Chương 1 KHỐI đa DIỆN mức độ 4 phần 4

có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Biết rằng hình chiếu vuông góc củađỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông

Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh bằng 2, SA 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A0;0;0, B2;0;0 , D0;2;0,

x y

S AMCN

x y

x y

y



 Mà OE OF OH  2  x2 y2 12.Nếu x 2 hoặc y  thì ta cũng có 2 OE OF OH  2  x2 y212

1

S AMCN

x y

x y

Lời giải Chọn B

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD 

Ta có: SAO SBO SCOSDO (tam giác vuông, SO là cạnh chung, SA

4

x a

.

1

.3

S ABCD

2 2

1

1.2

3a

Câu 3: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh 2a Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

 là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với   45 Tìm giá trị lớn nhất củathể tích khối chóp S ABCD

3

83

a

3

43

a

3

23

a

Lời giải

Chọn C

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD.

Khi đó DD SA// mà SASBC (vì SASB, SABC) nên D là hình chiếu vuông góc của

Câu 4: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh

BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M , N, P sao cho BC3BM, 3

V

1 2

2619

V

1 2

319

V

1 2

1519

V

Hướng dẫn giải Chọn B

Q I N

M

P A

B

C

D

Gọi V ABCD V , I MNCD , Q IP AD ta có Q AD MNP

Thiết diện của tứ diện ABCD được cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MNQP 

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và ACD ta có:

NB ID MC

14

ID IC

QA QD

V

-HẾT -Câu 5: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có AB a

, AC a 3, SB2a và ABC BAS BCS90 Sin của góc giữa đường thẳng

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa SCD và

ABCD bằng  60 Gọi o M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc củađỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông  ABCD Khoảng cách giữa hai đườngthẳng SM và AC là

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa SCD và

ABCD bằng  60 Gọi o M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc của

đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông  ABCD Khoảng cách giữa hai đườngthẳng SM và AC là

N

M

C B

33

,

5154

Ta thấy SM2SI2 MI2 nên SMI vuông tại S Suy ra SH SM SI.

a

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh 2a, gọi M là

trung điểm của BB và P thuộc cạnh DD sao cho

14

a

3

113

a

3

113

a

Lời giải Chọn B

Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp

Cho hình hộp ABCD A B C D    , gọi M , N, Plần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA, BB,

CC Mặt phẳng MPN cắt cạnh  DD tại Q Khi đó:

.

Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCDAMNP ABCD ta có:

'

P M

C'

D' B'

C B

D A

Thể tích khối lập phương ABCD A B C D     là V 2a38a3

Gọi O, O lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A B C D   , gọi K OO MP, khi đó

Diện tích hình thang DPNC là

1

.2

Xây dựng bài toán tổng quát

n m h

c

b a

Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam

giác cân, suy ra: AI NC,AI DM  AI (CDMN)

15 74

7

Câu 12: Cho tam giác ABC đều cạnh a, gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc

với mặt phẳng ABC Trên  d lấy điểm S và đặt ASx, x 0 Gọi H và K

lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Biết HK cắt d tại điểm

S Khi SS ngắn nhất thì khối chóp S ABC có thể tích bằng

Câu 13: Cho tam giác ABC đều cạnh a, gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc

với mặt phẳng ABC Trên  d lấy điểm S và đặt ASx, x 0 Gọi H và K

lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Biết HK cắt d tại điểm

S Khi SS ngắn nhất thì khối chóp S ABC có thể tích bằng

Xét tam giác SA S  có H là trực tâm, ta có

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị  C của hàm số y x 3 3x m cắt trục hoành tại

đúng 3 điểm phân biệt

Lời giải Chọn B

Câu 16: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng 

a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và  BCC B  bằng  với 1

2 3cos  (tham khảo hình vẽ dưới đây) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C    bằng

38

Câu 17: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng

a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCC B  bằng  với 1

2 3cos  (tham khảo hình vẽ dưới đây) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C    bằng

38

Lời giải Chọn C

Gọi O là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC

Trong mp C CO   kẻ CH C O tại H

Khi đó d C ABC ,    CH a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ, gọi 2x là độ dài cạnh của tam giác ABC ta có

Câu 18: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E, F lần lượt là trung điểm

AA và BB; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A  tại E, đường thẳng CF cắt đường thẳng

Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và vuông góc với mặt

phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ),  là góc giữahai mặt phẳng AMN và  SBD Giá trị  sin bằng

M N

B

A S

Câu 20: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi E, F lần lượt là trung điểm

AA và BB; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A  tại E, đường thẳng CF cắt đường thẳng

E'

F E

Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và vuông góc với mặt

phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ),  là góc giữahai mặt phẳng AMN và  SBD Giá trị  sin bằng

M N

B

A S

N M

 chính là góc giữa KA và KO, suy ra sin sin AKO

Gọi H là hình chiếu của A lên SO

Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao nên

2

2

32

62

a a

364

a AH AKO

AK a

đó là bao nhiêu?

A 48 triệu đồng B 47 triệu đồng C 96 triệu đồng D 46 triệu đồng

Câu 23: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích

đó là bao nhiêu?

A 48 triệu đồng B 47 triệu đồng C 96 triệu đồng D 46 triệu đồng

Lời giải Chọn A

Gọi x  m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2 mx  và h m là chiều cao bể

Bể có thể tích bằng 256m3

2 2562

3

3

h x

Lập bảng biến thiên suy ra Smin S 4 96

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 96

Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 96.500000 48000000 đồng

Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể

2

2562

Câu 24: Cho tứ diện ABCD Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai

đoạn thẳng BC và BD sao cho 2 BC 3BD 10

N

31

Câu 26: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng

a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và  BCC B  bằng  với cos 1

N

Câu 27: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng

a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và  BCC B  bằng  với cos 1

3

  (tham khảo hình vẽdưới đây)

G M

C

B A

Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH, cắt C M tại điểm K.

Trong mặt phẳng DBC vẽ  MN cắt CD tại K.

Trong mặt phẳng ACD vẽ  PKcắt AD tại Q

Theo định lý Mennelaus cho tam giác BCD cát tuyến MNK ta có KC ND MB 1

3

KC KD

Theo định lý Mennelaus cho tam giác ACD cát tuyến PKQ ta có KC QD PA. . 1

32

QA QD

5

QA AD

BMN

BCD

S S

AB MNPQ

MNPQ

V V

Gọi OACBD ,M là trung điểm SAvà I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp đều S ABCD .

b M

O