b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số C đi qua điểm A0;-1.. Tính diện tích tứ giác ABCD.. c Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I2; 1 biết rằng đờng thẳng đó cắt elip tại hai đi
Trang 1Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi kiểm tra chất lợng học kì I
Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2006 2007–
-*** -
Môn thi : Toán 12
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
-*** -Câu 1:(5 điểm)
Cho hàm số:
1 x
m 3 6 x ) m 2 4 ( mx y
2
−
− +
−
−
a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị là (C)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) đi qua điểm A(0;-1) c) Dựa vào đồ thi (C) biện luận theo k số nghiệm của phơng trình:
0 3 k 1 x
2
− +
d) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m ∈ R
Câu 2: (1 điểm)
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) =(e2sinx +sin 2x)cosx Tìm công thức của F(x) biết rằng F(3π) = 1
Câu 3: (4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): 1
4
y 9
= +
a) Xác định các tiêu điểm F1 và F2, tâm sai và tiêu cự của (E)
b) Hai đờng thẳng qua F1, F2 và song song với Oy cắt (E) lần lợt tại A, D và
B, C Tính diện tích tứ giác ABCD
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I(2; 1) biết rằng đờng thẳng đó cắt elip tại hai điểm MN mà I là trung điểm của đoạn thẳng MN
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Trờng thpt đông sơn i Kì thi kiểm tra chất lơng học kì I
Năm học 2006 - 2007 Hớng dẫn chấm toán 12
1a Với m = 1 thì
1 x
2 1 x 1 x
3 x 2 x
− +
−
=
−
+
−
=
) 1 x (
1 x 2 x y
−
−
−
=
a, Chiều biến thiên: y' = ⇔ = −0 x 1 2,x 1= + 2
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −;1 2) và ( 1 + 2 ; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1 − 2 ; 1 ) và ( 1 ; 1 + 2 )
0,25
b, Cực trị : xCĐ = 1 − 2 và yCĐ y(1= − 2)= −2 2
xCT = 1 + 2 và yCT = y ( 1 + 2 ) = 2 2 0,25
c, Giới hạn :
+) x → 1 − =−∞ x → 1 + =+∞
y lim , y lim , suy ra x = 1 là tiệm cận đứng
1 x
2 lim )]
1 x ( y [ lim
x
−
=
−
−
∞
→
∞
+) limx→−∞y=−∞,limx→+∞y=+∞
0,25
d, Bảng biến thiên :
x - ∞ 1 − 2 1 1 + 2 + ∞
y’ + 0 - - 0 +
y
− 2 2
- ∞ - ∞
+ ∞ + ∞
2 2
0,5
3) Đồ thị: Cắt trục tung tại điểm (0; -3), nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối
x O
y
1
- 3
Trang 31b b) Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, d có hệ số góc k và đi qua I(0; - 1) nên
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phơng trình:
=
−
−
−
−
=
−
+
−
k )1 x
(
1 x
x
1 kx 1
x
3 x
x
2 2
2
0,25
) 1 x (
1 x 2 x 1 x
3 x x
2
2 2
−
−
−
−
=
−
+
−
⇒ k = - 7 do đó d có phơng trình y = - 7x - 1 0,25 1c Ta có phơng trình : k 3 0
1 x
2
−
k 4
1 x
3 x
x 2
−
−
=
−
+
−
Số nghiệm của phơng trình (2) là số giao điểm của (C) với đờng thẳng
+ với
−−
<
+−
>
⇔
>
−
−
−<
−
−
2 2 4 k
2 2 4 k 2 2 4 k
2 2 4
k
thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
+ với
−−
=
+−
=
⇔
=
−
−
−=
−
−
2 2 4 k
2 2 4 k 2 2 4 k
2 2 4
k
thì (2) có 1 nghiệm
+ với − 2 2 < − k − 4 < 2 2 ⇔ − 4 − 2 2 < k < − 4 + 2 2 thì (2) vô nghiệm
0,5
1d Gọi (x0; y0), x0 ≠ 1 là điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) đi qua với
mọi m Khi đó
1 x
m 3 6 x ) m 2 4 ( mx y
0 0
2 0
− +
−
−
⇔ m ( x20 + 2 x0 − 3 ) = y0( x0 − 1 ) + 4 x0 − 6 với ∀m ∈ R
=
− +
−
=
− +
⇔
0 6 x4 )1 x(
y
9 3 x2 x
0 0
0
0
2
=
− +
−
−=
=
⇔
0 6 x )1 x(
y
3 x
(loại) 1 x
0
0
⇔
−=
−=
2
9 y
3 x
0 0
Trang 4Vậy đồ thị hàm số (1) có một điểm cố định là
− −
2
9
; 3
0,25
2 Ta có ( e 2 sin x sin 2 x ) cos xdx e 2 sin x cos x dx sin 2 x cos x dx
∫
0,25
3
2 e
2
1 ) x (cos d cos 2 ) x sin 2 ( d e
(
2
Do đó F(x) = cos x C
3
2 e
2
1 2 sin x − 3 + , với C thỏa mãn
6
1 C 1 C ) 3 ( cos 3
2 e
2
−
=
⇔
= + π
−
Vậy F(x) =
6
1 x cos 3
2 e
2
−
4
y 9
= +
) 0
; 5 (
Tâm sai
3
5 a
c
3b
Ta có xA = xD = xF1 = − 5, đo đó tung độ của A và D là nghiệm của
phơng trình
3
4 y 1 4
y 9
±
=
⇔
= +
0,5
Giả sử
3
4 y
ra suy 3
4
−
3
4
; 5 D , 3
4
; 5
3
4
; 5 C , 3
4
; 5
Ta thấy AB // CD, AD // BC, AB ⊥ AC nên ABCD là hình chữ nhật 0,25
ABCD có diện tích S = AB.BC =
3
5 16 3
8 5
O A
B
y
x
Trang 53c Gọi ∆ là đờng thẳng cần tìm, ∆ có phơng trình
+
=
+
=
bt 1
y
at 2
x
(a2 + b2≠ 0)
Do M, N là giao điểm của ∆ với (E) nên M = (2 + at1; 1 + bt1),
N = (2 + at2; 1 + bt2) với t1, t2 là nghiệm của phơng trình
0,25
36
11 4
b 9
<
−
+ nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 theo định lí Viet ta có +
+
−
= +
4
b 9
a 4
b 9
a 2 2 t t
2 2 2
Mặt khác do I là trung điểm của MN nên
= + + +
= + +
+
2 bt 1 bt 1
4 at 2 at 2
2 1
2 1
0t
t 0)t
t(b
0)t
t(a
2
1 2
1
2
=+
=+
⇔
0,25
4
b 9
a
2 + = ⇔ + = , chọn a = 9 suy ra b = - 8
∆ có phơng trình
−
=
+
=
t8 1 y
t9 2
x
Chú ý :
- Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
