PHƯƠNG PHÁP GIẢI các DẠNG hàm số (2)

PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT:  Mode 7 và nhập hàm số đề cho và máy tính  Nhập khoảng Start, End ta nhập như các TH sau Giải thích: Mode 7 là chức năng thay các giá trị mà ta nhập vào hàm số F(x). Start là giá trị mà bắt đầu thay, end là giá trị cuối cùng thay, step là khoảng cách của 2 giá trị gần nhau. Ví dụ step là 1 thì các giá trị sẽ chạy là 9, 8, 7 ....... 7, 8, 9; nếu step là 0.5 thì sẽ là 4.5, 4, 3.5......3.5, 4, 4.5 i. Nếu thấy đáp án có xuất hiện ∞, +∞ và max ≥ 5, min ≤ 5 thì start: 9, end: 9, step:1 Ví dụ: A: (∞;5) B: ( 6;0) C: (0;6) D: ( 5; +∞) ii. Nếu thấy đáp án có xuất hiện ∞, +∞ và max < 5, min > 5 thì có thể nhập như trên nhưng ưu tiên start: 4.5, end; 4.5, step: 0.5 Ví dụ: A: (∞; 4) B: (1;2) C: (3:3) D: (3;+∞) Hoăc: A: (3;0) B: (0;3) C: ( 3;4) D: (3;3) iii. Nếu đáp án lẻ hoặc max < 2, min >2 thì ta lấy min là start, max là end và (max+|min|):18 là step Cách lấy khoảng start, end này phù hợp với tất cả các bài toán dùng Mode 7 từ hàm số, giải bpt mũ, loga......  Đọc bảng: Kết hợp với đáp án xem khoảng nào cột F(x) tăng là đồng biến, giảm là nghịch biến Ví dụ 1: Hàm số y = x 3 + 3x2 1 đồng biến trên khoảng: A: (∞:1) B: (0;2) C: (2;+∞) D: R Giải 1. Mode 7 và nhập hàm số để cho vào F(x)= 2. Start: 4.5, End: 4.5, Step: 0.5 3. Hiện lên bảng sau ta sẽ thấy x F(x) 4.5 150.87 4 111 ..... .... 0.5 0.125 0 1 0.5 0.375 1 1 1.5 2.375 2 3 2.5 2.125 3 1 .... .... 4.5 31.75 Nhìn bảng ta thấy từ 0 đến 2 là hàm số tăng là đồng biến. Sau đó từ 2.5 nó luôn giảm nên nghịch biến. Vậy đáp án là B: (0;2) .... Nhìn có vẻ dài dòng nhưng khi đã quen và bấm máy nhanh thì chỉ mất 30s cho 1 câu như trên Ví dụ 2: Các khoảng đồng biến của hàm số: y = x3 5x2 +7x 3 A: (∞:1) và ( 7 3 ;+∞) B: (1; 7 3 ) C: 5;7 D: (7;3) Giải 1) Mode 7 và nhập hàm số đề cho vào máy 2) Start 5, end 7 ,step (7+5):18 3) Nhìn bảng ta thấy hàm số chỉ giảm từ 1 đến 73 suy ra hàm số tăng từ âm vô cực đến 1 và từ 73 đến dương vô cực. Vậy đáp án là A

Trang 1

A) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I) KIẾN THỨC CƠ BẢN

Giả sử hàm số y f x( ) có tập xác định D

x Hàm số f đồng biến trên D yc t 0, x D và y 0c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc

D

x Hàm số f nghịch biến trên D yc d 0, x D và y 0c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D

x Nếu y ax' 2bx c a ( z0) thì:

+ y' 0, x R a 0

0 '

!

0 '

d ® d¯

x Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( ) ax2bx c a ( z0):

+ Nếu ' < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu ' = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ x b

a

) + Nếu ' > 0 thì g x( ) có hai nghiệm x x1, 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu với

S

0

'

t

°

¯

S

0

'

t

°

° !

¯

+ x1 0 x2 P 0

x

a b

( ; )

( )d , ( ; )max ( )d ;

a b

( ; ) ( )t , ( ; )min ( )t II) CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác

+ y' 0, x R a 0

0 '

!

0 '

d ® d¯

2 Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) ax3bx2cx d đơn điệu trên khoảng ( ; )a b

Ta có: yc f xc( ) 3ax22bx c .

a) Hàm số f đồng biến trên ( ; )a b yc t a b0, x ( ; ) và y 0c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b

Trường hợp 1:

x Nếu bất phương trình f xc( ) 0t h m( )tg x( ) (*)

a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a

x So sánh các nghiệm x x1, 2 của tam thức bậc hai g x ( ) ax2 bx c với số 0:

định).

x Hàm số f đồng biến trên D yc 0,t x D và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc

D

x Hàm số f nghịch biến trên D yc 0,d x D và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D

x Nếu y a' x2 bx c (a z0) thì:

Trang 2

thì f đồng biến trên ( ; )a b h m g x

( ; )

( ) max ( )t

a b

x Nếu bất phương trình f xc( ) 0t h m( )dg x( ) (**)

thì f đồng biến trên ( ; )a b h m g x

( ; )

( ) min ( )d

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f xc( ) 0t không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a Khi

đó ta có: y g tc ( ) 3at22(3aDb t) 3 aD22bDc

– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ; )f a g t( ) 0,t t 0

a a

S P

0

' '

!

°°

t

°¯

– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ;af) g t( ) 0,t !t 0

a a

S P

0

' '

!

°°

t

°¯

x Nếu bất phương trình f xc( ) 0d h m( )tg x( ) (*)

thì f nghịch biến trên ( ; )a b h

( ; ) a b

x Nếu bất phương trình f xc( ) 0t h m( )dg x( ) (**)

( ; )

( ) min ( )d

a b

a a

S P

0

' '

°°

t

°¯

a a

S P

0

' '

°°

t

°¯

x f đơn điệu trên khoảng ( ; )x x1 2 y 0c có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, z® !¯a 0' 0 (1)

x Biến đổi x x1 2 d thành (x1x2)24x x1 2 d2 (2)

x Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

x Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

4 Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c a d

dx e

2

(2), ( , 0)

b) Hàm số f nghịch biến trên ( ;a b ) yc 0,t x ( ;a b ) và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ;a b )

Trường hợp 1:

m ( ) t max g(x)

thì f nghịch biến trên ( ;a b ) h Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f xc( ) d 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a Khi

đó ta có: y g( )c t 3at22(3a )D b t 3 aD2 b 2 D c

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ;af ) g t( ) 0,d t 0

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ;f)a g t( ) 0,d t !0

3 Tìm điều kiện để hàm số y f ( ) x ax b3 x cx d2 đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng

k cho trước.

Trang 3

a) Đồng biến trên ( ; )fD

b) Đồng biến trên ( ;D f)

c) Đồng biến trên ( ; )D E

Tập xác định: D R e

d

\® ½¾

adx aex be dc f x y

2

Nếu: f x( ) 0t g x( )th m( ) ( )i

a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )fD

e

d

g x( ) h m( ), x

D

®

¯

e

d

( ; ]

( ) min ( )

D

f

t

°

®

d

°

¯

a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )fD

e d

t

0, D

®

¯

a a

ii

S

0

( )

0

!

°°

®' d ® !

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ;D f)

e

d

g x( ) h m( ), x

D

®

¯

e

d

[ ; )

( ) min ( )

D

f

d

°

®

d

°

¯

e

g t( ) 0, t 0 ( )iii

D

®

¯

a a

P

0

!

°°

®' d ®

t

°¯

c) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )D E

e

d

g x h m

; ( ) ( ), ( ; )

D E

®

¯

e

d

h m( ) min ( )g x

°

®

d

°

¯

x Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y 0c có 2 nghiệm phân biệt

x Hoành độ x x1 2, của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0c

x Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm

– Phân tích y f x q xc( ) ( )h x( )

– Suy ra y1 h x y( ),1 2 h x( )2

Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y h x( )

Nếu bpt:f x( ) t 0 không đưa được về dạng (i)

thì ta đặt: t x D Khi đó bpt:f x( ) t 0 trở thành: g t( ) t 0, với:

g t() adt22a(dDe )t ad D2 ae2 Dbedc

g t( ) 0 (ii)

°¯P t

b) (2) đồng biến trên khoảng D( ;f)

d

x 

[ ; D E ]

;

D E

B) CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 4

x Gọi D là góc giữa hai đường thẳng d y k x b d y k x b1: 1 1, 2: 2 2 thì k k

k k

1 2

tan 1

a II) CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d y px q: .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k p (hoặc k

p

1 )

– Giải điều kiện: k p

kp tan 1

– Giải điều kiện S'IAB S

d

I d

'

A

®

trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB

7 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước.

2 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

:

d y px q một góc a .

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

a (Đặc biệt nếu d { Ox, thì giải điều kiện:

3 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại

hai điểm A, B sao cho ' 'IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Viết phương trình đường thẳng ' đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Tìm giao điểm A, B của ' với các trục Ox, Oy

4 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho 'IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

5 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho

trước.

– Gọi I là trung điểm của AB

– Giải điều kiện:

5 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho

trước.

– Giải điều kiện: d A ( ,d) d(B,d)

6 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A,

B là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực

Trang 5

– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.

8 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 f( ; )D hoặc K2 ( ;D f).

y' f x( ) 3ax22bx c

Đặt t x a Khi đó: y g t' ( ) 3at22(3aDb t) 3 aD22bDc

9 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả:

a) x1 D x2 b) x1x2D c)Dx1x2

II) CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Tìm điều kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.

Hàm số có cực trị thuộc K1 f( ; )D Hàm số có cực trị thuộc K2 ( ;D f)

Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )fD

f x( ) 0

có nghiệm trên ( ; )fD .

g t( ) 0

có nghiệm t < 0

P

S

P

0 ' 0 0 0

ª

«' t

«

° «®

° t

«¯

¬

Hàm số có cực trị trên khoảng ( ;D f)

f x( ) 0

có nghiệm trên ( ;D f).

g t( ) 0

có nghiệm t > 0

P S P

0 ' 0 0 0

ª

«' t

«

° !«®

° t

«¯

¬

S P

' 0 0 0

' !

°

®

° !

¯

S P

' 0 0 0

' !

°

® !

° !

¯

y' f (x ) 3a x 2bx 2 c

Đặt t x a Khi đó: y g' (t ) 3at 2(3a b)t 32 D aD22b D c

C) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ

x Cho hai đồ thị (C1): y f ( ) x và (C2): y g( ) x Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f x ( ) g( ) x (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

x Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: y f ( ) x ax b3 x cx d2 với trục hoành bằng

số nghiệm của phương trình ax3bx2 cx d 0 (1)

a) Hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả x1 D x2

g t( )

0 có hai nghiệm t t1 2, thoả t1 0 t2 P 0

b) Hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả x1x2D

g t( )

0 có hai nghiệm t t1 2, thoả t1 t2 0

c) Hàm số có hai cực trị x 1 , x 2 thoả Dx1x2

g t( )

0 có hai nghiệm t t1 2, thoả 0 t1 t2

Trang 6

CĐ CT

f không có cực trị

f có cực trị

y y2 0

ª

«

«¯

¬

Phương trình (1) cĩ 1 nghiệm duy nhất

2 Tìm điều kiện để đồ thị (C) và trục hồnh cĩ 2 điểm chung phân biệt.

 (C) tiếp xúc với Ox 

CĐ CT

f có cực trị

y y2 0

®

¯ Phương trình (1) cĩ đúng 2 nghiệm

3 Tìm điều kiện để đồ thị (C) và trục hồnh cĩ 3 điểm chung phân biệt.

CĐ CT

f có cực trị

y y2 0

¯ Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt

4 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương.

CĐ CT

f có cực trị

y y

a f hay ad

2

(0) 0 ( 0)

°

°¯

Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm dương phân biệt

5 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ âm.

CĐ CT

f có cực trị

y y

a f hay ad

2

(0) 0 ( 0)

°

°¯

Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm âm phân biệt

Trang 7

a b c, , lập thành một cấp số cộng a c 2b

a xª ¬ 3 (x1x2x x3) 2(x x1 2x x2 3x x x x x x3 1) 1 2 3 0 – x x x1 2 3, , lập thành cấp số cộng x1x3 2x2 x b

a

2 3 – Thế x b

2 vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm

x

3 1) 1 2 3º 0

a

3

2 là 1 nghiệm của (1)

– Thế x

a

3 2

f x g x

f x( ) g x( ) '( ) '( )

®

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

x Nếu (C1): y px q và (C2): y ax2bx c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau phương trình ax2bx c px q có nghiệm kép

6 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.

– Giả sử (1) có 3 nghiệm x x1 2, ,x3 lập thành cấp số cộng

– Viết (1) dưới dạng: ax3bx2 cx d 0 a x x( 1) x( x2)(xx3) 0

¼ º

là 1 nghiệm của (1)

3a Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được

7 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.

a b , ,c lập thành một cấp số nhân ac b2

– Giả sử (1) có 3 nghiệm x x1 2, ,x3 lập thành cấp số nhân

– Viết (1) dưới dạng: ax3bx2 cx d 0 a x x( 1) x( x2)(xx3) 0

a xª 3(x1 x2 x3)x2 x( 1x2 x x2 3 x x x x x

x x1 2, ,x3 lập thành cấp số nhân x x1 3 x22

d

vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được

D) TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

x Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f ( ) x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x0 0; ( 0)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x0 0; ( 0) là:

y y f– 0 (cx ) x0 ( –x0) y0 f( )x0

x Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y f ( ) x và (C2): y g( ) x tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

Trang 8

II) CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Viết phương trình tiếp tuyến '' của (C): y f x( ) tại điểm M x y( ; ) ( )0 0 C :

x Nếu cho x0 thì tìm y0 f x( )0

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f x( ) y0

x Tính yc f xc( ) Suy ra y xc( )0 f xc( )0

x Phương trình tiếp tuyến ' là: y y– 0 f xc( ).( – )0 x x0

2 Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f x( ), biết ' có hệ số góc k cho trước.

f x kx m

f x( ) k

'( )

®

+' tạo với trục hoành một góc D thì k

a

1

ka tan

f x k x x y

f x( )'( ) k( )

®

4 Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f x( ), biết ' tạo với trục Ox một góc D.

x Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f xc( )0

x ' tạo với trục Ox một góc D f xc( ) tan0 a Giải phương trình tìm được x0

x Phương trình tiếp tuyến ' tại M: y y– 0 f xc( ).( – )0 x x0

5 Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f x( ), biết ' tạo với đường thẳng d: y ax b

một góc D.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

x Gọi M x ( ;y0 0) là tiếp điểm Tính f xc( )0

x ' có hệ số góc k f xc( ) k0 (1)

x Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 f( )x0 Từ đó viết phương trình của '

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

x Phương trình đường thẳng ' có dạng: y k x m

x ' tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

x Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của '

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ' có thể được cho gián tiếp như sau:

tana +' song song với đường thẳng d: y a x b thì k a

+' vuông góc với đường thẳng d y ax:  b (a z0) thì k

' tạo với đường thẳng d y ax:  b một góc D thì

3 Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f ( ) x , biết ' đi qua điểm A x ( ;y A A).

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

x Gọi M x ( ;y0 0) là tiếp điểm Khi đó: y0 f ( ) x ,0 y (xc 0) f (xc 0)

x Phương trình tiếp tuyến ' tại M: y y f– 0 (cx ) x0 ( –x0)

x ' đi qua A x ( ;y A A)nên: y A–y 0 f(cx0) x( A–x0) (2)

x Giải phương trình (2), tìm được x0 Từ đó viết phương trình của '

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

x Phương trình đường thẳng ' đi qua A x ( ;y A A)và có hệ số góc k: y y – A k x( – )x A

x ' tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

x Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến '

Trang 9

x ' tạo với d một góc D k a

ka tan

Giải phương trình tìm được x0

x Phương trình tiếp tuyến ' tại M: y y– 0 f xc( ).( – )0 x x0

6 Viết phương trình tiếp tuyến '' của (C): y f x( ), biết ' cắt hai trục toạ độ tại A và B sao

cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

x 'OAB vuông cân ' tạo với Ox một góc 450 và O ' (a)

x S'OAB S OA OB 2S (b)

x Giải (a) hoặc (b) tìm được x0 Từ đó viết phương trình tiếp tuyến '

f u au b

f u a

g v av b

g v a

°°

°

°¯

x Vì ' // d nên

hoặc ' A d nên

d

f x

k

( )

c (2)

f x k x x y

f x( )'( ) k( ) (1) (2)

®

¯

x Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x x M) (f xc M)y M (3)

x Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

11 Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y f x( ) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Gọi M x y( ;M M)

x Phương trình đường thẳng ' qua M có hệ số góc k: y k x x( – M)y M

8 Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị ( )C1 :y f (x), ( C ):2 y g(x)

a) Gọi ': y a x b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

u là hoành độ tiếp điểm của ' và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của ' và (C2)

x ' tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

x Từ (2) và (4) f u)c( g ( )cv u h( ) v (5)

x Thế a từ (2) vào (1) b k( ) u (6)

x Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b Từ đó viết phương trình của '

b) Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó

9 Tìm những điểm trên đồ thị (C): y f ( ) x sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước.

x Gọi M x ( ;y0 0) (C) ' là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f xc( )0

c

f x ( ) k0 d (1)

x Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0 Từ đó tìm được M x ( ;y0 0) (C)

10 Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với

đồ thị (C): y f ( ) x .

Giả sử d ax by:  c 0 M x ( ;y M M ) d

x Phương trình đường thẳng ' qua M có hệ số góc k: y k x ( – x M)y M

x ' tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

Trang 10

x ' tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:

f x k x x y

f x k

®

¯

x Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x x M) (f xc M)y M (3)

x Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

x Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau f x f xc( ) ( ) –11 c 2

Từ đĩ tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh

thì có nghiệm phân biệt

f x f x1 2

(3) 2

( ) ( ) 0

¯

E) NHỮNG BÀI TỐN VỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THÌ HÀM SỐ

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x Bx A)2(y By A)2

2) Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng ': ax by c 0 :

ax by c

d M d

a b

Đặc biệt: + Nếu ': x a thì d M( , )' x0a

+ Nếu ': y b thì d M( , )' y0b

+ Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0 y0 3) Diện tích tam giác ABC: 1 AB AC2. 2 AB AC. 2

AB

4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I IA IB 0 IA IB 0IB A B I

y y 22y

®

¯ 5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ' ® ¯I AB'A' (I là trung điểm AB)

Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox B A

®

¯

+ A, B đối xứng nhau qua trục Ox B A

®

¯

S = 1 AB AC .sin A

6) Khoảng cách giữa đường thẳng ' với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ' và một điểm N (C)

7) Điểm M x ( ;y) được gọi là cĩ toạ độ nguyên nếu x y, đều là số nguyên

THẦY THIỆN (3T) CHUYÊN LUYỆN THI 9 VÀO 10

LUYỆN THI MƠN TỐN CÁC KHỐI 10,11,12- ONLINE VÀ OFFLINE

TẠI CÁC CƠ SỞ TẠI BÁCH KHOA, ĐƯỜNG LÁNG, YÊN HỊA

f x ( ) g( ) x

Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị

x Số giao điểm đồ thị (C) hàm số bậc... TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

x Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y f ( ) x điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M... AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB

7 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực trị thoả hệ thức cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	2,61 MB