Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
dx x C
1
x
1
1 u
1
x
lna
lna
dx ln x C x 0
e dx e C
cosxdx sin x C
sin xdx cosx C
cos kx
k
2
1 dx cotx C
2
1 dx tanx C
Các phương pháp tính nguyên hàm
b.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần: udv u.vvdu
Bảng nguyên hàm các hàm số mở rộng
Trang 2 1
d ax b ax b C
a
kx
k
1
1
1
ax b
a
ln ax b c
axb a
a
1 dx
ax b ax b
a
a
1 dx
ln
px q px q
p a
a
arctgx c
cotg
ln 2
a x
c
tg cos axb a axb c
dx
dx
arcsin x c
a
arccos x c
2
2
a
ax b
c
a
ln tg
ax b
c
sin dx
ax
cos dx
ax
TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM
2
Trang 3A) x x x2 3C B) x21 3 x2C C) 2x x x 3C D)
3
1 5
x
x C
3
x
x là:
3
x x
C x
x x
C x
C) 4 2 3
3
x x
C x
D) 1 3
3
x C x
3
4
x
3
3 4
x x
F x C
3
x
F x C
x
3
x
F x C
x
x x
là:
x
B) F x 2 C
x
C)
2
x
F x C D)
2
x
F x C
x
là:
x
2
2 x 1
x
C) F x 2 3 x C
x
x
Câu 6:
2 3
dx
x
bằng:
A)
1
2 3 x C B)
3
2 3x C
C) 1ln 2 3
3 x C D)
1
ln 3 2
x
5
5
x x C
5
x x C
5
x x C
là:
e
1 3
3
x
e
F x C
e
3 x
e
F x C
e
e
là:
e
B) F x 2 55 x C
e
2 5
5
x
e
F x C
D)
5 2
5
x
e
F x C
e
Trang 4Câu 10: 3x4xdx bằng:
ln 3 ln 4
C
ln 4 ln 3
C
ln 3 ln 4
C
D) 3 4
ln 3 ln 4
C
ln 2 3
x
x C
3
ln 2 3
x
x C
3.ln 2 3
x
x C
3
ln 2
x
x C
2 3
3ln 2 2ln 3
F x C B) 72
ln 72
F x C
2 3
ln 6
F x C D) ln 72
72
F x C
là:
8
9
8 ln
9
x
F x C
9 8 3 8 ln 9
x
F x C
8 9 3
8 ln
9
x
F x C
8 9 3 9 ln 8
x
F x C
1
3 4
x x
f x
là:
4 3 3
3 ln
4
x
F x C
3 4 3 ln 4
x
F x C
2
x
F x C D)
3 4 3 3 ln 4
x
F x C
3 3
3
ln 3
x
e
e
3 3
3
ln 3
x
e
e
3
ln 3
x
e
e
D) 3 3
ln 3
x
e
F x C
4
Trang 5Câu 16:
2
1 3
3
x
A)
2
3 ln 3
ln 3 3
x
B)
3
3 ln 3 3 ln 3
x
2ln 3 2.9 ln 3
x
2ln 3 9
x
Câu 17: cos4 cosx x sin 4 sinx x dx bằng:
A) 1sin 5
5 x C B)
1 sin 3
3 x C C)
sin 4 os4
4 x4c x C D) 1sin 4 os4
4 x c x C
A) 1sin 8 os
8 x c x C B)
1 sin 8 os
8 x c x C
14c x 18c x C D)
os9 os7
18c x 14c x C
A) 1 1sin 4
2x8 x C B)
3
1 sin 2
3 x C
C) 1 1sin 4
2x 8 x C D)
1 1
sin 4
2x 4 x C
sin cosx x dx
Câu 21: sin 2x c os2x dx2 bằng:
A) sin 2 os2 3
3
x c x
C
2
os2 sin 2
2c x 2 x C
C) 1sin 2
2
x x C D) 1 os4
4
x c x C
3
x
c dx
bằng:
os
x
c C B) 1 42
os
x
c C
2 8 3
x x
C
2 3 3
c C
2x 5dx
bằng:
A) 2ln 2x5C B) 3ln 2 5
2 x C
C) 3ln 2x5C D) 3ln 2 5
2 x C
Câu 24:
1
5x 3 dx
bằng:
Trang 61
5 5x 3 C
1
5 5x 3 C
C)
1
5x 3 C
1
5 5x 3 C
6 9dx
x x
3 C
x
3 C
x C) 1
3 C
x
3 xC
2
x
dx x
bằng:
1
x x
dx x
A)
2
2ln 1
2
x
x x C
2
ln 1 2
x
x x C
2
x
x x C
D) x2ln x 1 C
Câu 28:
1
x x
dx x
bằng:
2
x
x x C
C)
2
2 5ln 1
2
x
x x C
Câu 29:
1
1 2 dx
x x
2
x
C x
3 2
x
dx
x x
A) 3ln x 2 2ln x1C B) 3ln x 2 2ln x1C
C) 2ln x 2 3ln x1C D) 2ln x 2 3ln x1C
4 5dx
x x
1
x
C x
1
x
C x
x
C x
x
C x
Câu 32: x1 x210dx bằng:
22
x
C
B) 1 211
22
x C
C) 1 222
11
x
C
D) 1 211
11
x
C
6
Trang 7Câu 33:
12
x dx
x
bằng:
A) ln x 1 x 1 C B) ln x 1 C C) 1
1 C
x D) ln 1 1
1
x
Câu 34:
1
x
x
e
dx
e
bằng:
e x D) ln 1x 1 C
e
Câu 35:
1
2
x
e
dx x
bằng:
1
x
C e
Câu 36:
2
1
x
x
e
dx
e
bằng:
A) (e x1).ln e x 1 C B) e x.ln e x 1 C
Câu 37: x e x21dx
bằng:
2
x
e C
B) e x2 1C C) 2e x2 1C D) x e2 x2 1C
2 3
x dx
x
bằng:
2 x C B)
2
1
2 3
2 x C C) 2x2 3 C D) 2 2x2 3 C
x
bằng:
2 x C B) 2 ln x 3 C C) 2 ln 3
3 x C D) 3 ln x 3 C
.ln dx
x x
bằng:
A)
4
ln
4
x
C
ln x C
4ln xC D) 4
1 4ln x C
1 ln
x dx
x x
Câu 42: sin os5x c xdx bằng:
A)
6
sin
6
x
C
6
sin 6
x C
6
os 6
c x
C
6
os 6
c x
C
Trang 8Câu 43: sin5
os
x dx
c x
bằng:
4 osc x C
B) 14
4 osc xCC) 4
1 4sin xC D) 4
1 4sin x C
sin os
x x
dx
x c x
A) ln sinx c x C os B) ln sinx c x C os
C) ln sinx c x C os D) ln sin x c x C os
2
tan x
C
B) 2 tan x C2 C) 2 tan x C2 D) 2
2
tan x
C
sin
x dx x
bằng:
2
x
C
B) cot2
2
x C
C) tan2
2
x C
D) tan2
2
x C
Câu 47: x 1e x2 2x 3dx
2
2 3
2
x
x e C
3 2
1 3 3
1 x x x
x e C
2
e C
2
e C
4 2 5
x
dx
x x
4x 2x 5 C
ln 4 2 5
2 x x C
2 sin
x dx x
bằng:
A) 3ln 2 sin x C B) 3ln 2 sin x C C)
3sin
2 sin
x C
x
3sin
ln 2 sin
x C x
3cos 2sin
x x
dx
x x
A) ln 3cosx2sinx C B) ln 3cosx2sinx C
C) ln 3sinx 2cosx C D) ln 3sin x 2cosx C
8