Lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao Toán 10 Biên soạn bám sát SGK Toán 10 của BGD Hệ thống kiến thức đầy đủ nhất Phân loại bài tập từ cơ bản đến nâng cao Rèn luyện kỹ năng làm toán Luyện thi TN – CĐ – ĐH theo kỳ thi hợp nhất 2015
Trang 1§1 MỆNH ĐỀ
1 Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định Đ hoặc S Một mệnh đề không thể vừa
đúng hoặc vừa sai
2 Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định
của P Ký hiệu là P Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
3 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “nếu P thì Q”
gọi là mệnh đề kéo theo Ký hiệu là P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P ⇒ Q Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q
4 Mệnh đề tương đương: Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là
mệnh đề tương đương, ký hiệu P ⇔ Q Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5 Phép hội: Hội của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A và B, kí hiệu A ∧ B (hoặc
A.B), đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại
6 Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề đọc là A hoặc B, kí hiệu là
A ∨ B (hoặc A + B), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại
7 Ký hiệu ∀ , ∃ :
Phủ định của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∃x∈X, P(x)”
Phủ định của mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∀x∈X, P(x)”
8 Phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử ta cần chứng minh định lý A ⇒ B Ta giả sử B sai và đi chứng minh A sai Như vậy theo định nghĩa mệnh đề kéo theo: A đúng suy ra B đúng
Bài 1 Câu nào trong các câu sau là một mệnh đề? là một mệnh đề chứa biến?
a 2 + 2 = 5 ; b 4 – 3x = 5 ; c 2 là một số hữu tỉ ; d π có phải là số vô tỉ không?
Bài 2 Với mỗi mđề chứa biến sau, tìm hai giá trị thực của x để được một mđề đúng và một mđề sai:
a x < x2 ; b x = 2x ; c x 1
x
Bài 3 Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.
a 1977 là một số nguyên tố ; b ( )2
5+ 20 là một số hữu tỉ ; c ( )2
3+ 2 <10
Bài 4 Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, sau đó phát biểu bằng “điều kiện cần”,
“điều kiện đủ”:
a P: “–3 < 2”; Q: “9 < 4” b P: “π < 4”; Q:” π2 < 16”
Bài 5 Cho n là một số tự nhiên Xét các mệnh đề P = “Chữ số tận cùng của n bằng 5” và Q = “n
chia hết cho 5”
a Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó
b Lập mệnh đề đảo của mệnh đề P⇒Q Chỉ ra một trường hợp của n mà mệnh đề đảo sai.
Bài 6 Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) Xét các mệnh đề sau:
a Nếu biệt thức của phương trình (1) dương thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
Trang 2b Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng – 1.
c Nếu phương trình (1) có một nghiệm bằng 1 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng c
a.Lập mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên, xét tính đúng sai của chúng Viết mệnh đề đã cho và mệnh đề đảo của nó dưới dạng cần và đủ
Bài 7 Xét các mệnh đề:
A = “∀ ∈x ¡ :x2+ >1 0”; B = “∀ ∈x ¡ :2x x> ”; C = “∃ ∈x ¢ :n= −n”; D = “∃ ∈x ¤ :2x∈¥ ”
a Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? b Phát biểu các mệnh đề đã cho bằng lời
c Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho
Bài 8 Xét hai mệnh đề sau: A: “Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó”, B: “Có một số thực bằng
nghịch đảo của nó”
a Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? b Phát biểu các mđ đã cho bằng ký hiệu
c Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho
Bài 9 Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
a Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật
b Có một tam giác cân không phải là tam giác đều
Bài 10 Giả sử ABC là một tam giác đã cho Phát biểu một điều kiện cần và đủ để
a ABC là một tam giác vuông;
b ABC là một tam giác đều;
c ABC là một ∆ cân
Bài 11 Phát biểu các mệnh đề sau, sử dụng “ĐK cần”, “ĐK đủ”
a Nếu ABC là một ∆ cân thì nĩ cĩ hai cạnh bên bằng nhau
b Hình thoi cĩ hai đường chéo vuơng gĩc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
c Nếu a < b thì a + c < b + c
d Mọi số tự nhiên chẵn đều chia hết cho 2
Bài 12 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không là mệnh đề đúng
a Với ∀x ∈ R, nếu x > – 2 thì x2 > 4 b 36 M 12 ⇔ 36 M 3 và M 4
c Tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 = n d Vì 2007 là số lẻ nên 2007 M 3
Bài 13 Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c) Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau
Bài 14 Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c) Số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d) Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau
Bài 15 Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu a ≠ b ≠ c thì a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca b) Nếu a.b M 7 thì a hoặc b M 7
c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0 d) Nếu a + b < 4 thì a hoặc b nhỏ hơn 2e) Nếu 1
1
a b
Trang 3a2 + b2 ≥ 2bc; b2 + c2 ≥ 2ca; a2 + c2 ≥ 2ab
g) Trên đường tròn có bán kính R = 100m lấy 630 điểm tùy ý Chứng minh có ít nhất 2 điểm cách nhau không đến 1m
Bài 16 Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, hãy phát biểu:
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”
Bài 17 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành
∀ ∈¥ n3+11n chia hết cho 6
Bài 18 Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng?
c/ ab≠0khi a≠0 b≠0. d/ ab>0khi a>0 b>0 a<0 b<0.
e/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 … cho 3
f/ Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 ……… bằng 5
Bài 19 Cho mệnh đề chứa biến P x , với x ( ) ∈ ¡ Tìm x để P x là mệnh đề đúng?( )
Bài 20 Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a/ Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3
b/ Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5
c/ Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau
d/ Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n
Bài 21 Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
∀ ∈¥ − là số lẻ
Bài 22 Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
a/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5
b/ Nếu a b+ >0thì một trong hai số a và b phải dương
c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3
d/ Nếu a b= thì a2 =b2
e/ Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a b+ chia hết cho c
Bài 23 Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
a/ Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ
ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau
b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c/ Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau
d/ Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông
Trang 4e/ Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau
Bài 24 Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":
a/ Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại
b/ Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông
c/ Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau
d/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3
e/ Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ
Bài 25 Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:
a/ Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
c/ ABCD là hình vuông ⇒ ABCD là hình bình hành
d/ ABCD là hình thoi ⇒ ABCD là hình chữ nhật
e/ Tứ giác MNPQ là hình vuông ⇔ Hai đường chéo MP và NQ bằng nhau
f/ Hai tam giác bằng nhau ⇔ Chúng có diện tích bằng nhau
Bài 30 Dùng bảng chân trị hãy chứng minh:
Bài 31 Với n là số tự nhiên lẻ, xét định lí: " Nếu n là số tự nhiên lẻ thì n2 - 1 chia hết cho 8" Định
lí trên được viết dưới dạng P n( ) ⇒Q n( ).
a/ Hãy xác định mệnh đề P n và ( ) Q n ( )
b/ Phát biểu định lí trên bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" và " điều kiện cần"
Bài 32 Cho định lí: " Nếu n là số tự nhiên thì n3 - n chia hết cho 3" Định lí trên được viết dưới dạng P n( ) ⇒Q n( ).
a/ Hãy xác định mệnh đề P n và ( ) Q n ( )
b/ Phát biểu định lí trên bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" và " điều kiện cần"
c/ Chứng minh định lí trên
Bài 33 Sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" để phát biểu các định lí sau:
a/ Nếu một tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
Trang 5b/ Nếu một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông
c/ Nếu ax2+ + =bx c 0(a≠0) có b2−4ac>0 thì phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt
d/ Nếu x > 2 thì x 2 > 4.
Bài 34 Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" để phát biểu các định lí sau:
a/ Nếu x > 5 thì x 2 > 25.
b/ Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau
c/ Nếu a là số tự nhiên và a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3
Bài 35 Cho hai mệnh đề A: "a và b là hai số tự nhiên lẻ" và B: " a + b là số chẵn".
a/ Phát biểu mệnh đề A⇒B Mệnh đề này đúng hay sai?
b/ Phát biểu mệnh đề B⇒ A Mệnh đề này đúng hay sai?
Bài 36 Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng.
a/ Nếu tổng của 99 số bằng 100 thì có ít nhất một số lớn hơn 1
b/ Nếu a và b là các số tự nhiên với tích a.b lẻ thì a và b là các số tự nhiên lẻ
c/ Với các số tự nhiên a và b, nếu a2 + b2 chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là số lẻ.d/ Nếu nhốt 25 con thỏ vào trong 6 cái chuồng thì có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ
Bài 37 Cho định lí: " Nếu a và b là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho 3 thì a2 + b2cũng chia hết cho 3" Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên (nếu có), rồi dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" để gộp cả hai định lí thuận và đảo
§2 TẬP HỢP Tập hợp: Là khái niệm của toán học Có 2 cách trình bày tập hợp: Liệt kê các phần tử và chỉ
rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp
* Tập con: A⊂ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Bài 1 Kí hiệu L là tập hợp các học sinh của lớp 10a, T1 là tập hợp các học sinh thuộc tổ 1 lớp 10A
Minh là một học sinh thuộc tổ 1 Xét tính đúng sai của các câu sau:
a T1 ∈ L ; b T1 ⊂ L ; c Minh ∈ L ; d Minh ⊂ L ; e Minh ∈ T1
Bài 2 Liệt kê các phần tử của tập hợp sau:
c C = { x N x∈ M 3 và 3 < x≤ 21}; d D = Tập các ước chung của 20 và 45 ;
Bài 3 Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại?
a/ A là tập hợp các hình bình hành B là tập hợp các hình chữ nhật
b/ A là tập hợp các hình tam giác B là tập hợp các hình tứ giác
c/ A là tập hợp các tam giác cân B là tập hợp các tam giác đều
Bài 4 Cho hai tập hợp A = {2n+1 /n N∈ } và B = {6n+5n N∈ } Chứng tỏ rằng B ⊂ A.
Bài 5 Cho hai tập hợp A = {x R x∈ / 2−5x+ =6 0} và B = {x N x∈ / là ước của 6} Cmr A ⊂ B
Bài 6 Cho hai tập hợp A = { n N∈ | n chia hết cho 4 và 6} và B = {n N∈ | n chia hết cho 12} Chứng tỏ A = B
Bài 7 Xác định tập hợp sau bằng cách ghi rõ tính chất đặc trưng:
c C = {– 5; 0; 5; 10; 15} d D = {1; 4; 7; 10; 13}
e E = {1; 2; 3; 4; 6; 12} f F = {0; 2; 5}
Trang 6Bài 8 Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} B = {x ∈ N / x < 5}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ con b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B
§3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp
A∩B = {x / x∈A và x∈B} A∪B = {x / x∈A hoặc x∈B} A\ B = {x / x∈A và x∉B}
Bài 1 Kí hiệu là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 50 và là bội của 4, B là tập hợp các số tự
nhiên không vượt quá 50 và là bội của 6
a Hãy liệt kê các ptử của A và B b Xác định các tập hợp A B A B A B B A∩ , ∪ , \ , \ .
Bài 2 Cho A là một tập con của tập B Hãy xác định các tập hợp sau:
CÁC TẬP HỢP SỐ
1 Các tập hợp số thường gặp:
(a; b) = {x ∈ R / a < x < b}: Khoảng a; b
[a; b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}: Đoạn a; b
[a; b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}: Nửa khoảng
(a; b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}: Nửa khoảng(a; + ∞) = {x ∈ R / x > a}
(– ∞; b) = {x ∈ R / x < b}
(– ∞; + ∞) = R
2 Phép lấy giao của hai tập hợp:
B1 Vẽ trục số, trên đó thể hiện các số là các đầu mút của các tập đã cho.
B2 Gạch bỏ phần bỏ, lấy phần không bị gạch.
3 Phép lấy hợp của hai tập hợp:
B1 Vẽ trục số, trên đó thể hiện các số là các đầu mút của các tập đã cho.
B2 Gạch bỏ phần lấy, lấy phần bị gạch.
4 Phép lấy hiệu của hai tập hợp A\B:
B1 Vẽ trục số, trên đó thể hiện các số là các đầu mút của các tập đã cho.
B2 Tô đậm tập A, gạch bỏ tập B, lấy phần tô đậm không bị gạch.
Trang 7Bài 1 Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng, để viết lại các tập hợp đó
b Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số
c Xác định A ∩ B, A ∪ B, A ∪ C, A \ B, B \ C, A ∩ D
Bài 9 Cho các tập hợp: A = [ – 3; 1]; B = [ – 2; 2] và C = [ – 2; +∞).
a) Cho biết tập hợp nào là con của tập hợp khác? Tìm phần bù của chúng
b) Tìm A ∩ B, A ∪ B, A ∪ C, A \ B,B \ C
Bài 10 Dùng trục số xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A biết:
a) A = [ – 3; 1), B = (0; 4]; b) A = (0; 2], B = [ – 1; 1); c) ( – 2; 15), B = (3; +∞); d) ( – 1;
3
4), B = [ – 1; 2); e) A = ( – ∞; 1), B = ( – 2; +∞); f) A = ( – 2; 3], B = [ 1; 4]
Bài 11 Xác định các tập hợp sau đây:
c) ( – ∞; 2] ∩ [ – 2; +∞); d) ( – ∞; 2]∪[ – 2; +∞)
Bài 12 Xác định các tập hợp sau và sau đó biểu diễn chúng trên trục số:
a) ( – 2; 3) \ (1; 5); b) ( – 2; 3) ∩ [1; 5); c) R \ (2; +∞); d) R \ ( – ∞; 3]
§4 SỐ GẦN ĐÚNG, SAI SỐ
Số gần đúng
Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng
Sai số tuyệt đối
Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì Da = a - a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a
Độ chính xác của một số gần đúng
Nếu D = a - a £ thì a dd - ££a a + d Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác
Trang 8d, và qui ước viết gọn là a = ±a d.
Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a
D
=
d càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.a
Ta thường viết d dưới dạng phần trăm.a
Qui tròn số gần đúng
Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0
Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn
Nhận xét : Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn
Chữ số chắc
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc
Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc
Bài 1 Ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với mỗi câu sau đây
Bài 3 Làm tròn các số sau theo yêu cầu bài toán:
a/ 1,2837438 tới hàng phần trăm b/ 9,3923298 tới hàng phần ngàn
c/ 12424,167 tới hàng chục d/ 22832,2338 tới hàng đơn vị
e/ 87,8943323 tới hàng phần trăm f/ 2343,3827443 tới hàng phần chục ngàn
Bài 4 Các số sau đây đều được làm tròn Hãy tìm độ chính xác và viết dưới dạng: a d a a d− ≤ ≤ +
Trang 9Bài 6 Một chi tiết máy có đường kính đo được là d =12,34 0,02 ± ( )cm Hãy ước lượng sai số tuyệt
đối và sai số tương đối trong phép đo trên
Bài 7 Một người đo chiều dài của cái bàn là l 120, 4 0,03 cm= ± ( ) Người khác đo lại được chiều
dài mới là l 119,85 0,02 cm= ± ( ) Tính ước lượng sai số tương đối và so sánh xem phép đo của ai
chính xác hơn
Bài 8 Một người thợ cần biết chiều cao của một ngôi nhà Anh ta làm các phép đo trong ba lần và
được kết quả như sau: lần một h1=10, 23 0, 43 ± ( )m , lần hai h2 =10,58 0, 2 ± ( )m và lần ba
( )
3 9,92 0,63
h = ± m Hỏi trong ba số liệu đó, số nào người thợ nên chọn làm chiều cao của ngôi
nhà?
Bài 9 Trước khi gia công một ống đồng, người ta tính toán đường kính là 2cm và chiều cao sẽ là
100cm Nhưng khi thành sản phẩm, người ta làm phép đo lại thì thấy đường kính chỉ còn 1,8cm và chiều dài thêm 2cm Hỏi sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo đường kính và phép đo chiều dài là bao nhiêu?
Bài 10 Kích thước của tờ giấy A4 là 210 x 270 mm Một người đo một tờ giấy A4 và được số đo
tương ứng là 209,34 x 270,6 mm Hỏi sai số tuyệt đối ứng với chiều dài và chiều rộng của tờ giấy là bao nhiêu?
Bài 11 Trên bản vẽ, một mãnh vườn có kích thước là 20 x 35 m Nhưng khi đo đạc, người ta thấy
rằng kích thước của mảnh vườn là 19,4 x 35,7 m
a/ Hỏi sai số tuyệt đối về diện tích là bao nhiêu?
b/ Một người khác đo lại và được kích thước là 20,2 x 35,8 m Hỏi người này đo có chính xác hơn người kia hay không? Diện tích hao hụt là bao nhiêu?
Bài 12 Biết chiều dài của một bức tranh là a=0,5 0,1 ± ( )m và chiều rộng của bức tranh là
( )
0, 2 0,03
a/ Chu vi của bức tranh là bao nhiêu? b/ Diện tích của bức tranh là bao nhiêu?
Bài 13 Một trái banh có đường kính đo được là d =32,5 0,05± ( )cm Tính thể tích của trái banh đó,
Bài 17 Dùng phân số 22
7 làm số gần đúng của số π Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của số gần đúng ấy? Biết rằng 3,1415≤ ≤π 3,1416.
Bài 18 Trong các số 17 99,
12 70 dùng để xấp xỉ 2 Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của số này và chọn
Trang 10số gần đúng nhất.
Bài 19 Số nào trong các số sau đây xấy xỉ tốt nhất của 17 11 59 13
− với 0< <x 1 và a= +1 x Hãy đánh giá sai số tương đối của a so với a theo x.
BÀI TẬP ÔN TẬP
Bài 1 Ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với mỗi câu sau đây
Bài 3 Làm tròn các số sau theo yêu cầu bài toán
a/ 59378,5478 tới hàng phần nghìn b/ 0,0438 tới hàng phần trăm
c/ 0,00010375 tới hàng phần trăm nghìn d/ 0,000323857 tới hàng phần triệu
Bài 4 Các số sau đây đều được làm tròn Hãy tìm độ chính xác và viết dưới dạng a d a a d− ≤ ≤ +
123
Bài 6 Một người đo góc nghiêng của tháp Pisa là α =87,54 0, 25± độ Người khác đo được là 87,12 0,15
α = ± Hỏi trong hai người, người nào đo có sai số nhiều hơn?
Bài 7 Hai học sinh cùng đo chiều dài của một cây bút chì thì được kết quả như sau: học sinh thứ
nhấtl1=12,5 0,3 cm± ( ) và học sinh thứ hai l2 =11,7 0,5 cm± ( ) Hỏi học sinh nào đo gần đúng hơn.
Bài 8 Một mặt phẳng nghiêng được thiết kế góc nghiêng là 0
30
α = Trên thực tế, góc nghiêng này luôn là 0
30,5
α = Hỏi sai số tuyệt đối và sai số tương đối là bao nhiêu?
Bài 9 Cho đường kính của đường tròn là 10 0,01 cm± ( ) Hãy tính chu vi, diện tích của hình tròn và
ước lượng sai số tuyệt đối của kết quả
Bài 10 Hai kỹ thuật viên trắc địa tham gia đo diện tích của một thửa đất hình tam giác Người thứ
nhất đo đáy tam giác với kết quả 65,58 m với sai số tương đối 1( ) o/oo Người thứ hai đo đường cao
Trang 11tương ứng của tam giác với kết quả 47,39 m với sai số tương đối 3( ) o/oo Hãy tính diện tích của tam giác và viết kết quả dưới dạng chuẩn.
Bài 11 Ứng với mỗi câu sau đây, hãy tính giá trị của (a b+ ) (, a b− ) ( ) (, , a b a b: ).
a/ a=46,321 0,053± và b=2,012 0,019± . b/ a=18,005 0,001± và b=9,1 0,08± .c/ a=0,5 0,02± và b=0, 005 0,001± . d/ a=0,015 0, 005± và b=0, 025 0,003± .
Bài 12 Tìm chữ số chắc và viết dưới dạng chuẩn ứng với các số gần đúng sau
Bài 18 Hãy viết số gần đúng của số π với
a/ 3 chữ số chắc (đáng tin) b/ 5 chữ số chắc (đáng tin)
Bài 19 Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người Giả sử sai số tuyệt đối của
số liệu thống kê này nhỏ hơn 10000 người Hãy viết số quy tròn của số trên
Độ cao của một ngọn núi là h=1372,5 0,1± ( )m Hãy viết số qui tròn của số 1372,5
Bài 20 Biết số gần đúng a=173, 4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 Hay viết số quy tròn của số a
§1 HÀM SỐ Vấn đề 1 Tập xác định của hàm số:
1 Nếu hàm số chứa mẫu ( )f x A
B
= ⇒ ĐK: B ≠ 0 (Mẫu khác 0)
2 Nếu hàm số chứa căn ( )f x = A ⇒ ĐK: A ≥ 0 (Trong căn lớn hơn hoặc bằng 0)
3 Nếu hàm số chứa căn dưới mẫu ( )f x A
B
= ⇒ ĐK: B > 0 (Trong căn lớn hơn 0)
Vấn đề 2 Sự biến thiên của hàm số:
Giả sử cần xét sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên (a; b)
CHƯƠNG II HÀM SỐ
CHƯƠNG II HÀM SỐ
Trang 12o Nếu k > 0: Hàm số tăng (đồng biến) trên (a; b).
o Nếu k < 0: Hàm số giảm (nghịch biến) trên (a; b)
Vấn đề 3 Tính chẵn lẻ của hàm số: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
Xét xem tập D có phải là tập đối xứng không, nếu không thì kết luận hàm số không chẵn, không lẻ
Chú ý: Tập D đối xứng khi ∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D
Nếu f(– x) = f(x): Hàm số chẵn
Nếu f(– x) = – f(x): Hàm số lẻ
Như vậy ta luôn phải tính f(– x) rồi đi so sánh với f(x) hoặc – f(x)
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:
y= x − m+ x+ − có tập xác định là R
Bài 5 Khảo sát tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
1/ y = x6 – 4x2 + 5 2/ y = |1 – 3x| + |3x + 1| 3/ y = 2|x| + x2 4/ y = |x + 3| + 2x25/ y = x− +4 x+4 6/ y = |x + 1| – |x – 1| 7/ y = 2
1
x + 8/ y = 6x3 – x + 49/ y = 1 4− x+ 4x+1 10/ y = – 3x5 +2x – 1 11/y = – 2x8 – 4x4 12/ y = 2x4 – 3x + 1
Trang 13− trên
1
;2
x y x
−
=+ trên (− +∞2; )
+
=
−13/y= −7 5x+3x2−x3 14/y=2x+ x
Bài 7 Tìm m để tập xác định hàm số sau là (0, + ∞)
+
=
31
x y x
+
=+ .
x y
=+ .
x
=
− .
Trang 14s/ 1 2
x y
y
=+ + .
Bài 12 Xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên từng khoảng tương ứng:
Bài 13 Cho hàm số y= f x( ) = 2− +x 2 1−x
a/ Tìm tập xác định của hàm số
b/ Xét tính đơn điệu của hàm số
c/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 1;
4 2
.
Bài 14 Cho hàm số y= f x( ) = 5+ +x 2 x+4
a/ Tìm tập xác định của hàm số b/ Xét tính đơn điệu của hàm số
c/ Lập bảng biến thiên của hàm số d/ Vẽ đồ thị hàm số
Bài 15 Cho hàm số ( ) 1
b/ Chứng minh hàm số giảm trên từng khoảng xác định của nó
c/ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Bài 16 Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
1/ y=7x2−1 2/ y=4x x− 3 3/ y= − +x4 3x−2
Trang 15=7/ 25
1
x y
x
=
2 33
x y
=
3 32
x y
x y
Khi a > 0: hàm số đồng biến trên R
Khi a < 0: hàm số nghịch biến trên R
Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng có
hệ số góc bằng a
Cho hai đt d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’
y=
Bài 4 Xác định tham số a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b:
a/ Đi qua hai điểm A(– 1; – 2), B(99; – 2) b/ Đi qua hai điểm A(1; 3), B(2; 4).
Trang 16c/ Đi qua hai điểm A(– 3; 2), B(5; 2) d/ Đi qua hai điểm A(– 100; 1), B(50; 1) e/ Đi qua hai điểm A(1; – 3), B(1; 4) f/ Đi qua A(– 3; 4) và có hệ số góc là 2 g/ Song song với đường thẳng d: y = 3x – 2 và đi qua điểm M(2; 3).
h/ Song song với đường thẳng d: y = – 7x +2016 và đi qua điểm M(– 1; 2).
i/ Đi qua điểm A(1; 3) và vuông góc với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0.
j/ Đi qua điểm A(2; – 1) và vuông góc với đường thẳng d: y = 1.
k/ Đi qua điểm M(– 1; 4) và cắt trục tung tại điểm N có tung độ bằng – 2.
l/ Cắt trục tung tại điểm E có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại F có hoành độ là 1
m/ Cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng – 3 và vuông góc với đường thẳng : 1
2
n/ Đi qua A(2; – 30) và B là giao điểm của d 1 : 14x + y + 2 = 0 và d 2 : y = – 2x – 26.
Bài 5 Chứng minh rằng bộ ba đường thẳng trong các trường hợp sau đồng qui.
Bài 10 Định tham số m để diện tích tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước (O là gốc tọa độ)
a/ A(0; 2m), B(– m; 0), S∆OAB = 5 b/ A(0; – 3m 2 – 2), B(2m +1; 0), S∆OAB = 15
Bài 11 Định tham số m để đường thẳng d chắn trên hai trục tọa độ tam giác có diện tích cho trước.
a/ d: y = – 2x + m, S∆ = 10 b/ d: y = (m – 1)x + 2, S∆ = 16
Bài 12 Cho hàm số y =2x- 3 có đồ thị là đường thẳng d
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua trục tung
Bài 13 Cho hàm số y= − +2 x 2x+1 .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
b/ Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2− +x 2x+ =1 m.
Trang 17§3 HÀM SỐ BẬC HAI y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
Dạng 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
− + ∞ x – ∞
2
b a
− + ∞
y 4a
∆
−– ∞ – ∞
− hai điểm ĐB có hoành độ nguyên
* Đồ thị: Đồ thị là một parabol
Dạng 2 : Tìm các hệ số a, b, c của (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
* (P) đi qua điểm nào thì tọa độ điểm đó thỏa phương trình (P)
* (P) có đỉnh S(xS; yS) 2
( )
S
b x a
Trang 185/ y = 3x2 + 1 6/ y = x2 – 4x + 1 7/ y = x2 + 3x + 2 8/ y = – 2x2 + 4x + 19/ y = x2 + 5x +4 10/ y = 2x2 – 3x – 5 11/ y = – x2 + 4x 12/ y = 3x2
13/ y = −x2 + 2x − 2 14/ y= 2x2 + 6 x + 3 15/ y = x2 − 2x 16/ y = − x2 + 2x + 317/ y = − x2 + 2x − 2 18/ y = −1
nếunếu
nếu
x >
Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ y = x2 – 4x + 2 2/ y = – x2 – 3x 3/ y = – 2x2 + x + 1 4/ y = x2 + x5/ y = 3x2 – 1 6/ y = – x2 – 4x + 1 7/ y = – 2x2 + 4x – 1 8/ y = x2 + 3x + 3
Bài 4 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2 – 2x + 3
b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = x – 1
c/ Tìm giao điểm của hai đường trên
Bài 5 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = – x2 – 2x + 2
b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = – x + 4
c/ Tìm giao điểm của hai đường trên
Bài 6 Tìm parabol (P): y = ax2 + bx + 2 biết rằng:
a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5), B(–2; 8) b/ Đỉnh S(– 1; 0)
c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3)
Bài 7 Tìm parabol (P): y = ax2 – 2x + c biết rằng
a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3), N(2; 8) b/ Đỉnh S 1 2;
Bài 8 Tìm parabol (P): y = 2x2 + bx + c biết rằng
a/ (P) đi qua 2 điểm A 1; 2
Bài 9 Tìm phương trình của parabol: y = ax2 + bx + c biết rằng:
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1)
b/ Parabol đi qua M(0, 1) và có đỉnh S(–2, 5)
Bài 10 Tìm parabol (P): y = ax2 + bx + 2 biết rằng
a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5), B(–2; 8) b/ Đỉnh S(– 1; 0)
c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3)
Bài 11 Tìm parabol (P): y = ax2 – 2x + c biết rằng
a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3), N(2; 8) b/ Đỉnh S 1 2;
Bài 12 Tìm parabol (P): y = 2x2 + bx + c biết rằng
a/ (P) đi qua 2 điểm A 1; 2
Trang 19Bài 13 Tìm phương trình của parabol: y = ax2 + bx + c biết rằng:
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1)
b/ Parabol đi qua M(0, 1) và đỉnh S(–2, 5)
Bài 14 Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c Xác định a, b, c biết:
a (P) đi qua A(1; 2); B(– 1; 6), C ;2
Bài 15 Xác định parapol y = 2x2 + bx + c, biết nó:
a) Có trục đối xứng x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0; 4)
b) Có đỉnh I(−1; −2)
c) Đi qua hai điểm A(0; −1) và B(4; 0)
d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1; −2)
Bài 16 Xác định parapol y = ax2 − 4x + c, biết nó:
a) Đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 3)
b) Có đỉnh I(−2; −1)
c) Có hoành độ đỉnh là −3 và đi qua điểm P(−2; 1)
d) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm M(3; 0)
Bài
17 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các hàm
số này trên cùng hệ trục toạ độ:
a) y = x − 1 và y = x2 − 2x − 1 b) y = − x + 3 và y = − x2 − 4x + 1
c) y = 2x − 5 và y = x2 − 4x + 4 d) y = x và y = x2 + 2x + 6
Bài 18 Tìm hàm số y = ax2 + bx + c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số
đi qua điểm A(0; 6)
Bài 19 Tìm hàm số y = ax2 + bx + c biết rằng hàm số đạt cực đại bằng 3 tại x = 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; −1)
Bài 20 Vẽ đồ thị hàm số y = 2 2 8 2
3x −3x+
Bài 21 Vẽ đồ thị hàm số y = x2 − 2|x| + 1
Bài 22 Tìm m để đồ thị hàm số y mx= +(m−1)x2+2 x2−1có trục đối xứng là Oy
Bài 23 Cho hàm số y = 2 x m− + x m− −2 Tìm m để y xác định với mọi x > 1
Bài 24 Tìm hàm số y = f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.
Bài 25 Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m: y = f(x) = (m + 2 )(x + 2) có đồ thị là đường
thẳng dm ; hàm số y = g(x) = (m – 2 )x + m2 – 1 có đồ thị là đường thẳng ∆m
a Có hay không giá trị m để dm // ∆m?
b Chứng minh rằng các đường thẳng dm (khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi đường thẳng ∆m không đi qua điểm cố định nào cả
Bài 26 Cho parabol (P) có phương trình y = ax2 + bx + c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 2x +
1 tại A(1; 3)
a Tính b, c theo a
b Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi
c Tìm các điểm trong mặt phẳng Oxy mà (P) không thể đi qua
Trang 20Bài 27 Cho hàm số y = f(x) = x2 – 2 m 1
= Hãy tìm các giá trị của m sao cho y2 – y1=8.
Bài 28 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Bài 30 Viết phương trình parabol biết
a Parabol đi qua A(0; 2),B( – 1; 7),C(1; 1)
b Parabol có đỉnh toạ độ I(2; 5) và đi qua A(1; 4)
c Parabol đi qua A(2;0) B( – 2; – 8) và đạt cực trị bằng 1
d Parabol có đỉnh A(1; – 2) và chắn đường thẳng (d): y = x + 1 một dây cung MN = 34
Bài 31 Tìm các điểm cố định của họ đường cong y = m2x2 + 2(m – 1)x + m2 – 1 theo 2 cách
Bài 32 CMR tất cả các đường thẳng thuộc họ (dm) cho bởi phương trình y = 2mx – m2 + 2m đều tiếp xúc với một parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung
Bài 33 Cho hàm số y =2 2 ( 2)
Bài 36 Tìm m để hàm số y = mx + 2m + 8 nhận giá trị dương trên đoạn [2; 4]
Bài 37 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = mx + 2m –1 luôn đi qua
Bài 38 Cho hàm số y = 2
4
x − x m+ Định m để hàm số xác định trên toàn trục số
Bài 39 Cho (P): y = x2 − 3x − 4 và (d): y = − 2x + m Định m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt, tiếp xúc và không cắt nhau
ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số:
a/ y = 2−x −
4x
4
x1x
1xxx
xx2
2
−+
−
−
d/ y =
x52
3x
x232x
−
−++
f/ y = xxx−−14
Bài 2 Xét sự biến thiên của hàm số.
a/ y =
2x
1
1x
−
+ trên (1; +∞) c/ y =
1x
1
−d/ y = 3− x e/ y = − x2 + 4x − 1 trên (−∞; 2)
Bài 3 Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
a/ y =
1x
2xx
2
2 4
1x1x
−
−+
−++
f/ y =
1x
xx2 3
+
Trang 21Bài 4 Cho hàm số y =
1x
1
−a/ Tìm tập xác định của hàm số b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định
Bài 5 Cho hàm số: y = x x2
a/ Khảo sát tính chẵn lẻ b/ Khảo sát tính đơn điệu c/ Vẽ đồ thị hàm số trên
Bài 6 Cho hàm số y = 5+x+ 5−x
a/ Tìm tập xác định của hàm số b/ Khảo sát tính chẵn lẻ
Bài 7 Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c
a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được
c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình: y = 2x + m Định m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
Bài 8 Cho y = x(|x| − 1)
a/ Xác định tính chẵn lẻ b/ Vẽ đồ thị hàm số
Bài 9 Tìm TXĐ của các hàm số sau:
x y
x y
Bài 12 Cho hàm số y = x2 – 4x + 3 có đồ thị là Parabol (P)
a Lập bảng biến thiên và vẽ (P)
b Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng y = m với (P)
c Từ đồ thị hàm số ở câu a) suy ra đồ thị hàm số y = x2 – 4|x| +3
Bài 13 Tìm Parabol y = ax2 + 3x − 2, biết rằng Parabol đó:
a Qua điểm A(1; 5) b Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2
c Có trục đối xứng x = − 3 d Có đỉnh I 1; 11
− −
Bài 14 Xác định phương trình Parabol:
a y = ax2 + bx + 2 qua A(1; 0) và trục đối xứng x =
23
b y = ax2 + bx + 3 qua A(− 1; 9) và trục đối xứng x = − 2
c y = ax2 + bx + c qua A(0; 5) và đỉnh I(3; − 4)
d y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ = − 1
Bài 15 Xác định parabol y = ax2 + bx + c biết rằng:
a Parabol trên đi qua 3 điểm A(0; −1); B(1; − 2); C(2; − 1)
b Đi qua điểm A(− 2; 0); B(2; − 4) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng
Bài 16 Cho parabol (P): y = x2 + 4x − 2 và đường thẳng d: y = − x + 2m Tìm m để:
a (d) cắt (P) tại 2 điểm b (d) không cắt (P)
Trang 22Bài 17 Hãy xác định α để giá trị lớn nhất của hàm số y = 2
− + + trên [−1;1] là nhỏ nhất
Bài 18 Viết phương trình parabol y = ax2 + bx + 2 biết rằng parabol đó:
a Đi qua hai điểm A(1; 5) và B( – 2; 8)
b Cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ x1 = 1, x2 = 2
d Đi qua điểm A(3; – 4) và có trục đối xứng là x = −23
Bài 19 Vẽ parabol y = 3x2 – 2x – 1 Từ đồ thị chỉ ra những giá trị x để y < 0
Bài 20 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
Bài 23 Xác định Parabol ( )P y: = f x( ) =ax2+bx c+ trong các trường hợp sau, biết:
1/ Qua điểm A( )8;0 và có đỉnh I(5;12) 2/ Qua điểm A( )3;6 và có đỉnh I( )1;4 3/ Qua điểm A(1; 2− ) và có đỉnh 4; 25
. 4/ Qua điểm A( )2;3 và có đỉnh I(1; 4− ).
5/ Có đỉnh I( )3;6 và đi qua điểm M(1; 10− ). 6/ Qua ba điểm A(0; 1 , 1; 1 , − ) (B − ) (C −1;1) .
10/ Qua điểm A(1;16) và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành đồ là 1− và 5
11/ Đồ thị nhận đường thẳng 4
3
x= − làm trục đối xứng và đi qua hai điểmA(0; 2 ,− ) (B 1; 7− ) .
12/ Có trục đối xứng là x= −2, đi qua điểm A( )1;4 và có đỉnh thuộc đường thẳng y=2x−113/ Có trục đối xứng là x=1, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và chỉ có một giao điểm với trục hoành
Bài 24 Tìm Parabol ( )P y ax: = 2+bx+2 trong các trường hợp sau:
a/ Parabol ( )P đi qua M( )1;5 và N(−2;8).
b/ Parabol ( )P đi qua A( )3;4 và có trục đối xứng là 3
2
Trang 23c/ Parabol ( )P có đỉnh là I(2; 2− ) .
d/ Parabol ( )P đi qua B(−1;6) và có tung độ đỉnh là 1
f/ d x: + − =2 y 0, ( )P : 2y x− 2+2x− =8 0.
Bài 27 Xác định hàm số y ax= 2 +bx c+ trong các trường hợp sau
a/ Đi qua điểm A( )0;1 và tiếp xúc với đường thẳng y= −x 1 tại điểm M( )1;0
b/ Đi qua điểm A( )0;1 và tiếp xúc với hai đường y= −x 1 và đường y= − +2x 1.
c/ Đi qua điểm A(2; 3− ) và tiếp xúc với hai đường y=2x−7 và đường y= − −4x 4.
d/ Đi qua hai điểm A( ) (0;2 ,B −2;8) và tiếp xúc với trục hoành Ox.
e/ Hàm số đạt cực tiểu bằng 2 và đồ thị hàm số cắt đường thẳng y= − +2x 6 tại hai điểm có tung độ tương ứng bằng 2 và 10
Bài 28 Cho các hàm số ( )P1 :y=2x x( +2) và ( )P2 :y=(x+1) (x+2).
a/ Vẽ đồ thị ( )P và 1 ( )P trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm giao điểm của chúng.2
b/ Định a, b, c để hàm số 2
y ax= +bx c+ có cực đại bằng 8 và đồ thị của nó qua giao điểm của
( )P và 1 ( )P 2
Bài 29 Cho Parabol ( ) 2
P y x= − x+ và đường thẳng :d y ax= + −1 2a.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( )P và d trên cùng một hệ trục tọa độ.
b/ Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm cố định
c/ Bằng đồ thị và phép toán Chứng minh x2 −6x+ =5 ax+ −1 2a luôn có nghiệm
a/ Vẽ ( )P và 1 ( )P trên cùng một hệ trục tọa độ.2
b/ Tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng đồ thị và phép tính
c/ Định m để đường thẳng :d y m= cắt mỗi đồ thị tại hai điểm phân biệt.
d/ Giả sử d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A, B và d cắt 1 ( )P tại hai điểm C, D Tính độ dài 2đoạn AB, CD theo m
a/ Vẽ ( )P và 1 ( )P trên cùng một hệ trục tọa độ.2
b/ Bằng phép tính, chứng minh rằng hai Parabol trên tiếp xúc nhau
c/ Gọi A là tiếp điểm Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với đường thẳng
Trang 24a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )P
b/ Gọi A và B là giao điểm của ( )P và Ox (x A <x B) Viết phương trình đường thẳng d đi qua
A và có hệ số góc bằng 1, đường thẳng ∆ qua B và vuông góc với d
c/ Gọi C là giao điểm của d và ∆ Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân
Bài 33 Định tham số m để các cặp đồ thị sau không cắt nhau, cắt nhau tại hai điểm phân biệt
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )P
b/ Viết phương tình đường thẳng d đi qua A( )2;0 và có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm của d và ( )P
c/ Một đường thẳng ∆ đi qua B( )2;0 và cắt ( )P theo một dây cung nhận B làm trung điểm
Tìm phương trình đường thẳng ∆
Bài 36 Cho ( )P y x: = 2− +x 2.
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )P
b/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1− ) có hệ số góc 1
2
− Tìm tọa độ giao điểm A, B của d và ( )P
c/ Cho điểm E(0; 2− ) Chứng minh rằng ·AEB=900
Bài 37 Định tham số m để hai đường thẳng cắt nhau Khi đó tìm quỹ tích giao điểm của hai đồ thị.
a/ ( )P y x: = 2−5x+6 :d y =2m−1.
b/ ( )P y mx: = 2+3x−2 :m d y mx= +2.
Bài 38 Cho ( )P y x: = (4− −x) 2.
a/ Biện luận theo m số giao điểm của ( )P và : d x y m+ − =0.
b/ Trong trường hợp d cắt ( )P tại hai điểm M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài 39 Cho ( )P y ax: = 2+bx c+ .
a/ Xác định hàm số của ( )P qua điểm A(0; 3− ) và tiếp xúc với đường thẳng y= −(3x+1) tại
Trang 25điểm B và có hoành độ bằng 1.
b/ Cho đường thẳng d đi qua điểm C(0; 2− ) và hệ số góc là m Biện luận theo m số giao điểm
quỹ tích trung điểm đoạn MN
b/ Với giá trị nào của m thì hai tiếp tuyến của ( )P tại M, N vuông góc nhau.
Bài 41 Định tham số m để các bất phương trình sau có nghiệm
a/ 2 x m+ > +x 1 b/ 2 x m− <2mx x− 2−2.
Bài 42 Cho hàm số y ax= 2+bx c+ ( )P
• Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số vừa tìm được.
• Tìm m để đường thẳng d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B Xác định tọa độ trung điểm
I của đoạn AB
Vấn đề 1: PT QUY VỀ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1 Giải và biện luận pt bậc nhất: ax + b = 0 (1)
Đưa hương trình về dạng: ax = b (1) (Bằng cách chuyển tất cả những số hạng không chứa x về
vế phải; trong một vài bài cần khai triển hoặc quy đồng)
Nếu a ≠ 0: (1) ⇔ x = b
a
Nếu a = 0: (1) ⇔ 0x = b
• b ≠ 0: (1) ⇔ 0x = b: VN
CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trang 26rồi mới bình phương.
Chú ý: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2) Với x1; x2 là hai nghiệm của ax2 + bx + c = 0
Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau:
4 3
1 32
m x
m x
−11/ (3m – 1)x – 3m2 – 5m + 2 = 0 12/ 6m2x – (3 – 7x)m – 3x + 1 = 0
13/ 2m2x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0 14/ 2m2x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0
15/ (m + 2)(x – 2) + 4 = m2 16/ (x + 2)(m + 3) + 9 = m2
17/ (1 – m3)x + 1 + m + m2 = 0 18/ (m + 1)x + m2 – 2m + 2 = (1 – m2)x – x19/ x + (m – 1)2 – 2mx = (1 – m)2 + mx 20/ x + m2x + 2 = m + 4
Bài 2 Tìm m để các phương trình sau:
1/ (3m – 2)x + 2x – 3 = 0 có nghiệm duy nhất 2/ m(mx + 1) – 2mx = 0 vô số nghiệm
3/ (2x – 1)m + 3x = 2 có một nghiệm 4/ 2m2x + m(7x + 2) – 3(5x + 1) = 0 có VSN5/ 2(m2 + 1)x + m = 2(m + 1) – m2x + 5mx VN 6/ m(mx + 1) = x – 1 có vô số nghiệm
−
Bài 4 Cho phương trình (m2 – 3m)x + m2 – 4m + 3 = 0, định m để:
a/ Phương trình có nghiệm duy nhất b/ Phương có nghiệm duy nhất x = 2
c/ Phương trình vô nghiệm d/ Phương trình có vô số nghiệm
Bài 5 Cho phương trình (– x + m)m + 2m + 1 = (m + 1)2 – m2x, định m để:
a/ Phương trình có nghiệm duy nhất b/ Phương trình có vô số nghiệm
c/ Phương trình vô nghiệm
Bài 6 Cho phương trình mx + m2 + 1 = (x + 2)m, định m để:
a/ Phương trình vô nghiệm b/ Phương trình có nghiệm duy nhất
c/ Phương trình có vô số nghiệm
Bài 7 Giải và biện luận các phương trình sau:
1/ 3mx− =1 5 2 / 3x m+ = 2x−2m 3 / 2x m+ = 2x+2m−1
2 2
Trang 2721
m x
−
x m x
+
− +
3
x x
+ = 27/
x x
+
− =
32
x x
x x
++ +
2
x x
− = 2
Bài 14 Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R
m x
x
Trang 29Bài 19 Cho phương trình x+ +1 4− +x (x+1 4) ( −x) =m
a Giải phương trình khi m = 5
b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 20 Tìm m để phương trình 1+ +x 8− +x (1+x) (8−x) =mcó nghiệm thuộc đoạn [ ]0; 4
Bài 21 Định m để phương trình sau vô nghiệm: 1 2 2
− − ( * ) Định m để (*) vô nghiệm.
Bài 25 Giải các phương trình sau:
19/ x2 +3x+ +2 x2 4− x+ =3 2 x2−5x+4 20/ 2
2+ +x 17 2− x =x −8x+2221/ x2+3x+ = +1 (x 3) x+1 22/ 4x− +1 4x2− =1 1
Trang 30PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG MẪU MỰC (Nâng cao – tham khảo):
Phương pháp: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
Nâng lũy thừa hai vế
Đặt ẩn phụ
Lưu ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác
Biến đổi về dạng: f x( ) − h x( ) = k x( ) − g x( )
Bình phương, giải phương trình hệ quả
Dạng 8 Nhân thêm lượng liên hiệp
Dự đoán nghiệm và dùng nhân lượng liên hiệp để xuất hiện nhân tử chung
Các công thức thường dùng:
* a3±b3 = (a±b)(a2mab + b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2 – 2 a4b4
* a4 – b4=( a2 + b2) ( a2 – b2) * a6±b6=( a2±b2)( a4ma 2b2 + b4)
Bài 1 Giải các phương trình sau (dùng hằng đẳng thức)
1/ x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1 2/ x+ −8 6 x− −1 x+ +3 4 x− + =1 5 0
Trang 317/ 3x− +5 2x+ =3 x+2 8/ 5 1x− = 3x− −2 2x−1 9/ x+ −3 7− =x 2x−810/ 2− =x 7− − − −x 2x 3 11/ 5 1x− − x− =1 2x−4
12/ x− +2 x− =1 2x−3 13/ x+ −2 2x− =3 3x−5
14/ x+ −4 1− =x 1 2− x 15/ 3x+ −4 2x+ =1 x+3
Bài 3 Giải các phương trình sau (đưa về tích)
Ngoài cách đưa về tích thông thường, ta còn sử dụng một số hằng đẳng thức sau:
Trang 32Bài 9 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2+3x+13 x+ −2 36 0=
Bài 10 Định m để x+ 1− +x 2m x(1− −x) 24 x(1−x) =m3 có nghiệm duy nhất.
Bài 11 Định tham số m để các phương trình sau có nghiệm:
9/ x2−4x+ +5 x2−4x+ =8 4x x− −2 1 10/ 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4
11/ x+ +4 x− =4 2x− +12 2 x2−16 12/ 3x− −3 5− =x 2x−4
7− +x x x+ =5 3 2− x x− 14/(x+3 10) −x2 =x2− −x 12
Trang 33Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
1 Công thức nghiệm: ∆ = b2 – 4ac (hoặc ∆’ = b’2 – ac)
* ∆ < 0: (1) vô nghiệm
* ∆ = 0: (1) có nghiệm kép x1 = x2 =
2
b a
−
* ∆ > 0: (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1,2
2
b x
3 Phương trình trùng phương: Cho ax4 + bx2 + c = 0(1)
* Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0
* Giải phương trình theo t: at2 + bt + c = 0, từ đó suy ra x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
* Dạng 1: Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = x0 Tìm nghiệm còn lại.
Cách giải: Thế x = x0 vào (1), giải tìm m Sau đó sử dụng công thức: x1 + x2 = b
a
−
* Dạng 2: Tìm m để phương trình vô nghiệm, nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt
Cách giải:
Phương trình vô nghiệm:
• TH1 Cho a = 0, phương trình trở thành bx + c = 0: Xét xem có đúng vô nghiệm
không, nếu đúng thì nhận m vừa tìm được
• TH2 Cho a ≠ 0, phương trình vô nghiệm ⇔ ∆ < 0.
Trang 34Cách giải: Đưa đẳng thức về phương trình chứa S = x1 + x2 = b
Bài 1 Cho phương trình: 2x2 + 2(2m – 3)x + 2m2 – m = 0 (1)
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3 Tính nghiệm còn lại
b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa:
Bài 2 Cho phương trình: (m – 1)x2 – 4x + 3 = 0
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2 Tính nghiệm còn lại
b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa:
c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia Tính các nghiệm đó
Bài 3 Cho phương trình: (m + 3)x2 – 2(1 – m)x + m + 7 = 0
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3 Tính nghiệm còn lại
b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa:
1/ x x − −x x = −109 2 / 4x +1 4x + = −1 19 3 /x + −x 3x x = −3
c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 5 lần nghiệm kia Tính các nghiệm đó
Bài 4 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 3 = 0
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2 Tính nghiệm còn lại
b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa: 1/ x1 + x2 = 2x1.x2 2/ 2 2
Bài 6 Cho phương trình: x2 – ( k – 1)x – k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
a Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c Gọi x1, x2 là nghệm của phương trình (1) Tìm k để: x13 + x23 > 0
Bài 7 Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phương trình (1) với m = – 5
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt với mọi m
c/ Tìm m để x1−x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1))
Bài 8 Cho hai phương trình x2 + p1x + q1=0 và x2 + p2x + q2 =0 với p1.p2 ≥ 2(q1 + q2) Chứng minh rằng khi đó có ít nhất một trong 2 phương trình có nghiệm
Bài 9 CMR có ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0; bx2 + 2cx + a = 0 và
cx2 + 2ax + b = 0
Bài 10 Tìm a để phương trình x2+4x−2 x a− + − =2 a 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt
Bài 11 Tìm a để phương trình x x+2a + − =1 a 0có một nghiệm duy nhất.
Bài 12 Tìm a để phương trình (a + 1)x2 – (8a + 1)x + 6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Bài 13 Cho m ≥ −1 Tìm nghiệm lớn của phương trình x2 + (2m – 6)x + m – 11 = 0
Bài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x2 + 2x + 3 trên D = [−3;0]; E = [ ]0;3
Bài 15 Giả sử x, y là nghiệm của hpt 2
Trang 35Bài 16 Tìm m để x2 – 2mx + 2 x m− + >2 0nghiệm đúng ∀ ∈x R
Bài 17 Cho f(x) = x2 + (m + 1)x + 2 x m+ − +1 (m+1)2 tìm m để min ( ) 3R f x ≤ .
Bài 18 Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 2 4 22 3
++ đạt giá trị lớn nhất = 4, giá trị nhỏ nhất = – 1
Bài 20 Chứng minh rằng ,∀x y R∈ luôn có Q ≥0 với:
a Q = x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 b Q =4x2 + 13y2 – 12xy – 4y + 1
Bài 25 Cho a + b + c = 6, chứng minh rằng a2 + b2 + c2 12≥
Bài 26 Cho x, y, z thoả mãn
Bài 30 Cho phương trình: x2+(2m−3)x m+ 2−2m=0 *( ) .
a/ Xác định tham số m để phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình ( )* có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8 Tìm các nghiệm trong trường hợp đó
Bài 31 Cho phương trình: mx2+(m2−3)x m+ =0 ( )* .
a/ Xác định tham số m để phương trình ( )* có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình ( )* có hai nghiệm x1 và x2 thỏa 1 2
134
Bài 32 Cho phương trình: 9x2+2(m2−1)x+ =1 0 ( )* .
Trang 36a/ Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt âm.
b/ Xác định m để phương trình ( )* có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1+ = −x2 4 Tính các nghiệm trong trường hợp đó
Bài 33 Cho phương trình: ( ) 2 ( )
b/ Phương trình ( )* có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm kia
c/ Phương trình ( )* có tổng bình phương các nghiệm bằng 2
a/ Tìm m để phương trình ( )* có nghiệm x=0 Tính nghiệm còn lại
b/ Khi phương trình ( )* có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
c/ Tìm m để phương trình ( )* có hai nghiệm x1, x2 thoả: 2 2
Bài 36 Cho phương trình: x2−(m2−3m x m) + 3 =0 ( )* .
a/ Tìm m để phương trình ( )* có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia
b/ Tìm m để phương trình ( )* có một nghiệm bằng 1 Tính nghiệm còn lại
Bài 37 Cho phương trình: 2 ( )
c/ Có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
Bài 38 Cho phương trình: x2−2(m+1)x+2m+ =10 0 ( )* .
a/ Tìm tham số m để phương trình ( )* có nghiệm
b/ Tìm tham số m để phương trình ( )* có nghiệm thỏa:
Bài 39 Cho phương trình: x2−2(m−1)x m+ − =3 0 ( )* .
a/ Tìm tham số m để phương trình ( )* luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ ∈m ¡
b/ Tìm m để phương trình ( )* có hai nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối bằng nhau
Bài 40 Tìm tham số m để phương trình: 2 15
04
x − x m+ = có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia?
Bài 41 Tìm các giá trị dương của m sao cho phương trình: 2x2−(m+2)x+ =7 0 có hai nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau
Bài 42 Cho phương trình: 2x2+2 sinx α =2x+cos2α ( )* (α là tham số).
