Chuyên đề môn Toán: Nguyên tắc Dirichlet

NỘI DUNG CỦA NGUYÊN TẮC ĐIRICLÊ Nội dung của nguyên tắc này được phát biểu dưới dạng bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng, với n > m, nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng, thì ít nhất cũ

NGUYÊN TẮC ĐIRICLÊ

I NỘI DUNG CỦA NGUYÊN TẮC ĐIRICLÊ

Nội dung của nguyên tắc này được phát biểu dưới dạng bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng, với n > m, nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng, thì ít nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn 2 thỏ

II ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC ĐIRICLÊ CHÚNG TA CẦN LƯU Ý MỘT SỐ ĐIỂM SAU ĐÂY:

1 Các bài toán áp dụng nguyên tắc Điriclê thường là các bài toán chứng minh sự tồn tại của sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sự vật, sự việc đó

2 Nhiều bài toán, nguyên tắc Điriclê chỉ xuất hiện sau khi biến đổi qua một bước trung gian, hoặc thành lập các dãy số mới

3 Để giải bài toán áp dụng nguyên tắc Điriclê, nhiều khi ta phải kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng

4 Khi giải các bài toán mà ta đã biết phải áp dụng nguyên tắc Điriclê hoặc

dự đoán sẽ phải dùng nguyên tắc này, chúng ta cần suy nghĩ hoặc biến đổi bài toán để làm xuất hiện khái niệm "thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng"

5 Cũng có thể có những bài toán phải áp dụng 2, 3 lần nguyên tắc Điriclê

6 Trong suy nghĩ khi giải toán ta cố gắng làm xuất hiện các khái niệm "thỏ"

và "lồng", nhưng trong trình bày phần lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường

7 Khi giải xong các bài toán áp dụng nguyên tắc Điriclê, chúng ta cố gắng suy nghĩ để sáng tạo ra được các bài toán tổng quát hơn hoặc cụ thể hơn

Vì chỉ có như thế ta mới thật nắm chắc bài toán mà mình đã làm

BÀI TẬP:

1 Một đồi thông có 800 000 cây thông Trên mỗi cây thông có không quá

500 000 chiếc lá Chứng minh rằng ít nhất cũng có 2 cây thông có cùng

số lá như nhau ở trên cây

Bài giải:

Ta hãy tưởng tượng mỗi cây thông là một "thỏ", như vậy có 800.000

"thỏ" được nhốt vào không quá 500.000 "chiếc lồng" Lồng 1 ứng với cây thông có 1 chiếc lá trên cây, lồng 2 ứng với cây thông có 2 chiếc lá trên cây v.v Số thỏ lớn hơn số lồng, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất có 1 lồng nhốt không ít hơn 2 thỏ nghĩa là có ít nhất 2 cây thông có cùng số lá

2 Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có

tháng sinh giống nhau.

Bài giải:

Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng đó Nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra thì số học sinh không quá: 3.12 = 36 mà 36 < 40: vô lý

Vậy tồn tại một tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh ( trong bài này 40 thỏ là 40 học sinh, 12 lồng là 12 tên tháng)

3 Cho dãy số gồm 5 số tự nhiên bất kì a1, a2, a3, a4, a5 Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã cho chia hết cho 5

Bài giải:

Ta sẽ thành lập dãy số mới gồm 5 số sau đây:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

S4 = a1 + a2 + a3 + a4

S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

- Nếu một trong cách Si (i = 1, 5) chia hết cho 5 thì bài toán đã được chứng minh

- Nếu không có số nào chia hết cho 5 thì khi đem chia các số Si cho 5 sẽ được 5 số dư có giá trị từ 1 đến 4

Có 5 số dư mà chỉ có 4 giá trị (5 thỏ, 4 lồng) Theo nguyên tắc Điriclê ít nhất phải có 2 số dư có cùng giá trị Hiệu của chúng chia hết cho 5 Hiệu này chính là tổng các ai liên tiếp nhau hoặc là ai nào đó

4 Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi rằng ta có thể tìm được một số mà tổng

các chữ số của nó chia hết cho 11 hay không?

Bài giải:

Từ 20 số đầu tiên của dãy bao giờ ta cũng có thể tìm được 2 số mà chữ

số hàng đơn vị là 0, và trong hai số đó ít nhất phải có một số có chữ số hàng chục khác 9 Giả sử N là số đó, và ta gọi S là tổng các chữ số của N

Ta có dãy số mới N, N + 1, N + 2, N + 9, N + 19 là 11 số vẫn nằm trong 39 số cho trước mà tổng các chữ số của chúng là S, S + 1, S +

2, S + 9, S + 10 Đó là 11 số tự nhiên liên tiếp, ắt phải có một số chia hết cho 11

5 Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên tùy ý, chí ít cũng có một cặp gồm

hai số sao cho hoặc tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

Bài giải:

Để làm xuất hiện số "thỏ" và số "lồng ta làm như sau:

Trong tập hợp các số dư trong phép chia cho 100 ta lấy ra từng cặp số sao cho tổng các cặp đó bằng 100 và thành lập thành các nhóm sau: (0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94) (49 ; 51), (50 ; 50) Chú ý rằng sẽ có 50 cặp như vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) sẽ có

51 cặp (51 lồng)

- Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 sẽ có 52 số dư (52 thỏ)

- Có 52 số dư mà chỉ có 51 nhóm, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất cũng phải có 2 số dư cùng rơi vào một nhóm

Rõ ràng là cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư này chính là hai số tự nhiên có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100 (đpcm)

6 Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên bất kì ta luôn luôn tìm được một

số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 10

Bài giải:

Trước hết ta chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số chia hết cho n (Các bạn tự chứng minh điều này)

Với 19 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn luôn tồn tại 10 số liên tiếp có chữ số hàng chục như nhau, còn các chữ số hàng đơn vị có giá trị từ 0 đến 9

Vì thế tổng các chữ số của mỗi số trong 10 số này cũng làm thành dãy

số gồm có 10 số tự nhiên liên tiếp, do đó tồn tại một số chia hết cho 10 (đpcm)

7 Chứng minh rằng tồn tại lũy thừa của 29 mà các chữ số tận cùng của nó là

00001

Bài giải:

Trước hết ta chú ý rằng:

29m có tận cùng là 1 nếu m là số chẵn

29m có tận cùng là 9 nếu m là số lẻ

Ta hãy xét 105 lũy thừa của 29 với các số mũ chẵn khác nhau Có hai khả năng xảy ra:

a Trong đó nếu có số mũ 2k nào mà 292k có tận cùng là 00001 thì bài toán đã được chứng minh

b Không có số mũ 2k nào để 292k có tận cùng là 00001

Từ b, ta thấy rằng:

Số các số có 5 chữ số tận cùng khác nhau nhỏ hơn 105 (kể từ 5 chữ số tận cùng 00002, 00003, 99 999, 105)

trong khi đó số các số khác nhau mà ta đang xét là 105 số Theo nguyên tắc Điriclê ít nhất phải có hai lũy thừa nào đó có 5 chữ số tận dùng là như nhau

Giả sử A1 = 292k1

= M1 105 abcd1

A2 = 292k2

= M2 105 abcd1

Có thể giả sử k1 > k2 mà không làm mất tính chất tổng quát của bài toán Thế thì ta có:

A1 - A2 = 292k1

- 292k2

= (M1 - M2) 105

A1 - A2 = 292k1

- 292k2

= 292k2 (292(k1 -k2)

−1)

Vì 292k2

có tận cùng là 1 và A1 - A2 = (M1 - M2)105 có tận cùng không ít hơn 5 số 0 nên suy ra (292(k1 -k2)

−1) phải có tận cùng không

ít hơn 5 chữ số 0, từ đó suy ra 292( k1 -k2)

có tận cùng là 00001 (số các chữ số 0 ít nhất là 4)

Ta tìm được số k = 2(k1 - k) thỏa mãn đề bài (đpcm)

8 Chứng minh rằng trong hệ viết cơ số 10 có thể tìm được bội số của số

1995 mà trong đó các chữ số của nó chỉ là 0 và 1

Bài giải:

Để làm xuất hiện "số thỏ" và số "lồng" ta thành lập dãy số sau đây:

A1 = 1

A2 = 11

A3 = 111

A4 = 1111

A1995 = 11 11

Có 1995 chữ số 1 Đem chia các Ai (i = 1, 1995) cho số 1995 ta sẽ được các số dư có giá trị từ 0 đến 1994 (0 £ ri £ 1994)

Có hai khả năng xảy ra:

a Có một Ai nào đó chia hết cho 1995 (tức ri = 0) thì bài toán đã được chứng minh

b Không có Ai nào chia hết cho 1995 thì với 1995 số dư (số thỏ) với

1994 các giá trị khác nhau từ 1 đến 1994, theo nguyên tắc Điriclê ít nhất cũng phải có 2 số dư trong phép chia nào đó bằng nhau Giả sử

đó là phép chia Ak và Al cho 1995 có cùng số dư, thế thì hiệu Ak - Al

sẽ chia hết cho 1995 Hiệu Ak - Al chính là số thỏa mãn điều kiện bài toán chỉ gồm các chữ số 0 và 1

9 (Bài toán áp dụng 2 lần nguyên tắc Điriclê)

Có 17 nhà toán học viết thư cho nhau trao đổi về 3 vấn đề khoa học, mỗi người viết thư cho một người về một vấn đề Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3 nhà toán học trao đổi với nhau về cùng một vấn đề

Bài giải:

Gọi A là nhà toán học nào đó trong số 17 nhà toán học, thì nhà toán học

A phải trao đổi với 16 nhà toán học còn lại về 3 vấn đề Như vậy nhà toán học A phải trao đổi ít nhất với 6 nhà toán học về một vấn đề nào

đó Vì nếu chỉ trao đổi với số ít hơn 6 nhà toán học về một vấn đề thì số nhà toán học được trao đổi với A ít hơn 16 (Các bạn có thể diễn tả theo khái niệm "thỏ" và "lồng" để thấy ở đây đã áp dụng nguyên tắc Điriclê lần thứ nhất.)

- Gọi các nhà toán học trao đổi với nhà toán học A về một vấn đề nào

đó (giả sử vấn đề I) là A1, A2, A3, A4, A5, A6 Như vậy có 6 nhà toán học trao đổi với nhau về 3 vấn đề (không kể trao đổi với A) Như vậy

có 6 nhà toán học A1, A2, A3, A4, A5, A6 trao đổi với nhau về 3 vấn đề,

I, II, III

Có hai khả năng xảy ra:

a Nếu có 2 nhà toán học nào đó cùng trao đổi với nhau về vấn đề I thế thì có 3 nhà toán học (kể cả A) trao đổi với nhau về vấn đề I Bài toán được chứng minh

b Nếu không có nhà toán học nào trong 6 nhà toán học A1, A2 A6

trao đổi về vấn đề I thì ta có 6 nhà toán học chỉ trao đổi với nhau về 2 vấn đề II và III Theo nguyên tắc Điriclê có ít nhất 3 nhà toán học cùng trao đổi với nhau về một vấn đề II hoặc III Bài toán cũng được chứng minh

7 Người ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành dòng hàng ngang theo một thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi một trong các số đã cho với số thứ tự chỉ

vị trí mà nó đứng

Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của hai tổng đó là như nhau

7 Gọi 10 số tự nhiên đầu tiên là a1, a2, a3, a4, a10 Ta hãy thành lập một dãy

số mới sau đây theo đề bài cho trước:

A1 = a1 + 1 A6 = a6 + 6

A2 = a2 + 2 A7 = a7 + 7

A3 = a3 + 3 A8 = a8 + 8

A4 = a4 + 4 A9 = a9 + 9

A5 = a5 + 5 A10 = a10 + 10

Các Ai, chính là các tổng của số đã cho với số chỉ vị trí mà nó đứng Từ giả thiết dãy a1, a2 a10 chỉ là các số tự nhiên đầu tiên từ 1 đến 10 nên

ta có:

A1 + A2 + A3 + + A10 = 2 (1 + 2 + 3 + + 10) = 110

Vì 110 là một số chẵn nên không thể xảy ra trường hợp có 5 số A1 nào

đó lẻ và 5 số Aj nào đó chẵn Nói cách khác số Ai chẵn và số Aj lẻ phải khác nhau Từ đó suy ra

Số Ai lẻ > 5

Số Aj chẵn > 5 (*)

Từ 1 đến 10 chỉ có 5 vị trí lẻ và 5 vị trí chẵn

Từ (*) và áp dụng nguyên tắc Điriclê suy ra hoặc là có ít nhất hai số Ai

lẻ tận cùng như nhau hoặc ít nhất hai số Aj chẵn có chữ số tận cùng như nhau

Ghi chú: Tìm hiểu về Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [ləˈʒœn diʀiˈkle] ( 13 tháng 2 , 1805 – 5 tháng

5 1859 ) là một nhà toán học người Đ ức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm số

Gia đình ông xuất thân từ thị trấn Richelette ở Bỉ , do đó mà họ của ông là "Lejeune

Dirichlet" ("le jeune de Richelette", tiếng Pháp nghĩa là "chàng trai trẻ từ Richelette") được đặt theo, và đó là nơi ông nội ông sống.

Dirichlet được sinh ra ở Düren , nơi cha ông là một đứng đầu một trạm bưu điện Ông được giáo dục ở Đ ức , và sau đó là Pháp , nơi ông học hỏi từ hầu hết các nhà toán học nổi tiếng nhất thời đó Ông cũng học từ Georg Ohm Bài báo đầu tiên của ông là về đ ịnh lý Fermat bao gồm một phần của chứng minh cho trường hợp n = 5, được hoàn thiện bởi

Adrien-Marie Legendre , một trong những người referees Dirichlet cũng hoàn thiện chứng minh của ông trong cùng một thời gian; sau đó ông đã đưa ra toàn bộ lời giải cho

trường hợp n = 14.

Vào năm 1831, ông thành hôn với Rebecca Henriette Mendelssohn Bartholdy , một cô gái thuộc gia đình danh giá đã chuyển đổi từ đạo Do Thái sang Thiên chúa giáo ; cô là cháu gái của triết gia Moses Mendelssohn , con gái của Abraham Mendelssohn Bartholdy và là

em của nhà soạn nhạc Felix Mendelssohn Bartholdy và Fanny Mendelssohn

Ferdinand Eisenstein , Leopold Kronecker , và Rudolf Lipschitz là học trò của ông Sau khi ông qua đời, các bài giảng của Dirichlet và các kết quả khác trong ngành số học được sưu tập, biên khảo và xuất bản bởi đồng nghiệp và cũng là bạn ông là nhà toán học

Richard Dedekind dưới tựa đề Vorlesungen über Zahlentheorie (Các bài giảng về số

học).

 Các định lý mang tên Định lý Dirichlet:

o Đ ịnh lý Dirichlet về cấp số cộng ( số học , đặc biệt là số nguyên tố)

o Đ ịnh lý Dirichlet về xấp xỉ diophantine (số học và xấp xỉ)

o Đ ịnh lý Dirichlet về phần tử đơn v ị ( số họ c đ ại số and vành )

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet