on thi dai hoc cap toc 21 ngay

Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm sốBài toán1: sự tơng giao của hai đồ thị hàm số 1.Cho hàm số y=x-1x2+mx+m.Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 2... 3, Với giá

Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Bài toán1: sự tơng giao của hai đồ thị hàm số

1.Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m).Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

2 Cho hàm số y=x3-3x2(C).Tìm m để đờng thẳng y=mx cắt đồ thị(C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2

điểm có hoành độ dơng

3.Cho hàm số

1

2

−

+ +

=

x

m x mx

y Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng

4.Cho hàm số

2

4 2 2

−

+

−

=

x

x x

y (C) Tìm m để đờng thẳng d: y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

5.Cho hàm số

1

2 +

−

=

x

x

y và d là đờng thẳng đi qua A(0;-1) có hệ số góc k.Tìm m để d cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị

6 Cho hàm số

1

1 2

−

− +

=

x

mx x

y Tìm m để đồ thị hàm số cắt d: y = m tại hai điểm A,B sao cho OA⊥ OB

7.Cho hàm số

1

1 2

−

− +

=

x

x x

y Tìm m để d: y=-x+m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt,khi đó CMR

2 điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị

8.Cho hàm số

1

2 +

−

=

x

x

y CMR đồ thị hàm số luôn cắt d: y=2x+m tại 2 điểm phân biệt A và B thuộc 2

nhánh khác nhau của đồ thị, tìm m để độ dài AB ngắn nhất?

9.Cho hàm số y=x3 − ( 2m+ 1 )x2 − 9x.Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

10.Cho hàm số y=x4 −mx2 +m− 1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp

số cộng

11 Cho h/s

2

y

x 1

m + + m

=

− (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = -1

b) Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng 2003_A

12. a) Khảo sát h/s

2

y

x 2

=

− (1) b) Tìm m để đờng thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm phân biệt ? 2003_d

13 Cho h/s

2

y

2(x 1)

=

− (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1)

b) Tìm m để đờng thẳng d : y = m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1 2004_A

14 Cho h/s y x = 3 − 3x 2 +

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s

b)Gọi d là đờng thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k Tìm k để đờng thẳng d cắt (C) tại 3 điểm

15 Cho Hàm số y= −(x 1)(x2+mx m+ ) ( Cm) Dệẽ Bề B1 –2003:

a-KS-HS ( Cm ) khi m=4

b-Tỡm m ủeồ ( C m ) caột ox tại 3 ủieồm phaõn bieọt

HD: pt x2+mx m+ =0

Coự 2 nghiệm khaực 1  m<0 ; m>4 vaứ m ≠ -1/2.

16 (C) 3 2

y= x − x − Dệẽ Bề D2 –2003:

a) KSHS ( C )

b) Đờng thẳng ( d ) qua M ( 0;1) coự HSG laứ k , tỡm k để ( d ) caột ( C ) taùi 3 ủieồm phaõn bieọt

k>-9/8 vaứ k≠0

17.Dệẽ Bề 7 –2002:( Cm)

1

x mx y

x

=

a- Ks hs ( C ) m=1

b- Tỡm treõn ( C ) Caực ủieồm M coự toaù ủoọ nguyeõn

c- Xaực ủũnh m ủeồ ủg thaỳng y=m caột ( Cm ) taùi A vaứ B sao cho OA vuoõng goực OB

HDẹS: b- (0;1) ; (2;5) c- pthủoọ : x2 =1-m pt coự 2 ngh  m<1.

A(xA;yA) ; B( xB;yb):vụựi y = m Vụựi : 1. 22 1. 2 0

⊥ <=> + =

uuur uuur

Vaọy : m 2 +m –1=0  1 5

2

m=− ± (nhaọn)

18 Cho hs : ( C ) 2 4

1

x y x

+

= + a-KS-( C )

b-CMR: ủthaỳng y =2x+m caột ủoà thũ ( C ) taùi hai ủieồm phaõn bieọt A;B vụựi moùi m Xaực ủũnh m ủeồ AB ngaộn nhaỏt

AB 2 = 5( x2-x1) 2 =

2

4

m m

=

V

19.Cho hàm số: y=x3 – 6x2 + 9x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

2, Đờng thẳng (d) đi qua M(4; 4) có hệ số góc k Xác định k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

( ĐH Đại cơng TP HCM 1996)

20 Cho hàm số: y=x3 +3x2 -1

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

2, Tính DTHP giới hạn bởi (C) và đờng thẳng y=-1

3, Đờng thẳng (d) đi qua A(-3;-1) có hệ số góc k Xác định k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

21 Chứng minh rằng đờng thẳng y= -x+m luôn cắt đồ thị hàm số

2

1 2 +

+

=

x

x

y tại hai điểm phân biệt

22 Cho hàm số y = x3+ 3x2 + mx+ m -2 , (Cm)

1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) khi m=3

2) Gọi A là giao điểm của (C) với trục tung.Viết phơng trình tiếp tuyến d của (C) tại A Tính diện tich hình phẳng giới hạn (C) và d

3) Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

23 Cho hàm số

1

1

−

+

=

x

x

y có đồ thị (C)

1, Tìm m để đờng thẳng d : y= mx +1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

2, Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của (C)

( Đs: 1, m<-8 hay m>0 ; 2, m>0 )

24 Cho hàm số

1

1 2

−

− +

=

x

x x y

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

2, Tìm trên đồ thị những điểm cách đều 2 trục toạ độ

3, Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=m-x cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt ? Chứng minh rằng khi đó cả hai giao điểm đều thuộc một nhánh của đồ thị

( ĐH Hàng Hải năm 1999)

( Đs: 2, A( )

2

1

; 2

1

2

2

; 2

2

2

2

; 2

2 ; 3, m<4 − 2 2 hay m> 4 + 2 2 )

25 Cho hàm số y=x3 − 3x2 + 4 (1) ẹH D 2008

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1;2) với hệ số gúc k (k > - 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phõn biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

bài toán 2: dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phơng trình

Giả sử cần biện luận số nghiệm của phơng trình F(x; m) = 0 (1) trong đó đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

đã đợc vẽ Khi đó biến đổi phơng trình (1) thành phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)( đã

đ-ợc vẽ) có dạng:

f(x) = g( m) Trong đó g( m) là đờng thẳng (d)

Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của (C) và (d)

1. Cho hàm số y = x3 +3x2 -2

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2, Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phơng trình:

a x3 +3x2 - 2 = m b x3 +3x2 - m = 0 c x3 +3x2 +2m-1 = 0 d -x3 -3x2 +1- m = 0

2 Cho hàm số: y=x3 – 6x2 + 9x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

2, Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn

3, Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

x3 – 6x2 + 9x –m=0 ( Thi TN THPT 1993)

4 Cho hàm số y =

3

1

mx3-(m-1)x2 + 3(m-2)x+

3

1 1,Khảo sát vẽ đồ thị (C) khi m=2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn

2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành,đờng thẳng x=0,đờng thẳng x=1

3, Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo k số nghiệm của phơng trình

2x3- 3x2 -2 - 3k =0

5 Cho hàm số y = x4- 4mx3 - 2x2 +12mx có đồ thị là (Cm)

1, Khảo sát vẽ đồ thị (C) khi m=0

2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành

3, Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo k số nghiệm của phơng trình

x4- 2x2 - k =0

6 Cho hàm số y = x3 -3x -2 có đồ thị (C)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2, Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của phơng trình: x3 -3x - m = 0

( Thi TN BTTH 2004-2005)

7 Cho hàm số

1

4 2

−

+

−

=

x

x x y

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ, tung độ đều là số nguyên

2Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: m

x

x

−

+

− 1

4 2

8 Cho hàm số y= −x3 + 3mx2 + 3 ( 1 −m2 )x+m3 −m2.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1.Tìm

k để phơng trình −x3 + 3x2 +k3 − 3k2 = 0có 3 nghiệm phân biệt

9.Vẽ đồ thị hàm số y=x3 − 3x2 + 4.Từ đó tìm k để phơng trình x3 − 3x2 −k+ 5 = 0có 3 nghiệm phân biệt

10 Biện luận số nghiệm của phơng trình: x3 − 3x +m+ 2 = 0 theo m

11.Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x − 2.Tìm m để phơng trình x − 3x + 2 + lgm= 0 có 4 nghiệm phân biệt

12.Vẽ đồ thị hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình :

x2- (m+1)x+1+m=0

13.Vẽ đồ thị hàm số

1

3 2 2 +

+ +

=

x

x x

y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình :

x2+(2- m)x+1- m = 0

14 Vẽ đồ thị hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình sin 2 x− sinx + 1 =m( sinx − 1 ) trên −Π2 ;Π2 

15 Vẽ đồ thị hàm số

1

2

−

=

x

x

y Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 1

2

−

=

x

x m

16 Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2.Tìm m để phơng trình −x3 + 3x2 − 2 − log2m= 0có 6 nghiệm phân biệt

17 Vẽ đồ thị hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

x

x

1 1

2

=

−

+

−

theo m.212

18.Vẽ đồ thị hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

y Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình cos 2x− (m+ 1 ) cosx+ 1 +m= 0

19 Tìm m để phơng trình : x4- 2x2+m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

20 ẹH Naờm 2006:

1-Kh A : ( C ) y = 2x 3 -9x 2 +12x - 4

a-KH-HS ( C )

b-Xaực ủũnh m ủeồ pt : 2 x3−9x2+12 x m− =0 coự 6 nghieọm phaõn bieọt.

Bài toán 3: các phép biến đổi đồ thị

1.Vẽ đồ thị hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

2

− +

−

=

x x x y

2.Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2.Từ đó suy ra đồ thị hàm số y= −x3 + 3x − 2

3.Vẽ đồ thị hàm số

1

1 2

−

− +

=

x

x x

2

−

− +

=

x

x x y

4.Vẽ đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2 Từ đó suy ra đồ thị hàm số y= −x3 + 3x2 − 2

5.Vẽ đồ thị hàm số

1

1 )

(

−

+

=

=

x

x x f

)

( x

f

y = , y=f ( x) ,

1

1

−

+

=

x

x

y , y = x x−+11

Bài toán 4: Bài toán tiếp tuyến

*Chú ý: Khi thực hiện bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số cần phân biệt 2 ngôn từ đợc dùng: + Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) ∈ (C) ( hoặc tại x=x0 ) có phơng trình : y- y0 = y’(x0) (x-x0) ( Khi đó có duy nhất một tiếp tuyến của (C) tại M )

+, phơng trình tiếp tuyến đi qua M ( có thể thuộc hay không thuộc (C) ) Khi đó có nhiều hơn một tiếp tuyến

+, Đờng thẳng y= kx + b có hệ số góc k=tgα

• Hai đờng thẳng song song có cùng hệ số góc VD: y= 5x+ 3; y= 5x-9

• Hai đờng thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1.VD: y= 5x+3 ; y=- x

5 1

Dạng 1: Viết PTTT khi biết tọa độ tiếp điểm (Viết PTTT tại một điểm)

1 Cho hàm số: y=x3 – 6x2 + 9x (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I( 2; 2)

2 Cho hàm số y= x3- x (C) Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục hoành

Bài Giải Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm phơng trình :

x3 – x = 0 





±

=

=

1

0

x x

=> Giao điểm của (C) và Ox là: 0(0; 0) , A( 1; 0), B( -1; 0)

Ta có y’= 3x2 -1

• phơng trình tiếp tuyến của (C) tại O(0; 0) là: y=y’(0) (x- 0) y= -x

• phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là: y=y’(1)(x-1) y=2x-2

phơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1; 0) là: y=y’(-1)(x+1) y=2x+2

3.Cho hàm số y= f(x) = 2x3 + 3x2 − 2 (C)Viết PTTT với (C):

a) Tại M(0;-2) b)Tại điểm N có hoành độ bằng -1 c)Tại điểm P có tung độ bằng -2 d) Tại điểm uốn của đồ thị e) Tại các điểm cực trị của đồ thị (C)

2

3 3 2

1 ) (x x4 x2 C f

y= = − + Viết PTTT với (C) tại các điểm uốn của nó 5.Cho hàm số ( ) 3 3 2 ( )

C x x x f

a)Viết PTTT với(C) tại điểm uốn

b)Tìm các điểm chung khác tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) nếu có

c) CMR trong các tiếp tuyến với đồ thị , tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

6.Cho hàm số:y=f(x)=2x3-3x2 +9x-4(C).Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau :

a) y=7x+4 b) y=-x2+8x-3 c) y=x3- 4x2+6x-7

7 Cho hàm số(C):y= f(x) = 2x4+mx2 – (m+1)(C).Biết A là điểm thuộc đồthị có hoành độ âm.Tìm

m để tt tại A song song với đờng thẳng y=2x

8 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3- 3x.Tìm m để đờng thẳng y=m(x+1)+2 cắt đồ thị tại 3 điểm A,B,C sao cho tt tại B,C vuông góc với nhau(A là điểm cố định)

9 Cho hàm số y= f(x) =x3 − 3x2 + 1 (C).Gọi I là điểm uốn của đồ thị, d là đờng thẳng đi qua I với hệ số góc k.Biết rằng d cắt đồ thị trên tại 3 điểm A,B,I.CMR tt của (C) tại A,B song song với nhau

10 Cho h/s 2x

y x+1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B và tam giaực OAB có diện tích bằng 1

4 2007_D

Dạng 2: Viết PTTT khi biết trớc hệ số góc (Biết phơng của tt)

1 Cho hàm số(C):y= f(x) = -x3+3x2 - 4x+2.Viết PTTT của (C) biết tt vuông góc với đờng thẳng

3 4

1 +

= x

y

2 Cho hàm số(C):y= f(x) = -x3+ 3x+1.Viết PTTT của (C) biết tt song song với đờng thẳng

y=- 9x+1

4

1 )

f

y = = − + CMR từ điểm A(7/2;0) có thể kẻ đợc 2 tt của đồ thị (C)

và 2tt này vuông góc với nhau

4.Cho hàm số

1

2 2 2 +

+ +

=

x

x x

y (C) CMR từ điểm A(1;0) có thể kẻ đợc 2 tt của đồ thị (C) và 2tt này vuông góc với nhau

5.Cho hàm số (C) :y= f(x) = x3- 3x2.Viết PTTT của (C) biết tt vuông góc với đờng thẳng y=1/3x

6 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x2+1.Viết PTTT của (C) biết tt song song với đờng thẳng

y=9x+2007

7 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x+7 Viết PTTT của (C) biết tạo với đờng thẳng y= 2x+3 một góc bằng 45 ο

8 Cho hàm số

1

2 2 2 +

+ +

=

x

x x

y (C).Viết PTTT với (C) biết tt vuông góc với tiệm cận xiên

Cho h/s

2

y

x+2

+ −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với TCXiên của (C) 2006_b

m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 2

b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đt: y = 5x

2005_d

Dạng3: Viết PTTTbiết tt đi qua một điểm cho trớc)

1 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 +3x2+1.Viết PTTT của (C) biết tt đi qua gốc toạ độ

2 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x2+2.Viết PTTT của (C) biết tt đi qua điểm A(0;3)

3.Tìm điểm N thuộc đồ thị hs (C) :y= f(x) = 2x3 +3x2-12x-1 sao cho tt tại N đi qua gốc tọa độ

4 Cho hàm số

2

2 3 +

+

=

x

x

y (C).CMR không có tt nào của đồ thị đi qua giao điểm của 2 đờng tiệm cận

4

1 ) (x x3 x C f

y= = − Cho M là điểm nằm trên đồ thị có hoành độ bằng 2 3

,viết ptđt d đi qua M và là tt của (C)

6 Cho hàm số

1

2

−

+

−

=

x

m mx x

y (C).Tìm m sao cho 2 tt kẻ từ O đến đồ thị vuông góc với nhau

7 Cho hàm số

2

2

−

+

=

x

x x

y (C),(d) là đờng thẳng đi qua B(0;b) và song song với tt của (C) tại O.Xác

định b để (d) cắt (C) tại 2 điểm M,N

8 Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=

2

2

−

+

x

x

Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6; 5)

9.Cho hàm số y=

1

2 2 2 +

+ +

x

x x

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2.Chứng minh rằng có 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A(1; 0) và vuông góc với nhau

10 Cho hàm số 3 2

3

1

x x

y= − có đồ thị là (C)

1)Khảo sát hàm số

2)Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (3;0)

( 2,Đs: y= 0 ; y= 3x – 9 )

11 Cho hàm số

1

1 2 +

+

=

x

x

y có đồ thị (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung , trục hoành và độ thị (C)

3)Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(- 1; 3)

( Đs: 2, 1- ln2 ; y=

4

13 4

1 +

12 Cho hàm số y = 4x3– 6x2+ 1 (1) ẹH B 2008

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đú đi qua điểm M(-1;-9) (ẹs: y = 24x + 15 hay y = 154 x−214 )