Lý thuyết bài tập cơ lượng tử 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 21, Lý thuyết C1: Thiết lập phương trình Klein-Gordon đối với hạt không có spin chuyển động tự do tương đối tính ⇒ pt liên tục: Thiết lập phương trì

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 2

1, Lý thuyết

C1: Thiết lập phương trình Klein-Gordon đối với hạt không có spin chuyển động tự

do tương đối tính ⇒

pt liên tục:

Thiết lập phương trình Klein-Gordon đối với hạt không có spin chuyển động

tự do tương đối tính

Đối với hạt tự do chuyển động với vận tốc v c≈

, ta có biểu thức năng lượng tương đối tính của hạt

2 2 2 2 4

E = p c +m c

Chuyển từ cơ học tương đối tính cổ điển sang cơ học lượng tử tương đối tính ta được:

µ 2 µ 2 2 2 4

H = p c +m c

(1)

Trong đó:

µ µ

H i

t

p i

∂

=

∂

= − ∇

h h

Ta có:

(1) i c m c i

t

∂

2

2

t

∂

∂

2

1

m c

c t

∂

∂

h

2

1

∂

(2)

Tác dụng (2) lên vectơ trạng thái

( )t

ψ biểu diễn trạng thái của hạt tự do không có spin

ta thu được phương trình Klein-Gordon:

2

1 m c ( )t 0

Phương trình Klein-Gordon có thể viết lại dưới dạng:

2

0

2 2

1 ( )t 0

Trong đó:

0

mc

h

Trong biểu diễn tọa độ, pt có dạng

2

0

2 2

1 ( , ) 0r t

r

(3) Trong đó;

( , ) (r t r ( )t

Phương trình liện tục:

Nhân hai vế của (3) với

*( , )r t

ta được:

2

0

2 2

1 ( , ).r t ( , ) 0r t

ψ ∇ − ∂ −µ ψ÷ =

∂

(4) Lấy liện hợp phức của (4) ta được:

2

0

2 2

1 ( , ).r t ( , ) 0r t

ψ ∇ − ∂ −µ ψ÷ =

∂

(5) Trừ pt (4) cho pt (5) ta được:

( , ).r t ( , )r t ( , ).r t ( , ) 0r t

ψ ∇ − ∂ −µ ψ÷ −ψ ∇ − ∂ −µ ψ÷ =

1

2

1

(6)

Nhân hai vế của (6) với 2

e mi

h

ta được

2

h

(7)

Đặt

*

* 2

2

2

e

e

e J

mi he

ψ ψ ψ ψ





uur h

e

divJ

t

ρ

∂

∂

uur

PT liên tục C2: Thiết lập pt Klein-Gordon của hạt không có spin chuyển động trong trường điện từ ⇒

pt Schrodinger:

Phương trình Klein-Gordon của hạt không có spin chuyển động trong trường điện từ:

Xét hạt có điện tích e chuyển động trong điện từ trường ngoài đặc trưng bởi thế ϕ

và

)

A

Biểu thức tương đối tính đối với năng lượng

2 2 2 2 4

E =c p +m c

áp dụng cho hạt chuyển động tương đối tính trong trường điện từ có dạng:

2

c

ur

Chuyển từ cơ học tương đối tính ang cơ học lượng tử tương đối tính ta được:

) 2 2

∂

(1) Tác dụng (1) lên vectơ trạng thái

( )t

ψ biểu diễn trạng thái của hạt trong trường điện từ :

) 2 2

∂

: PT Klein-Gordon

Phương trình Schrodinger:

Đối với hạt chuyển động trong trường điện từ, khi

1

v

c <<

, năng lượng của hạt 2

E E= +mc

với 0

E

là năng lượng của hạt trong gần đúng phi tương đối tính

Áp dụng biến đổi unita ta có

2

0 ( , ) ( , )e

i

mc t

(2) Thay (2) vào pt Klein-Gordon ta được

)

2

∂

Thực hiện các biến đổi toán học và bỏ qua các số hạng bé so với số hạng chứa

2

c

ta được:

µ )

0

0 2

p eA

ur h

µ

0( ) 0( )

d

: PT Schrodinger

C4: Ma trận Pauli

Định nghĩa:

Ta có các hệ thức

:

S = hσ S = hσ S = hσ

Với

, ,

x y z

σ σ σ

gọi là các ma trận Pauli

Ta có

1

0

1 2

0

2

h h

h

⇒

Ma trận Pauli là các ma trận vuông cấp 2 và :

i i

σ = ÷σ = ÷σ = ÷

Các tính chất của ma trận Pauli

1) Tính giao hoán [ ]

x y z

y z x

z x y

i i i

=

CM: Ta có

x y z

1

i

S S S S i S σ σ σ σ σ

(σ σ σ σx y y x) 2iσz σ σx, y 2iσz

2) Tính chất phản giao hoán

x y y z z x

CM:

x y x y y x

σ σ + σ σ σ σ

1 2 1 2 0

y z z y y y y z z y

y z z y y z z y

i i

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ

=

3)

0 1

x x x I

Tính chất được thừa nhận 4), Tính Esmit:

S+ = ⇒S σ+ =σ

II BÀI TẬP:

C1: Hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn có bề rộng a Tìm bổ chính bậc 1 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn?

Tìm năng lượng

(0)

n

E

khi không có nhiễu loạn

Hạt chuyển động trong hố thế khi không có nhiễu loạn:

0

0

( ) 0,0 x a

0 ( ) ,

V x

x

V x

x a





= ∞ 



Ta có

2

d

m dx

Xét trong miền

0 ,

x

x a

<



 >

hạt không chuyển động

Trong miền 0≤ ≤x a, ¶

0( ) 0 0 2

2

d

m dx

Ta có pt trị riêng:

(0) 2

2

d

E

2

(0)

2

E

h

Đặt

2

2

m

k = E

h

2

2

d

k

Nghiệm tổng quát ψ( )x = A,sin( )kx +B.c os(kx)

Từ điều kiện biên có :

.sin( 0) c os(k.0)=0 sin( ) c os(ka)=0

+





Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì:

sin(k.0) c os(k.0)

0 sin(ka) cos(ka) =



sinka 0 k n ,n 1,2,3

a

π

Với các giá trị n = 1,2,3… sin( ) 0ka = ⇔ =B 0

.sin

n n

n

a

π

Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

* 1

n n n n dx

2

0

2

2

a

m

A n

π

∫

Vậy:

2 sin

n

n x

π

,

2 2 2 2 2 (0)

2

E

π

, n = 1,2,3…

Tìm bổ chính bậc 1 của năng lượng khi có nhiễu loạn

a), ta có:

1 0

0 ( ) 0

( ) ( )



¶

1

E ψ H ψ ψ x ψ dx

2

=

1

1 2

0

2

a

V

x dx V

b), Ta có:

1

1

2

2 2

2

a

a







¶

1

E ψ H ψ ψ x ψ dx

0

2

a

a

a

2

1 2 0

2

4

a

a

a

x dx x a x dx

Giải tích phân 1:

2

2

x dx xdx x x dx

Tính

2 2

2 2

1

a

a

a

∫

Tính

2

0

2 c os( )

a

n

x x dx

a

π

∫

: Đặt

2

π

2

2 2

2 2

2 2 0

2

4

a

n

x x dx

π

Vậy:

2

2

0

1

a

x dx

π

∫

(*)

Giải tích phân

Tính

2

2

x dx xdx x x dx

Tính

2 2

2 2

a a

a a

a xdx = x =

∫

Tính

2 2

a a

n a

a

∫

2

2

a

a

x dx

π

∫

Tính

2

2

2

2 2

a a

a a

dx= x =

∫

2

2

2

a

a

x dx a

π

∫

2 2

2

a sin

4

a

a

n

x dx a

∫

Vậy:

2

2 2

2

3

a

n a

x a x dx

π

π

∫

2 2 1 ( 1)

16 8

n

n π

(**)

Vậy:

(1) 1

4

E

1

4

8 4

n

2

n

V

n π

c)

1

1

( ) (2 ),0

2 ( ) (2 ),

2

a

a







¶

1

E ψ H ψ ψ x ψ dx

0

2

2

1

2

0 2

2

2

a

a

a

a a

a

Tính

2

2

x dx xdx x x dx

2

2

3 8

a

a

a xdx =

∫

2

π

2

2

a

n a

x

π

2

2 2

2

3

a

n a

x dx

π

π

∫

2 2

2

a.sin

4

a

a

x dx a

π

∫

( ) ( )

2

2

3

a

a

x a x dx

π

∫

Tính

2

2

x dx xdx x x dx

2 2

a

a xdx =

∫

2

π

2

0

2

a

n

x

π

2

2

2 2 0

8 4

a

n

x dx

π

π

∫

2 2

2

0

a.sin

4

a

x dx a

π

∫

2

2

0

a

x a x dx

π

∫

Vậy:

(1) 1

2

E

1

2

1 ( 1)

4 2

1 ( 1) 1

2

n

n

V a a

V

n

π π

C2: Hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn có bề rộng n Tìm bổ chính bậc 1 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu

loạn?

Tìm năng lượng

(0)

n

E

khi không có nhiễu loạn Hạt chuyển động trong hố thế khi không có nhiễu loạn:

0

0

( ) 0,0 x 3

0 ( ) ,

x

V x

x a







= ∞ 



Ta có

2

d

m dx

Xét trong miền

0 3

x

<



 >

hạt không chuyển động

Trong miền 0≤ ≤x 3a ¶

0( ) 0 0 2

2

d

m dx

Ta có pt trị riêng:

(0) 2

2

d

E

(0)

2

E

h

Đặt

2

2

m

k = E

h

2

2

d

k

Nghiệm tổng quát ψ( )x = A,sin( )kx +B.c os(kx)

Từ điều kiện biên có :

.sin( 0) c os(k.0)=0 sin(3 ) c os(3ka)=0

+





Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì:

sin(k.0) c os(k.0)

0 sin(3ka) cos(3ka) =



sin 3 0 , 1,2,3

3

n

a

π

Với các giá trị n = 1,2,3… sin(3 ) 0ka = ⇔ =B 0

.sin 3

n n

n

a

π

Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

* 1

n n n n dx

2

0

a

m

A n

π

∫

Vậy:

2 sin

n

n x

π

,

2 2 2 2 2 (0)

2

E

π

, n = 1,2,3…

Tìm bổ chính bậc 1 của năng lượng khi có nhiễu loạn

Ta có: 1

0 ( ) 0,

x a

V x

a x a

V x V a x a

< <

  < <





¶

1

E ψ H ψ ψ x ψ dx

2

( )

1 1

1 sin

1 sin

n

n

V a

a n

π π

π π

C4: PT trị riêng của

µ

y

S

trong

µ

y

S

biểu diễn:

PT trị riêng của

µ

y

S

có dạng

µ

y

S X =λ X

Trong đó:

X =a S = + +b S = −

Dạng ma trận của PT trị riêng:

0

0 2

h

(1)

0

2

0 2

i a

λ λ

−

h h

Để (1) có nghiệm khác 0 thì

2

2

4

i i

λ





h

Với

1

2

thay vào (1) ta được:

0

0

⇔ 



I

ib X

ia

−

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa:

2

1

2

I

i

i

CMTT với

2

2

ta được

1 2 2

I

X

i

=

C5: PT trị riêng của

µ

x

S

trong

µ

x

S

biểu diễn:

PT trị riêng của

µ

x

S

có dạng

µ

x

S X =λ X

Trong đó:

X =a S = + +b S = −

Dạng ma trận của PT trị riêng:

0 1

1 0 2

h

(1)

0

2

0 2

a b

λ λ

h h

Để (1) có nghiệm khác 0 thì

2

2

4

λ







h

Với

1

2

thay vào (1) ta được:

0 1

1 0

a b

I

b X

a

 

 

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa:

2

1

2

I

i

i

CMTT với

2

2

ta được

1 2 1 2

I

X

=

C6: PT trị riêng của

µ

z

S

trong

µ

z

S

biểu diễn:

PT trị riêng của

µ

z

S

có dạng

µ

z

S X =λ X

Trong đó:

X =a S = + +b S = −

Dạng ma trận của PT trị riêng:

1 0

0 1 2

h

(1)

0 0

2

a b

λ

λ

h

h

Để (1) có nghiệm khác 0 thì

2

2

0

4 0

λ







h

Với

1

2

thay vào (1) ta được:

1 0

0 1

0

I

a

 

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa:

0

i

b

α

−

Chọn α =1

ta được

1 0

I

 

Với

1

2

CMTT ta được

0 1

I

=  ÷

 