x x x

 b) B

5 5 5

98 34364

5 32

5.32

.32

3 6

5 32

6 3

35

3 32

6464

6

2 72

5

72

 Áp dụng:

m

n m

5 6

2.72

5 5

5 5

72

44

 417 377 ¸p dông

m

m n n

a a a

15 5

5 5 3

7

4

2 24

a a a  c)  3

a a





4 4

a a







2 4 4 4

a a







1 2

.a

a a







1 2

9 6 3

  , a  0 ( áp dụng với a1;a3 )

b) B

3

3 7 3

6

2781

b b

9 6 3

3 2

6 1

2 3

9 3 1

6

a

a a





13 6 1 6

a a a

a a a

2781

b b

3 7

1 3 6 4 46

33

b b

Ta thấy ở mẫu có a2 2 b2 3 mà có thêm số 1 đứng một mình nên ta cứ quy đồng lên để xem có làm được gì không?

2 2 2 3 2 2 2 3 2 3

2 2 2 3 2 3

22

a và

7 3

b là chính, và trên tử là 5

a và b 7 Nếu chỉ để vậy ta không làm được gì cả, nên ta thử chuyển ở tử sao cho xuất hiện

5 3

a và

7 3

b

Ta thấy

3 5

3 7

14 63

a b b

Với các dạng bài tập rút gọn chủ yếu mình chia ra từng cụm để phân tích rồi ghép lại Công thức

áp dụng không có gì nhiều, khi làm chủ yếu là biến đổi cho linh hoạt

Ví dụ 7:Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:

a) A 52 2 23 b) B

11 16

5 2 2  

3 1 5

b) Ta có: a a a a

1 2

a

11 16

a b

b a

1 2

3a

 Lúc này thấy ở trên tử có 1

 A

2 1

b a

a a a

1

3 2

2 3 1 3 2 2

3 2 2 2

1

1:

1 1 3

1

:

442

a a

44

a a





2 2

a a



 Có vẻ là gọn hơn rồi

Ráp vào ta được:

2 2 2

4442

a a a

442

a a a a

4442

442

a a a

442

a a a a

Ví dụ 11: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vàob:

c) 3 23 2 2

d)

11 16

a a

Bài 8: Cho biểu thức: M    

a) Chứng minh M không phụ thuộc vào b

b) Tính giá trị của M khi a  2

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

 

 

   

1 10

b a

a b a b ab

Vậy M không phụ thuộc vào giá trị của a và b

Bài 8: Cho biểu thức: M    

 b) 3600 và 5400

Bài 2: So sánh 2 số sau:

3 14

14

1

2.22

c c

b) Ta thấy 8134 log 813 log 33 4 4.log 33 4

c) Ta thấy có 2, khi gặp mấy cái căn ta nên chuyển về hàm mũ để dễ áp dụng

Mặt khác 3225 ta thấy đã có số 2 giống nhau

1 2

d) Tương tự ta thấy

1 2

2 2 rồi áp dụng công thức bình thường

3 3

1 log 2

8 H log 6.log 9.log 23 8 6

Bài này có sự thay đổi Những bài trước mình cố gắng chuyển về một số mũ để ra dạng loga

b ab, nhưng giờ không cần vậy nữa

Ta thấy: log 63 log3 2.3 log 2 log 33  3

3

2log 2 1 log 3.log 2

Ta sẽ suy nghĩ: “Nếu để log 3 thì có làm gì được không? Có công thức nào không? Nếu 6nhân phân phối vào có làm gì được nữa không?” Sau 1 hồi suy nghĩ và thử theo cách suy nghĩ đó thì ta sẽ không làm được gì cả

Ta lại thấy: log 2 có cơ số là 3, mà 3 log 3 có cơ số là 6, vậy mình đổi về cơ số 3 coi 6

Ta thấy log 3 có cơ số 3 và ta có công thức 6 log 1

a a

Sau khi làm xong các bài này thì ta đã luyện tập thêm được một ít kỹ năng biến đổi và

luyện tập được công thức loga b

Ví dụ 4: Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán:

1 Cho log 2712  a Tính log 166 theo a

2 Cho log 142  a Tính

49 7

log 32 và log 3249 theo a

3 Cho log 52  a; log 32  b Tính log 1353 theo a b,

4 Cho log 315  a Tính log 1525 theo a

5 Cho loga b 3 Tính

3

log

b a

b a

6 Cho loga b 5 Tính log

ab

b a

8 theo a b,

Giải:

1 Mấy dạng này giúp ta chủ yếu là rèn kỹ năng tính toán và quan sát là chủ yếu Như ta

thấy log 2712 có 12 4.3 còn 2733, dễ suy nghĩ đến chuyện đổi cơ số cho cơ số nó gọn

đi Khi nhìn qua log 16 thì 6 3.26  còn 1624, ta cũng nghĩ đến chuyện đó

Mà bây giờ ta cứ tính toán cái đã cho trước, rồi đi tính cái yêu cầu theo cái đã cho

log 27 log 3 3log 3 3

log 12 log 3.4 log 4 log 3 log 2 log 3 2 log 2 1

Mà mình đã tính log 23 3

2

a a





3 3

a a a



2

4log 3 1

a a a

a a







2 Tương tự cách phân tích của câu (1)

Ta có: log 142 log2 7.2 log 7 12  a log 72  a 1

Ta thấy: log 53 không có giống với log 5 hoặc 2 log 32 nào cả Nhưng ta thấy cái đã cho có

có số 2 và có số 5 , 3 nên ta nghĩ đến chuyện đổi cơ số: log log

log

c a

c

b b

a



3 3

Ta dễ thấy với cơ số b

a thì không thể đưa về dạng loga b được nên ta phải đổi cơ số

Ta thấy

1

3b b Ồ! Có hi vọng rồi 3

Tới đây ta đã thấy có cơ số a, vậy là khỏe rồi

Bây giờ, ta dễ thấy: loga b loga b loga a

a   ( Dạng loga b loga b loga c

c   ), nhưng trước tiên ta phải biến đổi cho gọn đã

a b

ab ab

log

a a

b b

1.2 Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp:

Dạng 1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ VÀ LOGARIT HÓA

* Dùng công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng f x  g x 

* Lưu ý: 0

0 và 0n đều không có nghĩa

Ví dụ 1: Giải các phương trình mũ sau ( đưa về cùng cơ số ):

635 55 5 5 5 Vậy chúng đã cùng cơ số 5 rồi

3 4 1

5

22

Tới đây ta thấy nó không cùng cơ số mà chỉ cùng số mũ, vậy ta phải làm sao? Ta nhớ tới công thức

x x

a a với a có ẩn thì a1M N0, ta sẽ đi chứng minh nó

Ta logarit hóa 2 vế và chọn cơ số là c

A A

Tương tự:

 

  (chia cơ số lớn nhất)

8 (lo¹i)

t t

5.5 5x x 25 124.5x

5 5x 124.5x250  * Đặt t5x, t0

 * 2

5t 124t 25 0

251 (lo¹i)5

t t

1 21

(lo¹i)2

t t t

Dạng này ta đưa tất cả về sao cho xuất hiện 3x

Tới đây thấy không làm ăn gì dễ hết, nghĩa là cách đặt ẩn có thể có vấn đề

Ta quay lại bước:  3 3    3

u u

u u

9 Giải phương trình: 9sin2x9cos2x 6  9

Ở đây ta thấy mũ là sin x , cos x nên ta không thể để vậy mà làm, ta phải chuyển nó về

hoặc sin x hoặc cos x thôi

Mà ta còn nhớ là: 2 2 2 2

sin xcos x 1 sin x 1 cos x

 9 91 cos 2x9cos2x 6 2 cos2

Đặt cos2

9 x

t , bây giờ ta phải xét điều kiện cho t, nó rất quan trọng để ta đi lấy nghiệm

Ta biết rằng: 1 cos  x1, nhưng cái ta đang xét là 2

cos x Ta biết, cos x có giá trị cực đại là cosx1 , còn cực tiểu là cosx 1 Nhưng 2

cos x0; x , vậy nên

2

2cos

4

x x

cos cos

4cos cos

“ Ôi thần linh ơi! ” ( Trích câu nói thông dụng trong phim Cô dâu 8 tuổi )

So sánh, với cách trên ta có 4 giá trị x đó là

24324

3

24

-H 1

-3π

4

-π 4

3π

4

π 4

+

-H 2

-3π 4

-π 4

3π 4

π 4

24

9

9

x x

x

x

u

u v v

Khi đó sin 2 cos 2

6 9 x.9 x

Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế ( Dùng Bất đẳng thức Cauchy )

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: sin2 cos2 sin2 cos2

9 x9 x 2 9 x.9 x 2 9 6 Dấu “=” xảy ra khi 9sin2x 9cos2x

9

9

x x

10 Giải phương trình: 41 2sin 2x9.42 cos2x 5  10

Cũng tương tự, ta hãy chuyển về 1 ẩn

 * 9

54

2

t t

23

    tới đây ngóng luôn

Nhưng nếu chia cả 2 vế cho 9x thì:

 *    t2 t 2 0 1

2 (lo¹i)

t t

t t

 *   t2 2t 350 7

5 (lo¹i)

t t

1 (lo¹i)

t t

x

2 2

3 3

1

5 2 6

5 2 6

x x

  

 

 

x x t t

7

Vậy x0 hoặc

5 21 2

1log

8 3 7

x t

* Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f x và   g x để kết luận   x0 là nghiệm duy nhất:

- f x đồng biến hoặc   g x nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)  

Rõ ràng ta thấy f x luôn đồng biến còn   g x luôn nghịch biến sẽ giao nhau tại   x  1

Trình bày:

Ta có x  1 là 1 nghiệm của phương trình 3x  5 2x

Mà f x 3x luôn đồng biến trên

g x  5 2x luôn nghịch biến trên

O

    là một hàm số Giờ ta đi chứng minh nó đơn điệu

như thế nào (đồng biến hay nghịch biến)

 luôn nghịch biến trên và f 2 1

Ta đi xét các nghiệm trong các khoảng x  2 và x  2 xem, nếu không có đoạn nào có nghiệm thì đi kết luận x  2 là nghiệm duy nhất

  luôn nghịch biến trên và f  2 1

+ Với x 2 f x  f 2 1 2 ' : vô nghiệm

+ Với x 2 f x  f 2 1 2 ' : vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2



A B

 dạng như phương trình kẹp vậy 2 đứa f x( )g x( )

khi và chỉ khi cả 2 đồng thời bằng cái đã tìm được là M

Ví dụ 1: Giải pt (đưa về pt tích)

1) 25.2x 10x 5x 25 2) 12.3x 3.15x 5x1 20

Giải 1) giải pt: 25.2x 10x 5x 25(1)

Thấy ngay 25.2x và 25 có chung số 25, còn 10x và 5x sẽ có chung 5x vì 10x=5 2x x

(1)

0 2

Mấy dạng này ta thường giải nhiều sẽ có kinh nghiệm và kỹ năng quan sát

Ta thấy có x2 và hàm mũ, ta thử chuyển về phương trình bậc 2 theo x

1 6.3 2x

x x

f(x) = 3 x

1

O

x x

Ta có: x 1 là nghiệm của phương trình  *

Hàm số: f x 3x vì a 3 1 nên f x luôn đồng biến     x

nên g x luôn nghịch biến    x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1

g(x) = x+2 5 f(x)

1

O

Ví dụ 3: Giải phương trình (Dùng phương pháp đối lập):



cos 0sin 1

x x

x x

, như vậy là không hợp lý nên

ta phải bỏ vị trí này đi Ta chỉ có thể lấy 2

π 2 π 2

2 Giải phương trình: 4sin2x4cos2x  6 cos 2x

-+

π

-π 2

π 2

0

biểu diễn được 4 vị trí, đó là:

14

22222

3 34x84.32x5270 4 16x17.4x160

5 49x7x1 8 0 6 2x2x22 x x2 3

7 7 4 3  2 3 6

x x

4 4x 4

2 3

444

x

2 1 3

x x

 thì nhớ đặt điều kiện cho nó và sau này các bài khác cũng

tương tự Bước đặt điều kiện khá quan trọng vì nó ảnh hưởng đến kết quả bài toán

x x x

So sánh với điều kiện x0 thì chỉ nhận nghiệm x4

Vậy nghiệm của phương trình là x4

x x x

(*)

 

2

2 2

2

2 2

So với điều kiện x0 thì x9 thỏa

Vậy nghiệm của phương trình là x9

8 Giải phương trình: 4cos 2x4cos2x3  8

t t

t t

13 Giải phương trình: 2sin2x4.2cos2x 6  13

 13 21 cos 2x4.2cos2x 6

2 2

cos cos

2

2

x x

t t

112 2 3151

8 (lo¹i)20

3 (lo¹i)2

4

t t

x x

-1

3 2 1

4

O

3t 1t 3 x 0

133

Chú ý : không cần thiết em phải vẽ đồ thị, chủ yếu muốn em thấy rõ nên mới vẽ thôi

Dựa vào đồ thị ta thấy x0 là nghiệm duy nhất

y = 3 x - 3

y = x - 3

O

Ta thấy x1 là một nghiệm

Xét hàm số: f x 5 , =5>1x a  f x  luôn đồng biến

g x  7 2x, a  2 0 g x  luôn nghịch biến

Vậy x1 là nghiệm duy nhất của phương trình 5x  7 2x

Vậy nghiệm của phương trình  5 là x1

Bài 4: Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2: chia 2 vế cho cơ số lớn nhất

3t t 4 0

43

1 (lo¹i)

t t

 * 2

6t 13t 6 0

3223

t t

 * 2

64t 84t 27 0

34916

t t

t t

1

1 5log

1

1 5log

t t

x

 

2 3

11log2

x

2

2log3

Vậy nghiệm của phương trình: 1

2

2log3

Bài 5: Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

1 Giải phương trình:   2 2

2 3 x  2 3 x 4  1 Nhận xét: 2 32 31

2

x x

 4 6 2.4 2 2

x x

t t

Vậy phương trình  5 vô nghiệm

Bài 6: Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến, nghịch biến):

x x

1 Phương trình Logarit cơ bản:

4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

5 Đưa về phương trình đặc biệt

6 Phương pháp đối lập

3 Lưu ý:

• Khi giải phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa Nếu điều kiện ấy quá phức tạp, ta không nên tìm ra chi tiết Hiển nhiên, khi tìm được nghiệm nên thế vào điều kiện để kiểm tra nghiệm

• Với , ,a b c0 và , ,a b c1 thì:

log log log

• Các công thức logarit thường sử dụng:

1 loga bloga cloga b c 2 loga b loga c loga b

a

b b

c c

 8 log4log2 xlog2log4 x2

Giải:

Nếu đã nắm vững phần phương trình mũ thì phân này không có gì là quá khó, chỉ cần chú

ý cách giải thì sẽ quen dần và dễ dàng nắm được

1 Giải phương trình: log 23 x  1 2 1

  (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình: 5

x x

  (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình: 10

3

log x 2x 3 lg x 3 lg x1  3

2 (lo¹i)

3 1

4 (lo¹i)

x x

x x

27 0

27

x x

3 log x log x log x 7

Vậy nghiệm của phương trình là x25

6 Giải phương trình: log2xlog2x 1 1 6

Điều kiện: 0 1

1 0

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm: x6

8 Giải phương trình: log4log2 xlog2log4 x2  8

2

0 4

00

x x

 8 log22log2xlog2log22 x2 2 2  2 2

Đó là kĩ năng quan sát và vận dụng những kiến thức cơ bản

Ví dụ 2: Giải các phương trình logarit (đưa về cũng cơ số):

x x

t t

Vậy phương trình có nghiệm: x2

3 Giải phương trình: log4x 3 log2 x  1 2 log 84  3

x x



   x 3 2x1  x 5 ( thỏa x1) Vậy nghiệm của phương trình: x5

4 Giải phương trình: 2  4

log log 4 10 04

   x 1   x 1 ( thỏa điều kiện )

Vậy nghiệm của phương trình là: x 1

Giải thích:

Ta thấy:

2 4

log 4x nó có dạng loga b, trong đó  chẵn nên

loga b loga b Tương tự cho

x x

x x x x x

2 x   x  x  6 Điều kiện:

x x x

1 33

1 33

x x x x x x

x x

3 172

x x x

So sánh các nghiệm với điều kiện đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình: x3; x 6; 3 17

2

3 4 0

x x x x

3 4 0

x x x x

x x

Ta cần chú ý: loga b khác với 2 log2a b loga b nghĩa là b nó mũ 2, còn 2 log2a b nghĩa

là cái loga b nó mũ 2, hay 2  2

x x x

11010

x x

Vậy phương trình có nghiệm x0

3 Giải phương trình: log23 x log23x  1 5 0  3





   

x x x

Bài 1: Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số):

1 log2x x 11 2 log2xlog2x 1 1

Vậy nghiệm của phương trình là x 1 ; x2

2 Giải phương trình: log2xlog2x 1 1 2

x x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là 1 5

2

x 

Chú ý: ln x có ý nghĩa là cơ số e hay ln xlne x

4 Giải phương trình: log37 2 log 3x22  4

  (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x5

5 Giải phương trình: log5xlog25xlog0,2 3  5

x

  (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là 3

2

1log3

x x

x x

x x



Vậy nghiệm của phương trình là x3

9 Giải phương trình: log2x 1 log2x 3 log 10 12   9

   

 

  

Vậy phương trình có nghiệm là x  2 6

10 Giải phương trình: log9x 8 log3x26 2 0 10

x x

x x x

Bài 2: Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số):

   (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x 5

4x 8x 3 0

3 (nhËn)2

1 (nhËn)2

x x

x x x

Thay các nghiệm vào điều kiện thấy x3 thỏa điều kiện

Vậy nghiệm của phương trình là x3

5 Giải phương trình: logx3x 1 2  5

Điều kiện: 0 3 1

1 0

x x

5 97

6

(lo¹i)6





Vậy nghiệm của phương trình là x3 và x4

10 Giải phương trình: log 2 3  3 1

x  x x   10 Điều kiện:

x x





Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn):

3log x 1 log x

t t

Với t1 log5x1  x 5 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x5

3 Giải phương trình: 2 log5 2 log 1

Vậy nghiệm của phương trình là x5

4 Giải phương trình: 3 log2xlog 42 x0  4

x x

+ Với t1  log2 x 1 log2x1  x 2 (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình là x16 và x2

t t t

t t

 7 log 33 x1 log 33 3 x16

t t t

    2

1log 5 1 log 5 1 1

Với t1 log 52 x 1 1 5x 1 2 5x 3  x log 35

Vậy nghiệm của phương trình là xlog 35

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Trước khi học, ta hãy quay lại làm phần bất phương trình của lớp 10, vì phần đó là nền tảng cho phần Bất Phương Trình Mũ

I Bất Phương Trình:

1 Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Cách giải: Bỏ các dấu giá trị tuyệt đối, dựa vào định nghĩa:

nÕu 0 nÕu 0

Ta dễ thấy: Để f x  xác định thì f x 0, nhưng ta thấy f x  g x  thì g x có  

thể âm hoặc dương nên ta phải chia ra 2 trường hợp:

+ Trường hợp 1: g x âm ( hay   g x 0)và f x  thì f x bắt buộc phải   0

 Ta sẽ có:  

 

00

x x

x x x

x x x

x x