PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - TẬP 2 - HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ)

Đây là giáo trình PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ) được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế. Nội dung cuốn sách:Chương 1:Tích phân bội Chương 2:Tích phân phụ thuộc tham số Chương 3. Tích phân đường Tích phân mặt

HÀM NHIỀU BIẾN

Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế

Ngày 26 tháng 2 năm 2009

Mục lục

1.1 Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn 4

1.1.1 Hình hộp - Phân hoạch 4

1.1.2 Định nghĩa tích phân Riemann 5

1.1.3 Các tính chất cơ bản 7

1.1.4 Định lý khả tích Lebesgue 7

1.2 Tích phân trên tập bất kỳ 9

1.2.1 Tập đo được Jordan 9

1.2.2 Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất 10

1.3 Định lý Fubini 11

1.3.1 Công thức tổng quát 11

1.3.2 Công thức tính tích phân hai lớp 12

1.3.3 Công thức tính tích phân ba lớp 12

1.4 Phép đổi biến trong tích phân bội 13

1.4.1 Công thức tổng quát 13

1.4.2 Đổi biến sang toạ độ cực 14

1.4.3 Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu 15

1.5 Ứng dụng của tích phân bội 16

1.5.1 Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng 16

1.5.2 Diện tích mặt cong 17

1.5.3 Khối lượng, trọng tâm bản phẳng 18

1.5.4 Khối lượng, trọng tâm của cố thể 18

1.6 Thực hành tính toán 19

1.6.1 Tích phân bội 19

1.6.2 Tích phân lặp 19

1.7 Bài tập 20 Chương 2 Tích phân phụ thuộc tham số 23

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng 23

2.2 Tích phân với cận là hàm của tham số 24

2.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 25

2.3.1 Hội tụ - Hội tụ đều 25

2.3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ đều 25

2.3.3 Tính chất của tích phân hội tụ đều 26

2.4 Một số tích phân quan trọng 27

2.4.1 Hàm Gamma 27

2.4.2 Hàm Beta 27

2.4.3 Tích phân Dirichlet 28

2.5 Thực hành tính toán 28

2.6 Bài tập 29

Chương 3 Tích phân đường - Tích phân mặt 30 3.1 Tích phân đường loại I 30

3.1.1 Định nghĩa 30

3.1.2 Các tính chất 31

3.1.3 Cách tính 32

3.1.4 Ứng dụng 32

3.2 Tích phân đường loại II 33

3.2.1 Định nghĩa 33

3.2.2 Cách tính tích phân đường loại II 34

3.2.3 Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II 35

3.2.4 Công thức Green 35

3.2.5 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường 36

3.3 Tích phân mặt loại I 36

3.3.1 Định nghĩa 36

3.3.2 Cách tính 37

3.3.3 Ứng dụng 38

3.4 Tích phân mặt loại II 38

3.4.1 Mặt hai phía định hướng 38

3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 39

3.4.3 Cách tính 39

3.4.4 Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II 40

3.4.5 Công thức Stokes 40

3.4.6 Công thức Ostrogradski 41

3.5 Thực hành tính toán 41

3.6 Bài tập 41

trong đó, I j là một khoảng trong R (tức là có một trong 4 dạng (a j , b j ), (a j , b j],

[a j , b j ), [a j , b j ]) Nếu các I j đều là khoảng đóng (mở) thì D được gọi là một hộp

đóng (mở) Dễ thấy rằng với D là hộp bất kỳ thì D và D lần lượt là các hộp mở (có ◦

thể rỗng) và đóng Khoảng I j được gọi là suy biến nếu đó là tập một điểm D được gọi là hộp k chiều nếu có đúng k khoảng I j là không suy biến Lúc đó, nếu k < n thì ta cũng gọi D là hộp suy biến, D được gọi là hộp không suy biến nếu ngược lại.

Dễ thấy D là hộp suy biến khi và chỉ khi D = ∅ D được gọi là hộp mở tương đối ◦

k chiều nếu k khoảng không suy biến cấu tạo nên D đều là khoảng mở Chẳng hạn

hộp mở tương đối 2 chiều trong R2 chính là hình chữ nhật mở trong mặt phẳng cócác cạnh song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối 1 chiều trong R2 là cácđoạn thẳng (không kể 2 mút) song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối haichiều trong R3 là các hình chữ nhật (không kể các cạnh) có các cạnh song song với

2 trong 3 trục toạ độ, hộp mở tương đối 0 chiều là tập 1 điểm Có thể kiểm tra

được rằng mọi hộp đóng n chiều đều có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 3 nhộp mở

tương đối (có chiều từ 0 đến n) rời nhau!!

Với mỗi hộp D được cho bởi (1.1), ta gọi giá trị

với λ(I j ) ký hiệu độ dài của khoảng I j , là thể tích của D Rõ ràng, D, D và ¯ ◦ D có

cùng thể tích và hộp có thể tích bằng không khi và chỉ khi nó là hộp suy biến Tacũng dễ dàng chứng minh được kết quả sau

Bổ đề 1.1 Giả sử D1, D2, · · · , D m là các hộp có phần trong rời nhau sao cho hợp của chúng cũng là một hộp D trong R n Lúc đó

ρ(P) := max{x i

j − x i j−1 | 1 ≤ j ≤ k(i); 1 ≤ i ≤ n}.

Cuối cùng, môt phân hoạch Q được gọi là mịn hơn phân hoạch P (hay P thô hơn Q) nếu với mọi E 0 ∈ Q(D) tồn tại E ∈ P(D) sao cho E 0 ⊂ E Lúc đó ta ký

hiệu P ¿ Q.

1.1.2 Định nghĩa tích phân Riemann

Cho f là hàm bị chặn trên hình hộp D và P là một phân hoạch của D ta đặt

a) S ∗ (f ; P) ≥ S ∗ (f ; P) với mọi phân hoạch P.

b) Nếu Q là phân hoạch mịn hơn P thì

Lúc đó, I được gọi là tích phân Riemann của hàm f trên hộp D và được ký hiệu

bởi một trong các cách sau

Đặc biệt, trong trường hợp 2 hay 3 chiều người ta thường thay ký hiệu tích phân

trên D bởi RRD hay RRRD, và được gọi là tích phân hai lớp hay ba lớp Cụ thể, với

n = 2 ta cóRRD f (x, y)dxdy còn với n = 3 thì RRRD f (x, y, z)dxdydz.

Nên nói chung f không khả tích.

Định lý 1.1 Hàm bị chặn f là khả tích trên D khi và chỉ khi với mọi ² > 0 tồn tại

phân hoạch P sao cho S ∗ (f ; P) − S ∗ (f ; P) < ².

Rõ ràng là trong định nghĩa trên ta có thể lấy các hình hộp mở thay cho các hìnhhộp đóng.

Ta cũng dễ dàng kiểm tra được các khẳng định sau:

a) Nếu S1 ⊂ S2 và S2 có độ đo không thì S1 cũng vậy

b) Nếu S n có độ đo không với mọi n ∈ N, thì ∪S n cũng có độ đo không Từ đósuy ra mọi tập không quá đếm được có độ đo không

c) Một hình hộp có độ đo không khi và chỉ khi nó suy biến

Định lý 1.2 (Lebesgue) Một hàm f bị chặn trên hình hộp đóng D là khả tích khi

và chỉ khi tập các điểm gián đoạn của f có độ đo không.

Để chứng minh định lý này ta cần một số kết quả bổ trợ Giả sử f là hàm bị chặn trên một tập D ⊂ R n Với mỗi x ∈ D và δ > 0 ta đặt

Bổ đề 1.2 Hàm f liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi ω(f, x0) = 0.

Bổ đề 1.3 Giả sử f là hàm bị chặn trên hình hộp đóng D và ² là một số dương

sao cho ω(f, x) < ² với mọi x ∈ D Lúc đó tồn tại một phân hoạch P của D mà

với m và M là các hằng số Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M] sao cho

1.2.1 Tập đo được Jordan

Cho G ⊂ R n Ta gọi hàm χ G : Rn → R xác định bởi

Tập hợp bị chặn G ⊂ R n được gọi là đo được Jordan nếu tồn tại hình hộp đóng

D ⊃ G sao cho hàm χ G khả tích trên D Lúc đó số

a) Nếu G là tập đo được Jordan và D là một hình hộp chứa G thì D \ G cũng

đo được Jordan Lúc đó, Vol(D \ G) = Vol(D) − Vol(G).

b) Nếu G1 và G2 là đo được Jordan, thì hợp, giao, hiệu của chúng cũng vậy Hơn nữa: Vol(G1∪ G2) = Vol(G1) + Vol(G2) − Vol(G1∩ G2).

1.2.2 Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất

Cho G ⊂ R n và f là một hàm số xác định trên một hình hộp đóng D ⊃ G Ta nói hàm f khả tích trên G nếu hàm f.χ G khả tích trên D và viết

Cũng như định nghĩa độ đo Jordan, định nghĩa này hoàn toàn không phụ thuộc

vào việc chọn hình hộp D Nếu G là tập đo được Jordan và f là hàm khả tích trên

D, thì f cũng khả tích trên G.

Sau đây là một số tính chất của tích phân trên tập đo được

Định lý 1.4 Cho G là tập đo được và f, g là các hàm khả tích trên G Lúc đó,

a) Với mọi số thực α, hàm αf khả tích trên G và

Định lý 1.5 Giả sử G1, G2 là các tập đo được Jordan sao cho Vol(G1 ∩ G2) = 0.

Lúc đó, nếu f khả tích trên mỗi tập G1 và G2, thì f cũng khả tích trên G1∪ G2 và

1.3 Định lý Fubini

1.3.1 Công thức tổng quát

Cho G = D × E ⊆ R m+k , với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong R m

và Rk Giả sử f (x, y), x ∈ D, y ∈ E, là hàm m + k biến khả tích trên G Với mỗi

Định lý 1.6 Với các giả thiết như trên các hàm J ∗ (x) và J ∗ (x) đều khả tích trên

D, có tích phân bằng nhau và bằng tích phân của hàm f trên G Cụ thể,

dụng định lý trên ta trực tiếp thu được kết quả sau

Định lý 1.7 (Fubini) Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên tập G = D × E ⊆ R m+k , với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong R m và R k , thì ta có công thức tích phân lặp

Vì vai trò các biến là bình đẳng nên thứ tự lấy tích phân có thể thực hiện tuỳ

ý mà không làm ảnh hưởng đến kết quả

Nếu f (x), g(y) lần lượt là các hàm liên tục trên các hình hộp D ⊂ R m và

E ⊂ R k thì hàm tích h(x, y) = f (x)g(y) liên tục trên hình hộp G = D × E và

1.3.2 Công thức tính tích phân hai lớp

Bây giờ ta xét trường hợp G là hình thang cong trong mặt phẳng được cho dưới

dạng:

G = {(x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}, với ϕ1, ϕ2 là các hàm liên tục trên [a, b] Cách tính tích phân trên G được cho bởi

tục trên D.

Định lý 1.10 Với các giả thiết như trên, G là một tập đo được Jordan trong R3 hơn nữa, nếu f (x, y, z) là hàm liên tục trên G thì

Định lý này cũng được mở rộng cho trường hợp hàm f không liên tục như

khẳng định của kết quả sau

Định lý 1.11 Nếu f (x, y, z) là một hàm khả tích trên G và hơn nữa, với mỗi (x, y) ∈ D, tích phân sau tồn tại

Công thức này sẽ được mở rộng cho tích phân bội.

Cho G là một tập mở trong không gian R n và g : G → R n là một ánh xạ đượccho bởi

1.4.2 Đổi biến sang toạ độ cực

Ta đã biết phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cực trong mặt

phẳng (x, y) = g(r, ϕ), được cho bởi hệ

Điều quan trọng là với miền H cho trước trong R2 chúng ta cần nhận ra miền

G tương ứng sao cho H = g(G) Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

Dễ thấy H là hình gồm 4 phần có diện tích bằng nhau, mỗi phần nằm trong

một góc phần tư của mặt phẳng toạ độ Phương trình của phần đường cong trong

góc phần tư thứ nhất, theo toạ độ cực là r2 = 2a2cos(2θ), θ ∈ [0, π

4] Vì vậy dùngphép đổi biến sang toạ độ cực ta có

cos(2θ)dθ = a2

2 .

1.4.3 Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu

Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ trụ trong không gian

(x, y, z) = g(r, ϕ, z), được cho bởi hệ

Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cầu (x, y, z) = g(ρ, θ, ϕ),

được cho bởi hệ 

f (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ2sin θdρdθdϕ.

Một cách tự nhiên, phép đổi biến này lại phù hợp khi H = g(G) có dạng “cầu”.

Đặc biệt, nếu f (x, y) = 1 với mọi (x, y) ∈ G thì thể tích của T đúng bằng diện tích của G vì vậy

Trước hết, giả sử H = (ABCD) là một hình bình hành trong không gian, ta

ký hiệu a và b lần lượt là các vec-tơ −→ AB và −−→ AD và α là góc lập bởi các vec-tơ này.

Một cách tự nhiên, diện tích của H được định nghĩa bởi biểu thức

s(H) := kakkbk| sin(α)| =pkak2kbk2− ha, bi2.

Bây giờ cho S là mặt cong trơn trong không gian, xác định bởi hệ phương trình

trong đó, G là một miền đo được Jordan, bị chặn trong R2 Người ta cũng tìm cách

định nghĩa diện tích của S.

Với mỗi hình chữ nhật ∆ = [u, u + h] × [v, v + k] nằm gọn trong G cho tương ứng một mảnh cong S∆ ⊂ S Khi h và k khá bé, ta có thể xem diện tích của S∆ xấp

xỉ bằng diện tích của hình bình hành H∆= (ABCD), với A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

và các vec-tơ a = −→ AB, b = −−→ AD được xác định bởi a = (x 0

v (u, v))k (hình bình hành này nằm trong tiếp diện của S tại

A) Vì vậy, nếu P là một đa hộp nằm trong G, có diện tích gần bằng G bao gồm

một số hữu hạn các hình chữ nhật ∆i khá bé, thì diện tích của S xấp xỉ bằng tổng

Đặc biệt, nếu S được cho dưới dạng hiển:

1.5.3 Khối lượng, trọng tâm bản phẳng

Nhắc lại rằng nếu một hệ gồm k chất điểm rãi trên mặt phẳng mà khối lượng

và toạ độ chất điểm thứ i là m i và M i (x i , y i ), 1 ≤ i ≤ k, thì khối lượng của hệ là

1.5.4 Khối lượng, trọng tâm của cố thể

Cho T ⊂ R3 là một cố thể không đồng chất trong không gian, có tỷ khối tại

mỗi điểm (x, y, z) ∈ T là f (x, y, z) ≥ 0 Cũng dưới giả thiết T đo được và f khả

tích ta cũng có công thức tính khối lượng của cố thể

1.6 Thực hành tính toán

Để thực hành tính tích phân trước tiên ta cần nạp gói lệnh student:

[> with(student);

1.6.1 Tích phân bội

a Tích phân bội 2 Để tính tích phân bội 2 của hàm f (x, y) trên hình hộp

∆ = [a, b] × [c, d] ta dùng lệnh Doubleint Chú ý rằng không có lệnh doubleint!

Cú pháp: [> Doubleint(f(x, y), x=a b, y=c d);

Vì đây là lệnh trơ nên chỉ cho công thức hình thức Để biết giá trị của nó taphải dùng hàm định giá value hoặc hàm evalf

b Tích phân bội 3 Để tính tích phân bội 3 của hàm f (x, y, z) trên hình hộp

∆ = [a, b] × [c, d] × [e, g] ta dùng lệnh (trơ) Tripleint (không có lệnh tripleint).

Cú pháp: [> Tripleint(f(x, y, z), x=a b, y=c d, z=e g);

1.4 Chứng minh rằng một tập bị chặn có thể tích 0 khi và chỉ khi, với mọi ² > 0

tồn tại một số hữu hạn các hình hộp mở (hoặc đóng) phủ nó và có tổng thể tích bé

hơn ² Khẳng định này có còn đúng đối với tập có độ đo 0 hay không?

1.5 Chứng minh rằng một tập G có thể tích 0 thì ∂G cũng có thể tích 0 Tuy nhiên,

chứng tỏ tồn tại các tập có độ đo 0 nhưng biên của nó không có độ đo 0

1.6 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau

3

´2 3

= 1;

g) x2+ y2 = 2x, z = x2+ y2, z = 0.

1.12 Đổi biến sang toạ độ trụ và viết lại cận của tích phân I =RRRV f (x, y, z)dxdydz,

với V là miền giới hạn bởi các mặt:

a) x2+ y4 = z, z = 2.

b) x =pz2+ y2, x = 6 − z2− y2

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng

Cho hàm hai biến f (x, y) xác định trên hình chữ nhật ∆ = [a, b] × [c, d] Giả sử với mọi y ∈ [c, d] hàm f (·, y) khả tích trên [a, b] Lúc đó bằng cách đặt

xét y ∈ R nên ở đây ta chỉ xét hàm G(y) với y ∈ R.

Định lý 2.1 Nếu f (x, y) liên tục trên ∆ thì hàm G liên tục trên [c, d].

Định lý 2.2 Giả sử hàm f (x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng f 0

− (d) =

Z b

a

f 0 y− (x, d)dx.

Định lý 2.3 Giả sử f (x, y) liên tục trên ∆ Lúc đó, các hàm

2.2 Tích phân với cận là hàm của tham số

Cho f (x, y) liên tục trên ∆ = [a, b] × [c, d], các hàm α, β : [c, d] → [a, b] Lúc

là tích phân phụ thuộc tham số y với cận là các hàm theo y.

Định lý 2.4 Nếu f (x, y) liên tục trên ∆, α và β liên tục trên [c, d] thì G liên tục

2.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

2.3.1 Hội tụ - Hội tụ đều

Cho f : ∆ = [a, b) × D → R với D ⊂ R và −∞ < a < b ≤ +∞ là hàm hai biến sao cho với mọi y ∈ D và a < b 0 < b tồn tại tích phân

Z b 0

a

f (x, y)dx, hơn nữa, tích

phân suy rộng (với b = +∞ hoặc b là điểm bất thường)

2.3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ đều

Định lý 2.6 (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân (2.3) hội tụ đều trên tập D khi và

chỉ khi với mọi ² > 0, tồn tại b0 ∈ [a, b) sao cho

Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu tồn tại hàm g khả tích trên [a, b) và số

b0 ∈ [a, b) sao cho

g(x) ≥ |f (x, y)|, ∀x ∈ [b0, b), ∀y ∈ D, thì tích phân (2.3) hội tụ đều.

Bổ đề 2.1 (Bonnet) Cho α(x) là hàm đơn điệu và g(x) là hàm khả tích trên [a, b]

thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho

f (x, y)dx hội tụ đều trên D.

Định lý 2.9 (Tiêu chuẩn Abel) Giả sử f (x, y) = g(x, y)h(x, y) thoả mãn

i) Tích phân

Z ∞

a

g(x, y)dx hội tụ đều trên D,

ii) Với mỗi y hàm h(·, y) đơn điệu và sup

f (x, y)dx hội tụ đều trên D.

2.3.3 Tính chất của tích phân hội tụ đều

Trong mục này ta luôn xét ∆ = [a, +∞) × [c, d].

Định lý 2.10 Nếu f liên tục trên ∆ và

Chú ý rằng kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân của

G(y) là vô hạn (như [c, +∞), (−∞, d], (−∞, +∞)) Chẳng hạn, ta có kết quả sau:

Giả sử f (x, y) là liên tục, không âm trên [a, ∞) × [c, ∞) và các hàm

Z +∞

a

f y 0 (x, y)dx hội tụ đều về hàm g(y) trên [c, d] Lúc đó, hàm G khả vi

trên [c, d] và có đạo hàm đúng bằng g Nói cách khác,

Sử dụng các kết quả về hội tụ đều ta chứng minh được các tính chất sau:

a) Tích phân (2.4) hội tụ trên (0, +∞) và hội tụ đều trên [p0, p1] với mọi