Đề thi môn toán

Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung trong ở C.. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờngtròn nội tiếp và tâm đờng t

Đề thi tuyển sinh *Trường THPT Nguyễn Trãi

( Hải Duơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên)Thời gian: 150

2422

42

x x

x x

Tìm các giá trị của m để: x1+ x2 +3 x1.x2(x1+ x2) đạt giá trị lớn nhất

2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mãn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh rằng phơng trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ

Bài 3 ( 3 điểm) : 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800 Tính tỉ số AB

BC

.2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuônggóc với nhau Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D

kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung trong ở C Tính góc ACD

Bài 1 ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 3 4 1

12

2 2

x x

(1)a) Giải phơng trình trên khi m =

23

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoảmãn

x1 +2 x2 =16

2) Giải phơng trình: 2 2

12

11

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1n2004 sao cho A là phân số cha tốigiản

Bài 4( 3 điểm) Cho hai đờng tròn (01) và (02) cắt nhau tại P và Q Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đờng tròn tiếp xúc với (01) tại A, tiếp xúc với (02) tại

B Tiếp tuyến của (01) tại P cắt (02) tại điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đường tròn

2)Tam giác BPR cân

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB

Bài 5 (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC

lấy điểm E sao cho DB = BC = CE Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờngtròn nội tiếp và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đờng trònngoại tiếp tam giác ADE

Trường Trần Đại Nghĩa - TP HCM

(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút)

Câu 1 Cho phơng trình x2 +px +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và ơng trình x2 +qx +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1,b2 Chứng minh:

11

Câu 3: a) Tìm x; y thoả mãn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0

b) Cho các số dơng x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1

Chứng minh:

21

1

2 2

2 2

y x

x

Câu 4 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mãn phơng

trình: x3-y3 = 1993

Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định

(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150’)

Câu 1(1đ):

tính giá trị biểu thức A= 1

11

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) saocho tam giác MAB có diện tích max

Câu4(3,5đ):

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và có trực tâm H Phân giác trongcủa góc A cắt đờng tròn (O) tại M Kẻ đờng cao Ak của tam giác.Chứng minh:a) đờng thẳng OM đi qu trung điểm N của BC

b) các góc KAM và MAO bằng nhau

c) AH=2NO

Câu 5 (1đ):

tính tổng:

S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN TÂN PHÚ TP.HCM

NĂM HỌC 2003-2004 Đ ề thi toán 6 (thời gian 90 phút)

a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số

b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên

Bài 2 ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm M,

trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN So sánh độ dài các đoạnthẳng BM và AN

Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 1000 Vẽ tia phân giác Oz của góc XOY;

Vẽ tia Ot nằm trong góc XOY sao cho YOT = 250

1) Chứng tỏ tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY

2) Tính số đo góc ZOT

3) Chứng tỏ rằng OT là tia phân giác của góc ZOY

Môn toán 7 (thời gian làm bài 90 phút)

Bài 1 ( 3 điểm)

a) Tính

2004

32003

32002

22003

220022

2005

52004

52003

12004

12003

Tính giá trị của A biết x = 1/2, y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2 (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117

Bài 3 ( 1 điểm) Một con thỏ chạy trên một con đờng mà hai phần ba con

đ-ờng băng qua đồng cỏ và đoạn đđ-ờng còn lại đi qua đầm lầy Thời gian thỏ đi trênđồng cỏ bằng nửa thời gian đi trên đầm lầy Hỏi vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đ-ờng qua đầm lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đờng qua đồng cỏ lớn hơn vàlớn hơn bao nhiêu lần?

Bài 4.( 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC

các tam giác đều ABD và ACE Gọi M là giao điểm của DC và BE Chứng minhrằng:

a) ABE  ADC

b) Góc BMC = 1200

Bài 5 ( 3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm,

HC = 9 cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đờng thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx saocho HA = 6 cm

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó

b) Trên tia HC, lấy HD = HA Từ D vẽ đờng thẳng song song với AH cắt ACtại E Chứng minh rằng AE = AB

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THĨ XÃ HÀ ĐÔNG ( 2003-2004)

b) Tính giá trị của M(x) khi x =  0,25

c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0?

Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB<AC,AB=c,AC=b Qua M là trung điểm

của BC ngời ta kẻ đờng vuông góc với đờng phân giác trong của góc A đờng nàycắt các đờng thẳng AB, AC lần lợt tại D,E

a) Chứng minh BD=CE

b) Tính AD và BD theo b,c

Bài 5 (3) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= 1000.D là một điểm thuộcmiền trong của tam giác ABC sao cho góc DBC =100, góc DCB =200 Tính gócADB?

2

x x

x A

x x x

x

3

131

b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x,y,z nguyên

Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( mỗi

ngời bắn một viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thôngbáo:

a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10

c) Cường không đạt điểm 9

Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãycho biết kết quả điểm bắn của mỗi ngời.

Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b Lần lợt dựng trên

AB, AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E.a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông

c) Tính diện tích tứ giác BDEC

d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K Tính các tỉ số sau theo b,c

Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D)

Chứng minh rằng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhấttrong 2 giá trị CA+CB;DA+DB)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀN KIẾM (2003-2004)

Toán 7 (120’)

Bài 1( 4) Giải phương trình

04107

309105

311103

313101

z z y

y y

x

x

Bài 3(4) Tìm các nghiệm nguyên của phwơng trình

(2a+5b+1)(2|a|+a2+a+b)=105

Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi một cỗ bài gồm 3 quân Trên mỗi quân bài có

viết một số tự nhiên( các số khác nhau và khác 0) Mỗi ngời đợc phát một quân bài

và đợc nhận số kẹo bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy Sau đó các quân bài đợcthu lại, xáo trộn và phát lại Sau hơn 2 lần chơi, A nhận đợc 20 cái kẹo, B nhận đ-

ợc 10 cái kẹo, C nhận đợc 9 cái kẹo Hỏi số đã ghi trên mỗi quân bài? Biết số lớnnhất đợc viết trên các quân bài lớn hơn 9

Bài 5(5) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= góc C= 800 Từ B và C kẻ

các đờng thẳng cắt các cạnh tơng ứng ở Dvà E sao cho góc CBD = 600 và gócBCE =500 Tính góc BDE

Toán 8( 120 phút)

Bài 1(4)

Giải phơng trình:

110.100

1

12.2

111.1

1110

.10

1

102.2

1101

351

ax x

a x

Bài 5(4) Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b Gọi Ib,Ic theo thứ tự là

độ dài cảu các đờng phân giác của góc B và góc C Chứng minh rằng nếu b>c thì I

b<Ic

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dương) thời gian: 150’

Bài 1(3) Giải phương trình:

1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

1)1(

1)

2(

a+b> c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: x+y=a,

x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c không phụ thuộc x,y

Bài 4(1,5) Chứng minh rằng phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 cónghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n

Bài 5(2,5) Cho đờng tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O) M là điểm

trên đờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đờng phân giác của gócMAB và góc MBA cắt đờng tròn tâm O lần lợt tại P và Q Gọi I là giao điểm của

AP và BQ

1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB và ờng tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đờng thẳng cố định khi

đ-M thay đổi

*Chuyên tỉnh Bà Địa – Vũng Tàu (2004-2005) thời gian:150 phút

Bài 1:1/giải phương trình:

42

122

5

x

x x x

2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mãn:

1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM.

AC DK

AB DI

tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số nguyên

2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh cácphơng trình sau đều có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0

Bài 3(3đ)

Cho tam giác ABC

1 Gọi M là trung điểm của AC Cho biết BM = AC Gọi D là điểm đối xứngcủa B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C chứng minh: DM vuông góc vớiBE

2 Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắtcác cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F chứng minh:

a) CF

OF BE

OE AD

BE OD

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm:

1/ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức x y

y x



 32

2 4

3 5

x x x

11



x x x

*Trờng Chu Văn An và HN – AMSTERDAM(2005 – 2006)

(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150’)





z y

1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gọi S và S’ lần lợt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF, chứng minh:

Cho hình vuông ABCD và 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

2 Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông

3 Mỗi đờng thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là0.5

Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(toán 9 – bảng B – thời gian: 150’)

Bài 1

a) Rút gọn biểu thức:

x y

x

y x xy

y

.)(

b)Giải phơng trình: (5 2 6x  (52 6x 10

Bài 2

a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơngtrình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị của m để số đo đờngcao ứng với cạnh huyền của tam gíac là 5

2

b) Tìm Max & Min của biểu thức y= 1

34

2





x x

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)

(dành cho mọi đối tợng , thời gian: 150’)

x x x

x x x x

14

Bài 4(3đ): Đờng tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa

của cung lớn AB Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông gócvới đờng thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C

1 Chứng minh các tam giác AIB & AMC là tam gíac cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung tròn cốđịnh

3 Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max

3

1.33

1

6

3

b) (63+3.62 + 33) :13

16

112

120

130

142

156

172

190

b b

b a

a



Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(Toán 9 – bảng A- thời gian:150’)

x y

x

y x xy

y

b Giải phơng trình:

22

2

22

Bài 3:

Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F,Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là:EA.ED + FA.FB = EF2

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm Onội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F

a chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF

b Gọi M là giao điểm của BF với (O) Chứng minh: BMOC là tứ giác nội tiếp

Thi học sinh giỏi tỉnh Haỉ Dơng (2004-2005) ( lớp 9, thời gian: 150’)





là số nguyên chứng minhrằng: ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m  n

Bài 3 (3đ):

Cho hai đờng tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B Tiếp tuyến chung gần B củahai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C & D Qua A kẻ đờng thẳng songsong với CD, lần lợt cắt (O1), (O2) tại M & N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắtđờng thẳng MN tại P & Q; các đòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E Chứng minh:

Cho đoạn thẳng AB = 7cm; điểm C nằm giữa A & B sao cho AC = 2cm; cácđiểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB Gọi I là trung diểm của DE.Tính độ dài của DE, CI.

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)

4 Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút )

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham số a: x4y x

y  x a 1

a giải hệ pt khi a=-2

b tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có đúng hai nghiệm

Câu 3(2đ):

Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình:

499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên

Câu 4 (3đ):

Cho tam giác ABC vuông tại C đờng tròn (O) đờng kính CD cắt AC & BC tại

E & F( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB) Gọi M là giao điểm thứ hai củađờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của đ-ờng thẳng EF và BK là P

a chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng tròn

b giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc của tam giác ABC

c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD.Chứng minh rằng CM vuông góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tamgiác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP.

5 Tỉnh Haỉ D ơng (150 phút) Bài 1(2.5đ):

1 Chứng minh rằng: A = 6 2

4813532

2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2

a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d) Tìm điểm M trên cung AB của (P) saocho diện tích tam giác MAB max

c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất

Bài 3(8đ):

1 Cho đờng tròn tâm O và dây cung BC không đi qua O Một điểm Achuyển động trên đờng tròn (A#B,C) gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đ-ờng vuông góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ rằng H nằm trên một đ-ờng tròn cố định

2 Cho 2 đờng tròn (O,R) và (O’,R’) (R>R’), cắt nhau tại A,B Tia OA căt(O) tại D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E So sánh độ dài cácđoạn BC & BE

* Tỉnh Phú Thọ (150 phút) Bài 1(2đ):

a) chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hếtcho 24

b) tìm nghiệm nguyên dơng của pt: xy – 2x – 3y +1= 0

Bài 2(2đ):

Cho các số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3

c a c

b c b

a c

b a b

a c a

c b

Bài 3(2đ)

a) tìm a để pt: 3 x+2ax = 3a -1 có nghiệm duy nhất

b) cho tam thức bậc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mãn điều kiện f (x)  1 vớimọi x 1;1 Tìm max của biểu thức 4a2 +3b2

Bài 4 (1,5đ)

Cho góc xOy và hai điểm A,B lần lợt nằm trên hai tia Ox,Oy thoả mãn

OA-OB = m (m là độ dài cho trớc) Chứng minh:đờng thẳng đi qua trọng tâm G củatam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5(2.5đ):

Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha,hb,hc lần lợt là các đờng cao và ma,mb,mc làcác đờng trung tuyến của các cạnh BC,CA,AB; R&r lần lợt là bán kính của các đ-ờng tròn ngoại tiếp & nội tiếp của tam gíac ABC Chứng minh rằng

r

r R h

k k

k k

a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 400, đờng cao AH Các điểm

E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc EBA = góc FBC =

300 Chứng minh rằng AE = AF

Bài 4 Cho sáu số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn:

2003 = a1<a2<a3<a4<a5<a6

1) Nếu tính tổng hai số thực bất kì thì đợc bao nhiêu tổng?

2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau Chứng minh a62012

Bài 5 Hãy khôi phục lại những chữ số bị xoá( để lại vết tích của mỗi

chữ số là một dấu * ) để phép toán đúng

***



***2 ****

032

02

z x xz

y z yz

y x xy

Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a)

Bài 3 Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

S = (2-x)(2-y)

Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800 Trong tam giác ABC

có điểm M sao cho góc MAB = 100 và góc MBA = 300 Tính góc BMC

Bài 1 Cho 3 số chính phơng A, B, C.

Chứng tỏ rằng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hết cho 12

Bài 2 Chứng minh rằng :

3 3 3

3 3

9

49

29

11

Bài 3 Cho ab,ac,bc Chứng minh rằng:

b a

b a a c

a c c b

c b b c a c

b a a

b c b

a c c

a b

a

c b

())(

())(

(

2 2 2

2 2

2

Bài 4 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c = 9; x,y,z

lần lợt là độ dài các phân giác trong của các góc A,B,C Chứng minh rằng:

z y

x

11