SKKN: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác

Sáng kiến “Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác” giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em. Mời quý thầy cô và các em tham khảo sáng kiến trên.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI

- * * * -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

" SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC"

Môn: Toán

Người thực hiện : Vũ Thị Kim Oanh

Giáo viên môn Toán

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Năm học : 2011 – 2012

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản của chương trình Đại

số và giải tích 11 nói riêng và chương trình Toán phổ thông nói chung Có nhiều cách

để giải một phương trình lượng giác - một trong những cách thường sử dụng là: Phương pháp đặt ẩn phụ Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành, chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ khi giải các phương trình lượng giác nên học sinh bước đầu còn khó khăn khi vận dụng Song một số bài toán lượng giác giải bằng phương pháp này sẽ đơn giản và tối ưu hơn các phương pháp khác, hơn nữa trong các đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất hiện các loại toán này Vì vậy, tôi viết

đề tài này để giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính cần làm rõ sau:

1 Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện

2.Kết hợp nghiệm

3 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác

Với mỗi nội dung được trình bày theo một hệ thống lô gíc chặt chẽ từ các bài toán đơn giản, đến phức tạp phân tích vấn đề Từ đó hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Các kiến thức về phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT

IV ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM :

1 Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh 11 chương trình cơ bản

2 Ôn thi ĐH

V PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU :

1 Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT số 2 Thành phố Lào Cai

2 Kế hoạch nghiên cứu:

- Thời gian bắt đầu: Tháng 09 năm 2011

- Thời gian hoàn thành: Tháng 12 năm 2011

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài

- Quan sát, điều tra

- Tổng kết kinh nghiệm

- Lập bảng biểu, thống kê …

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ KHOA HỌC

1 Cơ sở lý luận.

* Các công thức biến đổi lượng giác

a) Công thức cộng:

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

tan( ) tan tan

1 tan tan

a b





b) Công thức nhân đôi:

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a ; sin2a = 2sinacosa

a

a

c) Công thức hạ bậc: 2 1 cos 2

cos

2

a

a  ; 2 1 cos 2

sin

2

a

a 

d) Công thức biến đổi:

- Tích thành tổng:

cos cos 1cos( ) cos( )

2

a b a b  a b

sin sin 1cos( ) cos( )

2

a b a b  a b

sin cos 1sin( ) sin( )

2

a b a b  a b

- Tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

* Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình sinx = a :

- Trường hợp a  : Phương trình vô nghiệm 1

- Trường hợp a  : 1

Phương trình có các nghiệm là: 2 ( )

2

k Z

 

  

 





   

Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2

  



  







thì ta viết  arcsina Khi

2

k Z









arcsina

b) Phương trình cosx = a :

- Trường hợp a  : Phương trình vô nghiệm 1

- Trường hợp a  : 1

Phương trình có các nghiệm là:x   k2 (k Z ) với cosa

Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 0

 



 



 os thì ta viết  arccosa Khi đó, phương trình có các nghiệm là: x arccosak2 (k Z )

c) Phương trình tanx = a :

- Điều kiện của phương trình :

2

x k

(k Z )

Phương trình có các nghiệm là: x  k (k Z ) với tan  a

Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2

  



  







thì ta viết  arctana Khi

đó, phương trình có các nghiệm là: xarctanak (k Z )

d) Phương trình cotx = a :

- Điều kiện của phương trình : x k  (k Z )

Phương trình có các nghiệm là: x  k (k Z ) với cot  a

Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 0

 



 



 thì ta viết  arccota Khi đó,

phương trình có các nghiệm là: xarccotak (k Z )

2 Cơ sở thực tiễn

Phần lý thuyết về cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ trong sách giáo khoa hiện hành được viết lồng vào cách giải của một phương trình lượng giác cụ thể nên chưa được tách biệt rõ Các kiến thức có liên quan về phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được trình bày khá đơn giản, hệ thống

ví dụ chưa phong phú Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng còn gặp nhiều khó khăn Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít và không đa dạng nên gây khó khăn cho học sinh khi ôn tập về dạng toán này đặc biệt là ôn thi Đại học – Cao đẳng

Qua khảo sát thực tiễn đối với 40 học sinh lớp 11, kết quả đạt được như sau:

II MÔ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP

1 ĐẶT ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN

- Đối với việc giải phương trình lượng giác bước đặt điều kiện cho phương trình là một bước làm quan trọng không thể bỏ qua, nó quyết định việc tìm ra nghiệm là đúng hay sai

- Hầu hết các bài tập ta đều đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn Song một số bài tập ta chỉ cần đưa ra điều kiện trung gian mà không cần đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn vì điều đó

là không cần thiết hoặc phức tạp

Ví dụ 1: Giải phương trình:

1 cot

) sin (cos 2 2 cot tan

1







x x x

Giải:

Điều kiện :











































1 cot

0 2 sin

0 2 sin

0 cos

0 sin

0 1 cot

0 2 cot tan

x x

x x x x

x x

(*)

Với điều kiện (*) :

x x

x

x x

x x x x

x x

x x

x

2 sin

1 2

sin cos

) sin 2 1 ( cos cos sin 2 sin 2

sin

2 cos cos

sin 2 cot tan

2















x

x x x

sin

sin cos 1

Do đó:

2

2 cos sin

cos

sin ).

sin (cos 2 2 sin )

1







x x

x x x x

Kết hợp với điều kiện (*) ta được :  2

x  , kZ

Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là  2

x   , kZ

*, Như vậy: Với cách đặt điều kiện dưới dạng điều kiện trung gian (*) đã giúp ta giải bài toán dễ dàng hơn vì việc tìm ra điều kiện của x thoả mãn (*) khá phức tạp trong khi giải phương trình ta chỉ cần kiểm tra điều kiện dưới dạng hệ điều kiện (*) là đủ

- Khi giải phương trình lượng giác thì bước kiểm tra điều kiện cũng là một trong những bước quan trọng giúp ta định hướng lời giải và tìm ra những nghiệm đúng của phương trình đã cho

Bước kiểm tra điều kiện chỉ đơn thuần là so sánh xem ẩn tìm được đã thoả mãn điều kiện đặt ra hay chưa?

Song với một số bài tập bước kiểm tra điều kiện không chỉ có vậy, nó còn bao gồm

cả việc kiểm tra ẩn và một số yếu tố có liên quan đến ẩn khác nữa có thoả mãn giả thiết của bài toán đưa ra hay không?

Ví dụ 2: Cho

4

5 2 10

x với 0 0  x 90 0 Hãy tìm sin x, từ đó suy ra x

Giải:

Ta có :

+,

4

5 2 6 16

5 2 10 1

x

Vì 00  x900 nên sinx 0 do đó

4

5 2 6

x

+,

4

5 2 10 cos

sin

2

2

sin x x x  ; cos2xcos2xsin2x1 5

+,

4

5 2 10 2

cos 2 sin

2

4

Như vậy:























5

2 5

3

2 cos

4

sin







k x

k x x

Vì 0 0  x 90 0 nên













0

0

30

18

x x

2

3 30

4

5 2

10  nên x300 không thoả mãn

Kết luận : Phương trình đã cho có một nghiệm là x = 180

*, Đối với bài tập này trong quá trình giải phương trình ta đều kiểm tra điều kiện

0

0  x Tuy nhiên: Khi tìm được sin x rồi suy ra x thì chỉ kiểm tra điều kiện

0

0  x là chưa đủ vì có x300 không thoả mãn Mà ta còn kiểm tra cả điều kiện



0

30

cos

4

5 2

10  , đây là điều kiện của giá trị lượng giác của x chứ không phải là

điều kiện của x

2 KẾT HỢP NGHIỆM

- Giải phương trình lượng giác là một dạng toán khó, nó không chỉ gây cho ta khó khăn khi tìm điều kiện, tìm phương pháp giải mà một trở ngại thường gặp phải đó là việc kết hợp nghiệm

- Với một số bài tập việc tìm điều kiện, tìm phương pháp giải rất đơn giản song việc kết hợp nghiệm lại khá phức tạp, trong khi câu trả lời về nghiệm của phương trình lại không thể đưa ra dưới dạng một hệ điều kiện mà trong đó có những giá trị của nghiệm trùng nhau ở các điều kiện trong hệ đưa ra

- Để giải quyết khó khăn trên ta sử dụng một công cụ rất hữu hiệu đó là đường tròn lượng giác, người giải chỉ cần nắm rõ quy tắc biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Ví dụ 3: Giải phương trình: cosx sin 3x 0 (2)

Giải:

+, Trường hợp 1: cosx 0    2

2 2

Với điều kiện (*), phương trình (2) trở thành :





























































2 8

4 0

) 2 4 cos(

0 ) 4

sin(

0 3 sin ) 2 sin(

0 3

sin

cos















n x

l x

x

x x

x x

Kết hợp với (*) ta được















































2 8 3

2 8

2 4

m x

m x

m x

, mZ

+, Trường hợp 2: cosx 0    2

2

3 2

Với điều kiện (**), phương trình (2) trở thành :



























































2 8

4 0

) 4 cos(

0 ) 4 2 sin(

0 3 sin ) 2 sin(

0 3 sin

cos















n x

l x x

x x

x x

(l,nZ)

Kết hợp với (**) ta được











































2 8 10

2 8 9

2 8 5

m x

m x

m x

, mZ

Kết Luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là  2



8

8

8

4

x  , kZ

*, Qua bài tập này ta thấy việc định hướng và tìm ra lời giải tương đối dễ dàng song

việc tìm ra nghiệm của phương trình thì phức tạp hơn nhiều và ta phải sử dụng đường

tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trong từng trường hợp và tìm ra nghiệm cuối cùng

của phương trình

y

x

O

y

x

O

3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Khi giải phương trình lượng giác ta thường gặp một số các phép đặt ẩn phụ sau:

1 Đặt

2 tanx

t khi phương trình có dạng f(sinx,cosx)0

2 Đặt ttanx khi phương trình có dạng f(sin 2x, sin 2x)  0

3 Đặt t tanx cotx, t  2 khi phương trình đã cho là phương trình đối xứng của

x

tan và cotx

4 Đặt t sin x , t  1 khi phương trình có dạng f(sinx, cos 2x)  0

5 Đặt t cos x , t  1 khi phương trình có dạng f(cosx,cos2x)0

6 Đặt t cos 2x , t  1 khi phương trình có dạng f(sinm x, cosn x)  0

7 Đặt

x

t

cos

1

 , t  1 khi phương trình có dạng , tan ) 0

cos

1

x f

8 Đặt

x

t

sin

1

 , t  1 khi phương trình có dạng , cot ) 0

sin

1

x f

9 Đặt t sinx cosx , t  2 khi phương trình có dạng f(sinxcosx,sin2x)0

10 Đặt

) (

1 ) (

x f x f

t  khi phương trình có dạng

) (

1 ) ( , ) (

1 ) (

x f x f x f x

f

g

Ví dụ 4: Giải phương trình: ( 21)(sinxcosx)2sinx.cosx1 20 (3)

Giải:

Đặt t sinx cosx , t  2 thì 2sinx.cosx  t21

Khi đó : phương trình (3) trở thành





















2

1 0

2 ) 1 2

(

2

t

t t



































2

2 1

) 4 cos(

2 1 cos sin

k x

k x

x x

4

5 2

) 4 cos(

2 2 cos

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là x k

4

5

k

Z

k

*, Qua ví dụ trên ta thấy với phương pháp đặt ẩn phụ , đặt t sinx cosx (t  2) thì bài toán trở nên đơn giản và dễ giải hơn

Tuy nhiên: Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thì một số phếp biến đổi là không tương đương, do đó sau khi tìm được giá trị của ẩn phụ ta cần phải kiểm tra lại điều kiện Và một điều cần chú ý nữa là : Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ta cần phải chỉ ra điều kiện đối với ẩn phụ, việc làm này rất quan trọng vì nó giúp ta giải bài toán nhanh hơn khi loại được một số giá trị không phù hợp và đặc biệt là đối với các bài toán giải và biện luận thì nó giúp ta định hướng đúng và có câu trả lời chính xác

Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình sau có nghiệm?

2a(sinx cosx)  sin 2xa2  0 (4) (a là tham số)

Giải:

Đặt t sinx cosx , t  2 thì sin 2x  t2  1

Khi đó: phương trình (4) trở thành t22ata210 (4’)

Ta có :   1  0nên phương trình (4’) có 2 nghiệm là 











 1

1

a t

a t

2 1 2

2 1 2



























a

a t

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm khi  2  1 a 2  1

*, Qua ví dụ trên ta thấy, điều kiện của ẩn phụ có vai trò rất lớn trong quá trình giải quyết bài toán, nó giúp ta có lời giải chính xác và đầy đủ Như vậy: nếu ta không đưa

ra điều kiện t  2 thì việc trả lời câu hỏi “điều kiện để phương trình có nghiệm?” gặp rất nhiều khó khăn vì ta phải đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải quyết tiếp

*, MỘT SỐ BÀI TẬP :

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1, 3 sinx 2 cosx 1  0

Giải:

Nhận thấy x 2 không phải là nghiệm của phương trình

Đặt

2

tanx

1

2 sin

t

t x



1

1 cos

t

t x







Khi đó: phương trình đã cho trở thành





























3

3 2 3 3

3 2 3 0

1 6

3 2

t

t t

t

Với

3

3 2

3 



x

Với

3

3 2

3 



x

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là 2arctan3 2 3 2

3

3 2 3

3

2, sin 2x(tanx 1 )  3 (cosx sinx)  3 (2)

Giải:

Điều kiện : cosx 0 x k

2 (*) , kZ

Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos2x, ta được :

x x

x x

x x

x x

x

x

2 2

2

cos

1 3 ) cos

sin cos

cos (

cos

sin 3 ) 1 (tan

cos

 tan 2x(tanx 1 )  3 tanx( 1  tanx)  3 ( 1  tan 2x) (2’)

Đặt t tan x thì phương trình (2’) trở thành































3 3

1 0

3 3

2

3

t t

t t

t

t

Khi đó :





































































n x

n x

n x

x x x

3 3

4

3 tan

3 tan

1 tan

, nZ ( thoả mãn điều kiện (*) )

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là x  k





k

x  

3, cos2x2cos2x10 (3)

Giải:

Ta có : ( 3 )   2 cos 2x 1  2 cos 2x 1  0  4 cos 2x 1  0 (3’)

Đặt t cos x , t  1 thì phương trình (3’) trở thành

























2 1 2

1 0

1

4 2

t

t

Khi đó :





















































2 3 2

2 3 2

1 cos

2

1 cos

k x

k x

x

x

, kZ

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là  2

3

4, sin 2x 2 2 (sinx cosx)  3  0 (4)

Giải:

Đặt t sinx cosx , t  2 thì sin 2x 1 t2

Khi đó : phương trình (4) trở thành t2  2 2t 2  0 t 2

4

3 2

) 4 sin(

2 2 cos

Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là  2

4

5, 2 sin 2 2x 5 cos 2x 5 (5)

Giải:

Ta có : ( 5 )  2 ( 1  cos 2 2x)  5 cos 2x 5  2 cos 2 2x 5 cos 2x 3  0 (5’)

Đặt t cos 2x , t  1 thì phương trình (5’) trở thành

























2 3

1 0

3 5

2 2

t

t t

(loại)

Với t  1 ta có : x  x k

2 1

2

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là x  k

2

3 ) 4 3 sin(

).

4 cos(

sin

cos 4x 4x x x   (6)

Giải:

2

3 ) 4 cos 2 (sin 2

1 cos sin 2 1 )

6

Đặt t sin 2x , t  1 thì phương trình (6’) trở thành



















2

1 0

2

2

t

t t

Với t 1 ta có : x x k

4 1

2

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là x  k

7, tan 2x cot 2x 3 tanx 3 cotx 4  0 (7)

Giải:

Điều kiện:

2



k

x (*) Đặt ttanxcotx, t  2 thì tan2xcot2xt2 2

Khi đó : phương trình (6) trở thành





















2

1 0

2 3

2

t

t t

t

Với t  2 ta có :

x

x

4 1

2 sin 1 2 sin 2 1

1 2

cot

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là x  k

8, sin 4x ( 1  sinx) 4  17 (8)

Giải:

Đặt

2

1 sin 

2

1 2

 t thì

2

1 sinx  t

Khi đó : phương trình (8) trở thành

(loại) (thoả mãn)

(thoả mãn) (loại)