Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:..[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
A LÝ THUYẾT
1 Một số công thức lượng giác cần nhớ
- Công thức cộng:
tan a tan b tan a b
1 tan a.tan b
±
- Công thức nhân đôi: sin 2a 2sin a cosa2 2 2 2
cos 2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a
=
- Công thức hạ bậc: sin a2 1 cos 2a;cos a2 1 cos 2a
- Công thức nhân ba: sin 3a 3sin a 4sin a3 3
cos3a 4cos a 3cosa
- Công thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cos b 1 cos a b cos a b( ) ( )
2
= + + −
2 Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản
Trang 2( ) ( )
( )
1
2
3
4
2
5
2
6
I sin xdx cos x C
1
I sin ax dx cos ax C
a
I cos xdx sin x C
1
I cos ax dx sin ax C
a
1 cos 2x x sin 2x
1 cos 2x x sin 2x
dx
cos x
cos ax a
dx
I
sin ax
−
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
11
12
2
2
cot x C
sin ax a
sin xdx
cos x cos xdx
sin x 1
cos x 1
sin x
∫
∫
3 Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp
Dạng 1: Nguyên hàm I=∫sin x.cos xdxm n
- TH1: Nếu m 2k 1 I= + ⇒ =∫sin x.cos x.sin xdx2k n
1 cos x cos xd cos x
- TH2: Nếu n 2k 1= + → Đặt t sinx=
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc
Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng
I=∫f sin x cos xdx=∫f sin x d sin x → Đặt t sinx=
I=∫f cos x sin xdx= −∫f cos x d cos x → Đặt t cos x=
Dạng 2: Nguyên hàm I m dx n
sin x.cos x
Trang 3- TH1: Nếu ( )
d cos x sin xdx
m 2k 1 I
sin + x.cos x 1 cos x + .cos x
−
Khi đó ta đặt: t cos x=
- TH2: Nếu n 2k 1= + → ta đặt t sinx=
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi m 1 n sin x cos x 2m n2
sin x.cos x sin x.cos x
+
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức
Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx;
Asin x Bsin x cos Ccos x+ + thì ta chia cả tử số và mẫu số cho cos x2
2
tan
cos
x
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
1 cosax.cos bxdx cos a b x cos a b x dx
2 1 sin ax.sin bxdx cos a b x cos a b x dx
2 1 sin ax.cos bxdx sin a b x sin a b x dx
2 1 cosax.sin bxdx sin a b x sin a b x dx
2
Dạng 5: Nguyên hàm I dx
a sin x bcos x c
=
Ta có:
dx I
=
x
t tan
2
2
dt I
=
=
→ =
+ +
∫
B VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
Trang 4a) I=∫sin x.cos xdx3 2
b) I=∫sin x.cos xdx3 5
c) I=∫sin x.cos xdx2 2
d) I=∫sin xdx4
Lời giải
a) I=∫sin x.cos xdx3 2 = −∫sin x.cos xd cos x2 2 ( )= −∫ (1 cos x cos xd cos x− 2 ) 2 ( )
t cosx I t 1 t dt2 2 t4 t dt2 t t C cos x cos x C
=
b) I=∫sin x.cos xdx3 5 = −∫sin x.cos xd cos x2 5 ( )= −∫ (1 cos x cos xd cos x− 2 ) 5 ( )
t cosx I t 1 t dt2 5 t7 t dt5 t t C cos x cos x C
=
c) I sin x.cos xdx2 2 (sinx.cosx dx)2 1 (sin 2x dx)2
4
d) I sin xdx4 (sin x dx2 )2 1 cos 2x 2dx
2
−
2
1 1 2cos 2x cos 2x dx 1 1 2cos 2x 1 cos 4x dx
1 3 4cos 2x cos 4x dx 3x sin 2x sin 4x C
+
∫
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:
a) I cos x3 dx
1 sin x
=
+
b) (2 cos x dx)
I
sinx
+
c) I dx 2
sin x.cos x
d) I 4 dx 2
sin x.cos x
Lời giải
Trang 5a) ( ) ( ) ( )
2 2
−
b)
cos x 1
cos x 1
+
−
−
+
c)
d cos x
sin x.cos x sin x.cos x 1 cos x cos x t t 1
1 1 dt 1ln t 1 1 C 1ln cos x 1 1 C
=
∫
d)I 4 dx 2 sin x cos x24 22 dx 2 dx 2 dx4
sin x.cos x sin x cos x sin x.cos x sin x
+
2
3 2
sin x cos xdx sin x cos xdx
sin x cos x sin x
cos x sin x sin x sin x
cot x tan x 2cot x cot xd cot x tan x 2cot x C
3
∫
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
a) I=∫tan xdx4
b) I tan x4 dx
cos 2x
c) I=∫sin 2x cos3xdx
d) I=∫sin x cos3xdx2
Lời giải
2
1
cos x
tan xdx tan xdx tan xd tan x 1 1 dx tan x tan x x C
b)
4
t tan x
tan x
=
2
3
−
+
Trang 6
c) I sin 2x cos3xdx 1 (sin 5x sin x dx) cos5x cosx C
−
Ví dụ 4: Xét các mệnh đề sau:
(1) dx ln cos x 1 C
−
+
(2) sin x cos xdx6 sin x7 C
7
(3) sin x24 dx tan x3 C
(4) cos xdx3 sin x sin x3 C
3
Số mệnh đề đúng là:
Lời giải
d cos x
sinx sin x cos x 1 2 cos x 1
−
7
3
sin x
7
sin x
3
Vậy có 2 mệnh đề đúng Chọn B
Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x( )= +x sin x sin 2x Biết rằng f(0) = 2 Giá trị của f
2
π
là:
= +
= +
= +
= +
Lời giải
Ta có: f x( ) f ' x dx( ) x2 2sin x cos xdx2 x2 2 sin xd sin x2 ( ) x2 2sin x3 C
Lại có: f 0( ) C 2 f 2 8
= = ⇒ = +
Chọn B
Trang 7Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x( ) sin x35
cos x
= Biết rằng f 2
4
π
=
Tính giá trị của f
3
π
A f 0
3
π
=
3
π
=
3
π
=
3
π
=
Lời giải
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm
sin 2xdx I
2 sinx
= +
2 sin x
2 sin x
+
C I ln 2 sin x( ) 2 C
2 sin x
2 sin x
+
Lời giải
Ta có:
2sin xd sin x
I
2 sin x
4
2 sin x
+
+
(do 2 + sinx > 0). Chọn A
Ví dụ 8: Biết rằng I sinxcos xdx2 a cos x bcos 2x ln 1 cos x C(a;b( ) )
1 cos x
+
A a b 3
4
4
4
4 + = −
Lời giải
t cosx
Trang 8
Do đó: a 1,b 1 a b 3.
−
Ví dụ 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( )
1
f x
2sin x 3cos x
=
+ và F 0( ) 5
6
= Khi đó:
A F x( ) 1 1
4 tan x 6
−
4 tan x 6 3
2 tan x 3 6
−
2 tan x 3 2
+
Lời giải
Ta có ( )
d tan x
2 2 tan x 3 2sin x 3cos x cos x 2 tan x 3 2 tan x 3
+
4 tan x 6
−
+ Chọn A
Ví dụ 10: Tính nguyên hàm tanx 2 dx
cos x 1 cos x+
A I= tan x 2 C2 + + B I= cos x 2 C2 + + C I= tan x 1 C2 + + D I= cos x 1 C2 + +
Lời giải
2
2
I
cos x
=
+
( 2 )
2
d t 2
+
+
Trang 9BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=sin x.cos x2 3
A 1sin x3 1sin x C5
Câu 2: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )=cos x.esin x
A F x( )=esin x B F x( )=ecosx C F x( )=e− sin x D F x( )=e− cosx
Câu 3: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )=sin 2x.cos 2x2 3 thỏa F 0
2
π
=
A F x( ) 1sin 2x3 1 sin 2x5
C F x( ) 1sin 2x3 1 sin 2x5 4
Câu 4: Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?
A cos x sin xdx5 sin x6 C
6
6
∫
C cos x sin xdx5 cos x6 C
6
6
∫
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos x20
sin x
A 119 C
19sin x
19cos x
Câu 6: Hàm số f x( )=sin x5 có 1 nguyên hàm F(x) thỏa F 0
2
π
=
Tính F π ( )
A F( ) 15
16
15
16
15
π = −
Câu 7: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )=cos x5 thỏa F 7
=
A F x( ) sin x 2sin x3 1sin x 15
= − + − B F x( ) cos x 2cos x3 1cos x 15
C F x( ) sin x 2sin x3 1sin x 15
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos x5
1 sin x
=
A cos x sin x cos x3 4 C
Trang 10C sin x sin x cos x3 4 C
Câu 9: Hàm số f x( ) 4sin x3
1 cos x
= + có 1 nguyên hàm là F(x) thỏa F 3
π
=
Tính F
2
π
A F 2
π
=
2
π
=
π
=
2
π
=
Câu 10: Hàm số F x( )=ln sinx 3cosx− là 1 nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B,C,D dưới đây?
A f x( ) cos x 3sin x
sin x 3cos x
+
=
− B f x( )=cos x 3sin x+ C f x( ) cos x 3sin x
sin x 3cos x
=
cos x 3sin x
−
=
+
Câu 11: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) sinx cos x
sin x cos x
−
=
+ thỏa F 1ln 2
π
=
A F x( )= 2 ln sin x cos x+ + B F x( )= 2 ln sin x cos x− +
C F x( )= 2 ln sin x cos x− − D F x( )=ln sin x cos x+ − 2
Câu 12: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )=tan x tan x 13 ( 2 + ) thỏa F 5
π
=
A F x( ) 4 tan x4 1
4
= + B F x( ) tan x4 1
4
4
= − D F x 1( ) tan x4
4
= −
Câu 13: Hàm số f x( ) 1
sin x
= có nguyên hàm là F(x) thỏa F 0
3
π
=
Tính eF23π
A eF 23 1
3
π
π
π
2
π
=
Câu 14: Hàm số f x( )=cot x có nguyên hàm là F(x) thỏa F 0
4
π
=
Tính eF 4
π
−
A eF 4 1
2
π
−
π
−
2
π
−
π
−
=
Câu 15: Hàm số f x( )=tan x có nguyên hàm là F(x) thỏa F ln 2
4
π
Tính eF 4
π
A eF 4 ln 2
π
π
π
π
=
Câu 16: Biết F(x) là 1 nguyên hàm của f x( ) sin x ;F 2
π
+ Tính F(0)
3
− + B 2 ln 2 2
3
3
3
Trang 11Câu 17: Cho I cos x dx;J sin x dx.
sin x cos x sin x cos x
A T x 3ln sin x cos x C= − + + B T x 3ln sin x cos x C= + + +
C T 3x ln sin x cos x C= − + + D T 2x ln sin x cos x C= − + +
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos x sinx2
3
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=sin x3
6 − + C cos x cosx C3
3
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos x3
A sin x sin x3 C
3
+ + B sin x sin x3 C
3
− + C sin x sin x3 C
3
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=sin x cos x4
5
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) etan x2
cos x
A etan x+C B e− tan x+C C tan x.etan x+C D −etan x+C
Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) 12
x cos x
A tan x C2 + B 2 tan x C+ C 1 tan x C
2 + D tan x C+
Câu 24: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) sin 2x2
sin x 3
=
+ thỏa F 0( )=0
A
2
ln 2 sin x
3
+
B ln 1 sin x2
3
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) 1
sin x cos x
2
2
2
Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=(tan x e+ 2sin x)cos x
Trang 12A −cos x e+ 2sin x+C B cos x 1e2sin x C
2
− − + C cos x 1e2sin x C
2
+ + D cos x 1e2sin x C
2
Trang 13LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:
sin x cos xdx sin x cos x cos xdx
sin x 1 sin x d sin x sin x sin x d sin x sin x sin x C
=
Chọn A
Câu 2: F x( )=∫cos xe dxsin x =∫e d sin xsin x ( )=esin x+C Chọn A
Câu 3:F x( ) sin 2x cos 2xdx2 3 sin 2x cos 2x cos 2xdx2 2 1 sin 2x 1 sin 2x d sin 2x2 ( 2 ) ( )
2
π
Câu 4: cos x sin xdx5 cos xd cos x5 ( ) 1cos x C6
6
d sin x
sin x = sin x = −19sin x+
F x =∫sin xdx=∫sin x sin xdx= −∫ 1 cos x d cos x−
(cos x 2cos x 1 d cos x4 2 ) ( ) 1cos x5 2cos x cos x C3
π
F x =∫cos xdx=∫cos x cos xdx=∫ 1 sin x d sin x−
(sin x 2sin x 1 d sin x4 2 ) ( ) 1sin x5 2sin x sin x C3
π
Câu 8:
2 2
2
2 2
3
1 sin x d sin x
sin x 1
1
3
−
−
∫
4
1
4
Trang 14
Chọn C
Câu 9:
2
1 cos x d cos x 4sin x sin x sin xdx
1
4 cos x 1 d cos x 4 cos x cos x C 2cos x 4cos x C
2
−
∫
Chọn D
Câu 10: f x( ) F' x( ) cos x 3sin x
sin x 3cos x
+
− Chọn A Câu 11: F x( ) sin x cos xdx d sin x cos x( ) ln sin x cos x C
sin x cos x sin x cos x
+
−
π
2
F x tan x tan x 1 dx tan x tan xd tan x tan x C
Câu 13: F x( ) dx sin xdx2 d cos x(2 ) 1ln cos x 1 C
sin x sin x cos x 1 2 cos x 1
−
Mà F 0 C 1ln 3 F x( ) 1ln cos x 1 1ln 3 eF 23 3.
π
Câu 14: F x( ) cot xdx cos xdx d sin x( ) ln sin x C
sin x sin x
−π
π
Câu 15: F x( ) tan xdx sin xdx d cos x( ) ln cos x C
cos x cos x
4
π
π
Câu 16: F x( ) sinx dx 1 d 1 3cos x( ) 1ln 1 3cos x C
Mà F 2 C 2 F x( ) 1ln 1 3cos x 2 F 0( ) 2ln 2 2
π
Trang 15Câu 17: Ta có: ( )
sin x cos x
sin x cos x
d sin x cos x cosx sinx
+
−
x ln sin x cos x
x ln sin x cos x
2
Chọn A
Câu 18: Ta có: cos x sin xdx2 cos xd cos x2 ( ) 1cos x C.3
3
Câu 19: sin xdx3 sin x sin xdx2 (1 cos x d cos x2 ) ( ) 1cos x cos x C.3
3
Câu 20: cos xdx3 cos x cos xdx2 (1 sin x d sin x2 ) ( ) 1sin x sin x C.3
3
Câu 21: sin x cos xdx4 sin xd sin x4 ( ) 1sin x C.5
5
Câu 22: Ta có tan x tan x ( ) tan x
2
Câu 23: 12 dx 2 d x2 2 tan x C
Câu 24: Ta có:
2
d sin x 3 2sin xd sin x
sin 2x 2sin x cos xdx
+
MàF 0( ) 0 C ln 3 F x( ) ln sin x 3 ln 3 ln 12 sin x2 .
3
Câu 25:
2 2
d sin x
sin x cos x sin x cos x sin x 1 sin x
1 1 1 d sin x ln sin x 1ln 1 sin x C.
−
−
∫
Chọn A
Câu 26:
tan x e cos xdx sin xdx e cos xdx
sin xdx e d 2sin x cos x e C
Chọn D