Khi gặp những loại phương trình này, học sinh có thể giải quyết bằng nhiều cách, một trong những cách có khả năng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh là phương pháp đặt ẩn phụ.
Trang 1PHẦN 1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình logarit là một trong những phần trong chương trình thi đại học Khi gặp những loại phương trình này, học sinh có thể giải quyết bằng nhiều cách, một trong những cách có khả năng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh là phương pháp đặt ẩn phụ Học sinh chưa thực sự giải quyết tốt trong vấn
đề lựa chọn ẩn phụ, chính vì vậy tôi chọn đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ
năng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình logarit”.
PHẦN 2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Thực trạng vấn đề
Khi gặp phương trình logarit phải sử dụng đến phương pháp đặt ẩn phụ, nhiều học sinh còn lúng túng trong cách giải quyết, chưa nhìn thấy cách đặt ẩn phụ hợp lý
2 Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp
3 Đối tượng nghiên cứu.
Ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình
4 Cách thức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 5 dạng bài tập tương ứng với 5 phương pháp đặt ẩn phụ Các bài đưa ra đề là các bài trong đề thi đại học và các bài tập tương tự
5 Nội dung
A CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương trình có dạng f(x) = g(x), đặt cả 2 vế bằng t và chuyển thành hệ
phương trình rồi đưa ra phương trình trung gian
) ( loga f x = u f(x) = au
- Nếu đặt t loga x với x 0 thì k k
a x t
log , logx a1t với 0 x ≠ 1
- Nếu đặt t alogb x
thì t xlogb a
Trang 2B MỘT SỐ DẠNG TOÁN
I Dạng 1 Đặt cả hai vế của phương trình logarit bằng 1 ẩn phụ mới.
Phương pháp đặt ẩn phụ thường được áp dụng đối với những phương trình logarit có thể đưa về dạng phương trình mà 2 vế là 2 biểu thức logarit khác nhau Trong những trường hợp này thường giải phương trình bằng cách đặt cả 2
vế bằng u rồi đưa về phương trình mũ và giải bằng phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví dụ 1: Giải phương trình: log5(x 3 ) log2x (1)
Giải:
Điều kiện xác định: x -3
Đặt log5(x 3 ) log2x = u
Phương trình đã cho trở thành hệ:
u u
x x
2 5 3
5u - 3 = 2 u 2 u - 3 = 5 u
5
1
3
5
2
u u (2)
- Nhận thấy u = 1 là nghiệm của phương trình (2)
- Nếu u 1 thì 1
5
3 5
2 5
1 3 5
2
u 1 không phải là nghiệm của phương trình (2)
5
3 5
2 5
1 3 5
2
u 1 không phải là nghiệm của phương trình (2)
Do đó u = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)
Khi u = 1 thì x = 21 = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2
Nhận xét: Phương trình (1) có thể cho dưới dạng x x
3 ) ( log5
Sau khi lấy logarit hoá 2 vế với cơ số 2 thì phương trình (*) sẽ chuyển thành phương trình (1) Cũng có thể tổng quát phương trình trên thành dạng
x
a b x c
)
(
log với a + c = b
Ví dụ 2: Giải phương trình: log3x log2( x 1 ) (3)
Giải:
Trang 3Đặt log3x log2( x 1 )= u
Phương trình đã cho trở thành hệ:
u u
x x
2 1 3
1 2 3
u u
x x
3 u 2u 1
2
3
2
1
u u
(4)
- Nhận thấy u = 2 là nghiệm phương trình
- Nếu u 2 thì
u u
2
3 2
2
3 2
u 2 không là nghiệm phương trình (4)
- Nếu u 2 thì
u u
2
3 2
2
3 2
u 2 không là nghiệm phương trình (4)
Do đó u = 2 là nghiệm duy nhất của (4)
x = 32 = 9 là nghiệm duy nhất của (3)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9
Nhận xét: Phương pháp trên cũng được áp dụng để giải bất phương trình logarit
cùng dạng, chẳng hạn bất phương trình log3x log 2 ( x 1 ), sau khi đặt ẩn phụ như trên thì xét u 2; u 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: x x x
6
log
Giải:
Điều kiện xác định: x 0
6
log
Phương trình đã cho trở thành hệ:
t
t x
x x
6
2
3 log 6
Thế (b) vào (a) ta được: 6t + 3t = 2t
2
3
t (c)
- Nhận thấy t = -1 là nghiệm của (c)
- Nếu t -1 thì 3t +
2
2
t -1 không là nghiệm phương trình (c)
- Nếu t -1 thì 3t +
2
3
3-1 + 1
2
(a) (b)
Trang 4 t -1 không là nghiệm phương trình (c).
t = -1 là nghiệm duy nhất
Khi đó x = 6-1 = 61
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 61
Ví dụ 4: Giải phương trình: lg(x 2 - x - 6) = lg(x + 2) + 4 (6)
Giải:
Điều kiện xác định: x 3
(6) lg(x2 - x - 6) - lg(x + 2) = 4 - x
x
x x
4 2
6 lg
2
lg(x - 3) = 4 - x
Đặt lg(x - 3) = 4 - x = u
x = 10u + 3 = 4 - u
10u = 1 - u
- Nhận thấy u = 0 là nghiệm phương trình
- Nếu u 0 thì 10u 100 = 1 1 - u 1
u 0 không là nghiệm phương trình
- Nếu u 0 thì 10u 100 = 1 1 - u 1
u 0 không là nghiệm phương trình
u = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Khi đó x = 4 - 0 = 4
Vậy x = 4 là nghiệm phương trình
Nhận xét: Khi gặp phương trình dạng ( )
) (
) (
x v
x u
a thì không phải lúc nào cũng giải quyết được như phương trình (*) mà nếu u(x) - v(x) = f(x) thì phương trình sẽ được viết lại là ( ) ( )
) (
) (
x v
x u
a rồi sử dụng phương pháp hàm số
* Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1 log3( x 2 ) log2( x 1 )
Trang 52 3 x 7x
3 4 x 8 x 4 x
log
4 log7x log3( x 2 )
5 log ( 2 4 ) log28 ( 2 )
2 x x x
II Dạng 2 Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình logarit thành phương trình với 1 ẩn phụ.
Dạng này được áp dụng đối với những phương trình mà sau khi đặt 1 số hạng trong phương trình bằng t thì các số hạng còn lại liên quan đến ẩn có thể đưa thành tk hoặc 1t , đặc biệt phương pháp này rất hay được sử dụng ở những phương trình logarit có chứa tham số
Ví dụ 1: (Đại học khối A năm 2008).
Giải phương trình: log ( 2 1 ) log ( 2 1 ) 2 4
) 1 (
2 ) 1 2 ( x x x x x (1) Giải:
Điều kiện xác định: x
2
1
; x ≠ 1 (1) log(2x1)2x - 1x 1 log ( 2 1 ) 2 4
) 1
log(2x1)x 1 2 log(x1)( 2x 1 ) 3
Đặt t = log(2x1)x 1 với t ≠ 0
Phương trình viết theo t thành: t + 2 3
t t2 - 3t + 2 = 0 Giải phương trình được t = 1 và t = 2
- Với t = 1, tìm được x = 2
- Với t = 2, tìm được x = 45
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 2 và x = 45
Ví dụ 2: (Cao đẳng khối A - 2008)
Giải phương trình: log 2 ( 1 ) 6 log2 1 2 0
2 x x (2) Giải:
Điều kiện xác định: x -1
(2) log 2 ( 1 ) 3 log2( 1 ) 2 0
2 x x
Trang 6Đặt t = log2(x 1 ), phương trình viết theo t thành
t2 - 3t + 2 = 0
2
1
t t
- Với t = 1 thì log2(x 1 )=1 x = 1
- Với t = 2 thì log2(x 1 ) x = 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 3
Ví dụ 3: (Đại học khối A - 2002)
Giải phương trình log log 2 1 5 0
3 2
3x x (3) Giải:
Điều kiện xác định x 0
Đặt t = log 2 1
3x với t 1
Phương trình (3) viết theo t thành: 2 6 0
t t
Giải phương trình với điều kiện t 1, tìm được nghiệm t = 2
Khi đó log 2 1
3x = 2
3 log
3 log
3
3
x
x
3 3
3
3
x x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 3 3 và 3 3
x
* Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1 log ( 2 2 ) log 2 2 1
2 log22log2(4x)3
x
3 log 14log 40log4 0
3 16 2
2
x
4 log2( 5x 1 ) log4( 2 5x 2 ) 1
5 log 5 log 2 1
5
x
x
6 log2( 3x 1 ) log2( 2 3x 2 ) 2
7 logx2 ( 2 x) log 2x x 2
8 log ( 3 4 2 ) 1 log ( 3 2 4 2 )
3 2
9 x x x x
III Dạng 3 Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình logarit ẩn x thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa x.
Trang 7Có những phương trình khi đặt ẩn phụ thì không chuyển phương trình hoàn toàn theo ẩn phụ mới Khi đó, ta để phương trình với 2 ẩn và coi 1 ẩn phụ là tham số Trong những trường hợp này, ta hãy chuyển về một phương trình bậc 2
có biệt thức là số chính phương
Ví dụ 1: Giải phương trình:
16 ) 2 ( log ) 2 ( 4 ) 2 (
log
)
3
Giải:
Điều kiện xác định: x -2
Đặt t = log3(x 2 )
Phương trình (1) trở thành (x+3)t2 + 4(x+2)t – 16 = 0
’ = [2(x + 4)]2
3 4 4
x t t
- Với t = -4 thì log3(x 2 ) = -4
x 16181
- Với t = 43
x thì log3(x 2 ) = 43
x (*) Nhận thấy x = 1 là nghiệm của (*)
+ Với x 1 thì
1 3 4
1 ) 2 (
log 3
x
x
Nên x 1 không phải là nghiệm của phương trình (*)
+ Với x 1 thì
1 4 1 ) 2 ( log3
x x
Nên x 1 không phải là nghiệm của phương trình (*)
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
Ví dụ 2: Giải phương trình: lg 2 lg log2( 4 ) 2 log2 0
Giải:
Điều kiện xác định: x 0
Phương trình (2) trở thành
0 log 2 lg ) log
2
(
x
Đặt t = lgx Khi đó phương trình thành 2 ( 2 log2 ) 2 log2 0
t
2 ) log 2
Trang 8
x t
t
2 log
2
2 lg
lg lg
2 lg
x x
x
0 lg
2 lg
x
x
1
100
x x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 100
* Các bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1 lg 2 ( 2 1 ) ( 2 5 ) lg( 2 1 ) 5 2 0
x
2 log 2 2 ( 3 ) log2 2 7 0
2x x x x
3 ( 3 ) log 2 ( 2 ) 4 ( 2 ) log3( 2 ) 16 0
x
4 log 2 ( 4 ) log2 3 0
2x x x x
5 log 2 ( 1 ) ( 5 ) log3( 1 ) 2 6 0
6 lg 2 ( 2 1 ) ( 2 5 ) lg( 2 1 ) 5 2 0
x
7 ( 2 ) log 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) log3( 1 ) 16 0
x
IV Dạng 4 Dùng 2 ẩn phụ để chuyển phương trình logarit thành một phương trình với 2 ẩn phụ mới.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 3 3
2
2
1
2
2
x x x
x
x
x
(1) Giải:
Đặt u = 2x2 3x 3, v = x2 x 1
u – v = x2 – 3x + 2
Phương trình viết theo u, v thành u v
u
v
3
log
u
v
3
log
log3v log3uu v
log3vv log3uu (*)
Xét hàm số f(t) = log 3t t với t 0
Có f’(t) = 1
3 ln
1
t 0 với t 0
hàm số f(t) đồng biến và liên tục với t 0
Do đó (*) u = v
Trang 9 2x2 – 2x + 3 = x2 + x + 1
2
1
x x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
Nhận xét: Việc phát hiện ra cách đặt ẩn phụ khác nhờ nhận thấy mối quan hệ
của biểu thức trong dấu logarit và vế phải
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 log
log ( 2 2 ) 1
)
2
2
Giải:
Điều kiện xác định: x 0
Đặt t = log2x x = 2t
Phương trình (2) viết lại theo t thành ( 2 2 )t 2t( 2 2 )t 1 4t
Đặt u = ( 2 2 )t
v = 2t( 2 2 )t
u + v = 1 + uv
(u - 1)(1 - v) = 0
1
1
v
u
t = 0 log2x=0 x = 4
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
2
2 x x x x (3)
Giải:
Điều kiện xác định: x 1
Phương trình (3) log( ) log log ( 2 ) 2 0
2 2
2 2
x x x x
x x
Đặt
x v
x x u
2
2 2
log
) (
log
Khi đó phương trình tương đương với: 2u + v – uv – 2 = 0
(u - 1)(v - 2) = 0
2
1
v
u
2 log
1 ) (
log
2
2 2
x
x x
4
2
x x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
x x
x x
3
2 log ( 1 ) 2 log (4)
Giải:
Trang 10Điều kiện xác định: x 0
Phương trình (4) 2 1 log log ( 2 1 ) log33
3 3
2
x
2 1 log 3 log ( 2 1 )
3 3
x
Đặt u = x2 + x + 1, v = 3x
Khi đó phương trình viết theo u, v thành:
u v
v
u log3 log3
v log3vu log3u
Xét hàm số f(t) = t log3t trên (0; +∞)
' ( ) 1 ln13
t t
f 0 t 0
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên (0; +∞)
Suy ra f(u) = f(v) u = v
x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
* Các bài tập tương tự:
Giải phương trình:
3 4 2
1
2
2
x x x
x
x
2 log ( 3 ) log ( 2 2 4 5 ) 2 3 2
3
2
3
2
log x x x x x
4
1
1 9 2 lg 2 ) 1 lg(
) 1 9 2 lg(
) 1
2 3 2
2 3 2
x
x x x x
x x x x
5 log 2 log2 log3 log2 log3 0
6 lg( 2 6 ) 2 lg( 3 ) 6
x
V Dạng 5 Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình logarit thành một hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x.
Đối với những phương trình có thể biến đổi về dạng f(x; (x)) = 0 thì đặt
0 )
; (
) (
y x f
x
y
Các hệ thu được thường là các hệ đối xứng
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1 1 log
Trang 11Điều kiện xác định: x 0
Đặt u log2x với u -1 thì phương trình viết theo u thành:
1
1
2
u
-1 u 1
Đặt v = u 1 với điều kiện 0 u 2
Khi đó phương trình chuyển thành hệ
v v
u u
1
1
2
2
u2 – v2 = v - u
(u + v)(u + v + 1) = 0
0 1
0
v
u
v
u
1
v u
v u
- Xét u = -v được phương trình
u2 – u – 1 = 0
2
5 1
2
5 1
u
u
5 1
2
x
- Xét u – v = 0 được phương trình u2 + u = 0
1
0
u
u
2 1
1
x x
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 2, x21, 2
5 1
2
x
Ví dụ 2: Giải phương trình 7 1 6 log7( 6 5 ) 1
x
Giải:
Điều kiện xác định: x 65
Đặt y 1 log7( 6x 5 )
Khi đó phương trình chuyển thành hệ:
) 5 6 ( log
1
1 ) 1 (
6
7
7 1
x y
y
x
5 6 7
5 6
7
1 1
x y
y x
7x-1 + 6x = 7y-1 + 6y (2)
Xét hàm số f(t) = 7t-1 + 6t là hàm đơn điệu
Do đó từ (2) x = y
Khi đó (1) có dạng 7x-1 = 6x – 5
(1)
Trang 12 7x-1 - 6x + 5 = 0
Đặt g(x) = 7x-1 - 6x + 5 trên miền D = ( 65 ; +)
g’(x) = 7x-1ln27 0 x D
Phương trình g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trên D Nhận thấy g(1) = g(2) = 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
* Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1 lgx 1 lg 2x 4 lgx 5
2 3 log 1 4 log 2 13 log2 5
2
2
3
log x x
4 6x 3 log6( 5x 1 ) 2x 1
Trang 13PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1 Kết quả nghiên cứu.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra 2 đối tượng có chất lượng tương đương là lớp 12K và lớp 12M trường THPT Ba Đình, trong đó lớp 12M chưa được giới thiệu phương pháp đặt ẩn phụ trên để giải toán Với hình thức kiểm tra là làm bài 45 phút với câu hỏi như sau:
ĐỀ KIỂM TRA (45 phút)
Giải các phương trình sau:
a) xlog29 x2 3 log2x xlog23
b) 2 x x
1 ) ( log3
c) log4( 5x 2 ) log7( 3 2 5x 2 )
d) log ( 4 12 9 ) log ( 6 2 23 21 ) 0
) 3 2 (
2 ) 7 3
Kết quả thu được như sau:
Lớp Sĩ số Số lượng Điểm 5 % Số lượng Điểm [5;8) % Số lượng Điểm [8;10] %
2 Bài học kinh nghiệm
Qua đề tài, tôi thu được 1 số bài học sau:
- Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với các cách giải khác nhau
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày chặt chẽ, cô đọng
KẾT LUẬN
Trang 14Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trên để giải toán tạo điều kiện cho học sinh sự linh hoạt, sáng tạo trong giải toán, cho bài toán lời giải ngăn gọn, sáng sủa hơn
Tôi đã ứng dụng sáng kiến này cho các buổi ôn thi đại học ở các lớp 12K, 12M trường THPT Ba Đình đã cho kết quả tốt
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới giải quyết 1 số dạng toán Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có 1 cách khác thác tốt cho các bài toán thuộc thể loại này Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nga Sơn, ngày 1 tháng 5 năm 2011
Tác giả
Mai Thị Hiền