Toán cơ bản và nâng cao 10 tập 2 vũ thế hựu

Chứng minh rằng AB=CD khi và chỉ khi trung điểm của đoại thẳng BC trùng với trung điểm của đoạu thẳng AD.. b Tìm các vectơ là vectơ đối của vectơ CD: 6 Cho tam giác đều ABC trực tâm H..

TS VŨ THẾ HỰU

TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

10

$7 Vecto Phép cong va phép tri vecto

A KIEN THUC CO BAN

1 Khai niệm vectơ

a) Vecto la doan thang định hướng, nghĩa là có chỉ rõ một đầu mút

là điểm đâu, một đâu mút tà điểm cuối Vectơ có điểm đầu là A,

Nếu A =B thì AB là ueetơ không, hí liệu 0 +” Đường thắng AB gọi là giá của 0ectơ AB Độ dài của đoạn thắng

AB gọi là độ dài của vecto AB, ki hiéu | ABI

b) Phương uà hướng

Hai uecctơ có giá song song hay trùng nhau la hai vecto cing phương Hai uectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng c; Hơi uectơ bằng nhau

a= B khi a uà b cùng hướng 0à độ dài bằng nhau

2 Tổng của hơi vectơ

a) Dinh nghia Cho hai vecto ava b B

Lấy điểm A tùy ý uà xác định hai điểm M we 5

B va C sao cho AB =a va BẺ = b is

>

b

Khi do vecto AC duoc goi la tổng của

hai vecto a va b, kihiéula a+b

b) Tinh chGt cua téng cdc vecto

+ Tinh chat giao hoan : a+b=b+a-

+ Tính chất hết hợp : ta+b)+e=ga+(b+e)

+ Tinh chdt cua vecto 0 : a+0=a v6i moia

c) Hai quy tắc của phép cộng uectơ

¡) Quy tắc ba điểm:

Với ba điểm A, B; C bất kì ta luôn có : B €

ii) Quy tắc hình bình hành A D Nếu ABCD là hình bình hành thì :

AB +AD=AC, BA +BC =BD

3 Hiéu cua hai vectd

a) Vectơ đối của uectơ a, ki hiệu aa lò uectơ có cùng độ dài uới é@ nhưng ngược hướng uới a

a+ (- a) = 0

b) Định nghĩa hiệu của hai uectơ

Hiệu của @ vdi vecto 5, kí hiệu là a=b

"sẽ ẽ<

oe Dinh li vé hiéu vecto `

Cho uectơ AB bất kì uờ O lò điểm tùy ý thì : AB = OB-OA

Cho tam giác ABC Dựng phía ngoài tam giác các hình bình hàn]

ABIK, BCLM và ACPQ Chứng minh hệ thức : KQ+ PL + MI = 0

= 0+0+0=0

Chứng minh rằng AB=CD khi và chỉ khi trung điểm của đoại thẳng BC trùng với trung điểm của đoạu thẳng AD

Hướng dẫn Giả sử O là trung điểm của đoạn thẳng BC Theo quy tắc về hiệt

vectơ ta có :-

AB=CD = OB-OA=OD-OC œ OB+OỞ=OA+OD

Vì O là trung điểm của BC nên OB+0C = 0 Do đó OA+OD=0 chứng tỏ O là trung điểm của đoạn thang AD

C BAI TAP TY GIẢI

Cho hình bình hành ABCD có giao điểm hai đường chéo là O

b) Tìm các vectơ là vectơ đối của vectơ CD:

6 Cho tam giác đều ABC trực tâm H Đường thẳng song song với BC

và đi qua H cắt AB tại M và cắt AC tại N Chứng minh rằng: ~

|AM+ AN|= 2| HB + Hẻ|

7 Cho tứ giác bất kì ABCD Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD, O là trung điểm của EF Chứng minh :

a) AB+CD = AD+CB ) OA+0B+0C+O0D = 0

8 Cho 6 điểm A,B,C,'D, E, F Chứng minh hệ thức :

a) ED = BC b) G là trưng điểm của EC

11 Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì không thuộc các đường

thẳng AB, BC và CA Gọi A', B, C' theo thứ tự là các điểm dối

xứng của M qua trung điểm của các cạnh BC, AC và AB Ching © minh rằng ba đường thẳng AA', BB' và CC' đồng quy

§2 Cich cia mbt vecto tới mbt sb

A KIEN THUC CO BAN

Định nghĩa

c) Chứng minh các hệ thức :

AB+CD+EF =0; OA+OC+OE=0; AB+AF+OC+OE = AD:

Tích của uectơ a uới số thực k là một uectơ, kí hiệu là ka, được

4 Biểu thị một vec†ơ theo hai vectd khéng cling phugng

Dinh li: Cho hai vecto không cùng phương a vd a Khi đó uới

mỗi uectơ +, tôn tại một cặp số duy nhất m va n sao cho :

+

x=ma+nb Như véy ta noi vecta x được biểu thị một cách duy nhất qua

«x os

ava b

B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN

1.12 Cho 5 điểm A, B, C, D,M bất kì Gọi E là trung điểm của AB, F la

trung điểm của CD, O là trung điểm của EF Chứng minh rằng :

MÃ + MB - MC + MD = 4 MÔ.

>

Theo két qué bai 1.1 tacé : @A+GB'+GC' = 6,

‘ GA+GB+GC = (- AG)+(-BG) +(-CG) =

Từ đó suy Ta :ˆ AA’ + BB’ + CƠ = 3GGŒ' !

Khi G = G thi GG’ = 0 Ty d6 suy ra diéu kiện cẩn và đỏ đế ha

tam gidc ABC va A'B'C' cé cùng trọng tâm là : AA’ + BB’ + CC’ =0

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A Cho M là một điểm trên cạnh BC sao cho : L8 Ặ- Biết AB = Bem, AC = 12cm

b) |AM| = JAP? + AQ? =

1.15 Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm I trên mặt phẳng thỏa mãr

PA+PB=0 > AP = PB = PA+AB = AP =< AB (2

MB=2MC = AB-AM = XAC-AM)

Từ (1), (2), (3) ta được PM = 3 AC - AB - 5 AB = 2AC - 5 AB 4

Suy ra G, P, Q thang hang hay PQ di qua G

Nhu vay EF, PQ, RS déng-quy tại G,

Cho tam giác ABC Tìm qui tich các điểm M thỏa mãn hệ thức :

|4 MÁ + MB+ MỎ|=Ì2 MẢ - MB - MỎ| _ wy

Hướng dẫn Giả sử K là một điểm trên mặt phẳng, ta có :

1.19

1.20

1.21

1.22

(1) & |6MKs4KA)KB+KC! -|-(AB+AQ)|

Goi I la trung điểm của BC thì AB: AC -2 AI

Ta chon K sao cho 4KA+KB+KC= 0

Vậy qui tich M 1a đường tròn tâm K bán kính R = 5 Al,

C BAI TAP TU GIAI

Cho hình bình hành ABCD tâm © Go: trung diém eda BC, CD theo’

thứ tự là P, Q Hãy biéu didn cde vects BC, AP, AQ PQ theo các

vecto AB va AO

Cho tứ giác ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BC và

®D Chứng minh :

a) 21K - AD-AB b) 2.AB+ Al + KA+DA)=3DB

Cho tam giác ABC ,

a) Xác định điểm K thỏa mãn hệ thức : KẢ + KB + 2KC = 0

b) Xác định điểm M thỏa mản: 2MA+MB-MC = AB

e) Xác định điểm N thỏa mãn : MA+NB-NC = AB+AC :

Cho lục giác ABCDEEF Goi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung

diém của AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh các tam giác MPR

và NQS có cùng trọng tâm

i

Cho tam giác ABC và các điểm 1, J, K xác định bởi các hệ thức :

3Iể+2IB =0; 9JG+8JA=0; 2KA+3KB=0

Chứng minh rằng các tam giác ABC và IJK có cùng trọng tâm

_Cho tứ giác ABCD Hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho v‹ điểm M bất kì tạ có : MẢ + MB + MỎ+ M = k MĨ

Cho hìah bình hành ABCD, M và N là các điểm trên ‘canh AB v

CD sao cho am 2 on} AB 3°’ GD 2

a) Biểu thị AN theo AB và AC

b) G là trọng tâm tam giác BMN Biểu thị AG theo AB va AC Cho tam giác ABC, M và N là các điểm xác định bởi các hệ thức

3MA+4MB = 0; CN = 5 BC Goi G là trọng tâm tam giác AB( Chứng minh M, G, N thẳng hàng

Cho tam giác ABC và điểm M di động

Cho tam giác đều ABC với điểm M tuỳ ý trên cạnh BC Gọi ME v

ME là các đường vuông góc kẻ từ M đến AC và AB Gọi I là trun điểm của EF Chứng minh rằng MI luôn đi qua một điểm cố địn khi M di động trên BC

Cho tam giác đều ABC tam O Lấy điểm M bất kì trong tam gi

và kẻ các đường vuông góc xuống các cạnh BC, CA, AB là MP, M:

và MR Gọi K là trong tâm của tam giác PQR

a) Chứng minh M, O, K thẳng hàng

b) N là điểm tùy ý trên BC Vẽ các đường vuông góc NE, NF tươn

ứng xuống AB, AC Chứng minh N, J, O thẳng hàng, trong đó

là trung điểm của EF

1.380 Cho các điểm cố định A, B phân biét Tim qui tich (tap hgp) cac

điểm M thỏa mãn hệ thúc : 'MÁ : MB - MÃ -MỗI

1.31 Cho tam giác ABC Tìm qui tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn hệ

thức : |4MÁ - MB: - (MA : 2MC

_ 1.82 Cho tam giác đều ABC tâm O,M là điểm bất kì trong tam giác có

hình chiếu xuống các cạnh BC, CA, AB la D, E, F

2 b) Tim qui tích (tập hợp) các điểm M sao cho :

a) Chứng minh : MÙ + ME: MF = MO

|MD+ME+MF| =k (k>D khéng déi)

1.33 Cho tam giác ABC, M là trung diém cua canh AB D, E, F là ba

= điểm theo thứ tự được xác định bởi các hệ thức :

—+

3DB-2DC=0; EA+3EB=2EC, 5AF-3AỎ=Ú

a) Chứng minh EM // BC

b) Chứng minh ba đường thẳng AD, BC, MF đồng quy

§3 Cruc toa dé vd hé truc toa db

‘A KIEN THUC CAN BAN

1 Truc toa độ

Một trạc tọa độ (O; i) la mot ica see ae er: đường thẳng trên đó đã chọn diém O lam gốc tọa độ 0à 0ectơ i

tum vecta don vi

- 2 Tọa độ của mot điểm, một vectơ tren trục toa đọ

x >

e Cho điểm M trên trục (O; i) thi: OM =mi

Số m gọi là tọa độ của M đối uới trục (O; Eb

e Vecto a trén truc (O; i) thi: a=ai

>

S6 a la toa dé cia vecto a déi véi truc (O; i)

18

3 Độ dài đợi số trên trục

Trên trục (O; ‘eho hai điểm A, B thi : AB = AB i

AB: là tạa độ của uectơ AB, gọi lò độ dài đại số của ueetz AB

AB=CD <= AB=CD _AB+BC = AC — cv AB+BC=AC (hé thite Sa lo)

4 Hệ trục tọa độ

Một hệ hai trục tọa độ 0uuông góc uới nhau :

Óx uới uectơ đơn 0ị i, Oy vdi vecto don vi j

le hé tree tha độ uuông Oxy hay (O} i; j)

Diém O la gée toa dé, Ox la true hoanh, Oy

(O; iy J), hí hiệu là a =(x; y) hay a(x; y)

Số x là hoành độ của ae số y là tung độ của œ

a(x; y) = b(x'; y') ° | ;

=3

6 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectd

Cho a=(x; y), b=(x'; y') thi:

1) a+b=(x+#; y+), a-b=(x-x'; y-y')

2) ka=(kx; ky) keR

3) a cung phuong vdib © Ss = 2 “(x' #0, y' #0)

x x

14

7 Tọa độ của một điểm

Tọa độ của điểm M trong mat phos tog

Oxy la toa dé của: Lóct2 OM

Dinh li: Trong mat phany t„ y cho

iém Mixa: yyy) va Novy vy) thy

MN =; Ny aps Oe — Yap

8 Toa dé trung diém cia doan thang

Cho hai diém Mix:s; yyy) va Nlxy; yx), P la trung diém của đoạn

thang MN thi toa do cia P la (xp; vp) voi -

Xu + XN : Yu + In

9 Toa dé trong tam cua tam gidc

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC uới Atxa; yA), B(xp; yp), C(xc; yo)

thì tọa độ của Gtx‹: yu¿) uới :

X4 + Wg +1 ỞA †+2n +ÿ}c

B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN 1.34 Trên trục tọa độ (O; ¡) cho 4 điểm A, B, C, D Goi I, K, M, N lan

lượt là trung điểm của các doan thang AC, BD, AB, CD Chứng | minh rằng các đoạn thăng IK và MN có cùng trung điểm

Hướng dẫn

Goi Q là trung điểm của IK, ta có : QI + QK - 0

I là trung điểm của AC nên: 2QI = QA +QC

K là trung điểm của BD nên: 2QK =- QB +QD

Suy ra: QA+QC+QB+QD = 2Qi+ QK)

Mặt khác M là trung điểm của AB nên : 2QM = QA+QB

N là trung điểm của CD nên : 2QN = QC+QD

ds

Suy ra Q cũng là trung điểm của MN

Trên trục tọa độ xOx cho 3 điểm A, B, C cé toa độ lần lượt là 3 2,

Nhu vay K trùng với A

Trên trục tọa dé x'Ox cho 3 diém A, B, C cé toa d6 theo thi tu 1a 2,

3, 5 Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện tương ứng :

b) MA-2MB+MC =0

Hướng dẫn Gọi tụa vò của M là x, ta CÓ :

a) 5 MÃ - 3MB + 4 MỎ = 0

5MA-3MB,4MU=0 —~ 2 Xx)-33 x) 4+ 45 - x) =0

> wa 2 2S om =i 2 MA-2MB+5MC=.0 & (2-x)-23-x)+5(5-x)=0

c xe Zl 4 om = 217 4

1.37 Trong hệ trục tọa đó vuông góc Oxy, cho các + cto a3; - 2),

b(2; 3) Tim toa do cua cá“ veetơ

a) Tìm tọa độ trọng tám G cua tam giác ABC

b) Biểu thị các vectơ BC, GC, BG qua cac vecto AB va AC

Hướng dẫn a) G(x; yo),

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn

Tacé: AB=(-5;-10); |AB| = y(-5)? +(-10 = V125

AC = (3; - 6); |AC| = j8? + (62 = 45

BC = (8; 4); |BC| = V8? +4 = 80

Tam giác ABC vuông tại C

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp AABC

I là giao điểm của các phân giác AD và CE Theo tính chất phân

B BÀI TẬP TỰ GIẢI

1.40 Trên trục tọa độ x\Ox cho hai điểm A, B có tọa độ theo thứ tự là -2, 3

Tim toa độ các điểm C, D, E, F sao cho :

a) C là trung điểm của AB b) D là điểm đối xứng với B qua A

©) —=z-3 đ) AF:4FB : 0

EB

1.41 Trên trục tọa độ xOx cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh :

a) AB.CD + AC DB + AD.BC =0

b)Nếu =—==—+=— thì CA.DB:CB.DA =0

AB AC AD 1.42 Trên trục tọa độ x'Ox cho cic diém A, B, C, D, M, N théa man cdc

trung điểm của AB, CD theo thứ tự là I và K

19

Cho hai diém A(1; 2), B(-1; 3)

a) Xác định tọa độ của các vectơ AB và BA

b) Tim toa độ điểm I sao cho BI = (3; 0)

c) Tim diém K sao cho KA = (1; 1)

Cho các vectơ aq; =1, B(-9; 3) Xác định tọa độ của vectơ c=3a-4b

Hãy biểu diễn vectơ c qua các vectơ a, b, biết :

a) a(-1; 9); b(2; 3), c(-8; 5) b) a(2; 1), b(-3 4), cd; 3)

Cho tam giác ABC với A(-1; 3), B(2; 4), C(O; 1) Tim tọa độ ;

a)-Vectơ trung tuyến AA,

b) Tầm I của đường tròn ngoại tiếp AABC

e) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Cho ba điểm A(3; 1), B(1; 2) và C(7; -1)

a) Chứng tỏ rằng ba diém A, B, C thang hang

b) Xác định điểm D sao cho CD = 2 AB

Cho ba điểm A(1; 0), B(-3; -5), C(0; 3)

a) Xác định điểm D sao cho D đối xứng với A đối với B

b) Tìm qui tích (tập hợp) các điểm M sao cho :

|2(MA + MB)-3MC| = |MB - MỎI

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(6; -1)

a) Tìm điểm M trên trục Ox sao cho A, B, M thẳng hàng

b) Tìm điểm N trên trục Oy sao cho A, B, N thẳng hang

Cho M(-1; 1), N1; 9), P(9; 1) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Xác định tọa dé cua A, B, C

Cho các điểm A(0; 4) B3; 21, C13; 0)

a) Chứng minh A, B,€ là các định của một tam giác

b) Tim chu vi cua tam giac ABC

Cho tam giác ABC Biet A(1:2!, B(-2; -4), C(-1; 3)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

b) Tim toa độ tảm I của đường: tròn ngoại tiếp

e) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toa độ của vectơ Gl Cho hai điểm A(4; 2) và B(-1; 2) trong hệ trục vuông Oxy

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b) Chứng minh tam giác IBO cân

e) Gọi K là điểm đối xứng của O đối với I Hỏi tứ giác OAKB là hình gì ? -

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG |

Cho tam giác ABC có các trung tuyến AA;, BB¡, CC; cắt nhau tại G a) Chứng minh đẳng thức : AA, + BB, + CC, =0

b) Cho M la mét diém bat ki, Chung minh: MA+ MB+ MC = 3MG

Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy các điểm D và E sao cho

BD = DE = EC Ching minh: AB+AD+ AE+AC=4AA,

với ẠA; là trưng tuyến của tam giác ABC kẻ từ A

Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là I Gọi a, b, c lần

lượt là các cạnh BC, CA, AB Ching minh: alA +bIB +cIC =0

Cho tam giác ABC Dựng điểm N sao cho 3NA - 3NB+ NỞ = 0

Cho hình vuông ABCD tâm O Chứng minh rằng các vectơ sau đây không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên mặt phẳng

21

1.60 Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA,

AB Hãy biểu thị các vectơ AB, BC, CA theo các vectơ BE và CF 1.61 Cho tam giác ABC Goi M, N theo thứ tự là trung điểm tủa AB, AC

Hai điểm I, K được xác định bởi các hệ thức :

21A+31C =0; 2KẢ + 5 K + 3KC = 0 a) Chứng minh M, N, K thẳng hàng

b) Chứng minh K là trung điểm của BI

1.62 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn

ngoại tiếp'O, M là trung điểm của cạnh BC, D ole điểm đối xứng của

A đối với O Chứng minh :

a) BH = DC, AH = 20M b) HA+HB+ HC = 2HO

ce) OA+ OB+0C = OH ' d) O, H, G thang hàng

1.63 Cho tit gidc ABCD Goi P 1a giao diém cia AD va BC; I, K lan lượt

là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng nếu P, I, K thẳng

hang thì tứ giác ABCD là hình t! ¬g

1/64 Cho hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì trên mặt phẳng

Hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho

MA + MB+MC+3MD =k MI vớ: mọi M

1.65 Trên trục tọa độ xOx cho các điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2, 5

a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức 3MA + 5MB = 0

b) Cho điểm C trên trục xOx Hãy biểu thị AC qua các vectơ BC

va IA, véi I la trung điểm của AB

1.66 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho cdc diém A(-1; 2), B(2; 1), C(3; 5)

a) Biểu thị vectơ BC qua AG va AC, trong đó G là trong tam của tam giác ABC

b) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức AM+2 AC + BỀ = 0

e) Tìm tọa độ điểm G' đối xứng với G qua A

đ) Tìm chu vi tam giác ABC

Cương II

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECIƠ VA UNG DUNG

&1 đú4 trí lu@Mg giác của một gốc bắt ki (ta O° dén 180°)

ay

1 Định nghĩa

Với mỗi góc œ (0° < œ < 190)) ta xác a

định một điểm M trên nửa đường /

Gid sit M co toa dé Mix; y) thi:

+ Tung độ y của M gói là sin của góc œ kí hiệu là sina

+ Hoành độ x của M gọi là eosin cua goc a, ki hiéu la cosa

+ Tị số — (uới x #0) gọi là tang của góc ø, kí hiệu là tang

+ Nếu hai góc bù nhau thì sùi của ching bang nhau, cosin, tang,

cotang của chúng đối nhau.,

+ Nếu hai góc phụ nhau thì si góc này bằng cosản của góc kia :

© sin(180° — a) = sina © sin(90° - œ) = cosa

© cos(180° - a) = -cosu © cos(90° ~ a) = sina

© tan(180° — œ) = -tuna © cot(90° - œ) = tana

Dùng định nghĩa các giá trị lượng giác của một góc và các tính chất

hin’ hoe, hay chi rõ rằng : Nếu 0 < x < y < 90° thì sinx < siny và

Hướng dẫn

trên đường tròn đơn vị tâm oO

gắn với hệ trục tọa độ vuông Oxy

Suy ra dây cung MM; nhỏ hơn

đây cung NN¡, suy ra :

OH = PM < QN = OK

Day.cung MM, nhé hon day cung NN; nên khoảng cách đến tâm

ua NN¡ lớn hơn khoảng cách đến tâm của NN: :

Trên nửa đường tròn đơn vị têm O S/o ab M

gan v6i hé truc toa dé Oxy Hiém M /

trén nua dudng tron Pat AOM = x

cos’ x cos’ x a" Ls cos x

Với sinx #0, cotx= —

Do OK là phân giác của tam giác

cân OAN kẻ từ đỉnh ta có OK 1 AN,

Do 90° < x < 180° nén cosx < 0, tanx < 0, cotx < 0

tanx — cotx = thả ene tỉ

10

2.6 Cho0°<x< 90° Sử dụng công thức tính giá trị lượng giác của các

góc bù nhau, phụ nhau, hãy chứng minh các đẳng thức :

sin(90° + x) = cosx ; cos(90° + x) = -sinx

tan(90° + x) =-cotx ; cot(90° + x) = -tanx

Hướng dân

a) Theo tính chất của các góc bù nhau :

sin(90° + x) = sin[180° — (90° + x)] = sin[90” — x]

Theo tính chất của các góc phụ nhau : sin(902 — x) = cosx

Vậy sin(90° + x) = cosx

26

= sin?x — cos*x — ] + 2cosx = sin*x - cos°x — sin®x — cos’x + 2cosx

= -2cos’x + 2eosx = 2cosx(1 - cosx) + DPCM

2.8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuôc x :

a) A = sinÔx + cosÔx + 3sin Xcos”x

b) B = (sin*x + cos'x — 1)(tan’x + cot’x + 2)

Hướng dẫn a) A = (sin?x)® + (cos"x)* + 3sin°xcos"x

= (sin®x + cos2x)(sin^x — sin®xcos’x + cos*x) + 3gin2xcos?x

= (sin?x + cos’x)” — 2sin*xcos"x — sin*xeo8°x + 3cos’xsin?x = 1

không phụ thuộc x

a » : 3 sin? x cos” x

[(sin?x + cos?x)? — 2sin?xcos*x — "| + +2

BAI TAP TU GIAI

Tìm giá trị của các biểu thức sau (nhờ bảng các giá trị lượng giác

của các góc đặc biệt) :

a) A = 4 — sin’60° + 2cos30° ~ 3tan”45°

b) B = 4sin‘135° + V8 cos*150° — 3cot”120°

c) C = 8 — cos’30° + 2sin°45°- v3 tan?60°

p= - a” sin? 90° + b? cos 0°

a cot 45° + bcos180° - 2a cot 90°

Dùng định nghĩa giá tri lugng gidc cua m6t géc hay cht’1g minh :

a) Nếu 0°<x<45° thi sinx <cosx

b) Néu 45° <x < 90° thì sinx > cosx

Tính các giá trị lượng giác của góc x trong mỗi trường hợp sau :

a) tanx = 2, 0° <x < 90° b) sinx = m 90° < x < 180°

Cho cosx = “si 96° < x < 180° Tìm giá trị của các biểu thức sau :

a)P= i+ tanx b) Q= sin®x + cos*x — tanx

Cho sinx + cosx = 1 Tính các giá trị lượng giác của góc x

Rút gọn các biểu thức :

4tan?x | 4sin? xcos* x

b) B = y(1 + tan x) cos? x + (1+ cot x) sin” x

$2 Cich v6 hung cha hai vecto

1 Géc gitta hai vecto

Cho hai vecto khac 0 la a va b Tit diém 0 tùy ý uẽ các 0uectơ

OA =a, OB=b Khi do s6 do cia góc AOB gọi là số đo góc giữa

2 Tích vô hướng cua hai vecto b B

Tích uô hướng cúa hai 0ccld œ 0à b, kí hiệu œ.b được xác định như sau : a.b =|allb|eosta; b)

3 Các tính chốt của tích vô hướng

Với mọi vecta a,b,c va moi sé thuc k taco:

b.a (tinh chat giao hodn)

4 a(b+e)=aœ.b+a.e (thính chất phân phối đối uới phép cộng)

4 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai 0ectd a =(x;y) tù b = (x';y') thi:

CAC Vi DU GIAI TOAN

a) Theo tính chất phân phối của tích vô hướng ta có :

(ä+ bề = (4+ b\(a + b) = a(a + b)+ b(a + b)

b, e) Chứng minh tương tự câu a)

9.17 Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 11

a) Tính tích vô huớng AB AC

b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 và trên AC lấy điểm

N sao cho AN = 4 Tính AM.AN

Hướng dẫn

a) CB =(AB- AC)? = AB + AC -2AB.AC

= AB.AC= S(AB + AC - - 6B) = 2@? 8-11) =-2

b) Tacs: AM=2AB, 3 AN-= AC 2

AM.AN - LAB.Ì A - LAR.A€ - -21 3.9 6 12

b) Gọi AD là đường phân giác của góc BAC Tính cos DAM

~Suy ra Bite Điện AD = Bs BD SAB eS BC

2

= tag lL aucac lge an-tne ac 2 2 5 5

= oy to3t +t ¥7.3.cos C.— 2 v7.2cosB

AB AC = (MB~ MAXMC- MA)

"thay (4) vào (3) ta được (1)

| AB? - AC?|=|(AB+ AG\(AB = AC)|= 2|AM.CB| : 6)

nhất, giá trị nhỏ nhất khi M di động trên *ường tròn nae tiép

Hướng dẫn Với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có :

MA? = (MG+GA)? = MG? + GA? + 2MG.GA

AB? + AC? = 4AG? + GB? + GC?

Tương tự, khi M trùng với B, với C ta được : (IS

Cộng các đẳng thức trên ta suy ra : Ne ea

2(AB’ + BC? + CA’) = 6(GA? + GB? + GC’)

= GA’ + GB + GC’ = 2 (AB? + AC” + BC’)

Ta đặt : S = MA? + MB? + MC? = GA? + GB? + GC? + 3MG?

Vi GA? + GB? + GC? khéng déi nén S dat gid trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất phụ thuộc MG

33

Từ tính chất của đường trịn, MG lớn nhất khi M ở vị trí M; với

tâm O là điểm nằm trên đoạn MỊG và MG nhỏ nhất khi M ở vị trí

ˆ Mạ, lúc đĩ tâm O nằm trên đoạn M;ạG kéo dài

9.21 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tìm tập hợp (qui tích) những _ điểm M sao cho :

trong đĩ AD là trung tuyến của AABC Điều này chứng tỏ tập hợp

(quĩ tích) các điểm M thỏa mãn (1) là đường thẳng đi qua A vuơng gĩc với AD

b) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta cĩ :

MA+ MB+MC = MỎ + Ộ + MỎ+ OB+ MƠ + OC

2.22

a)

MA +MB +MC = (MO OA)? + MÔ + OB)° + (MỎ+ OỞ)?

= 3MO? + OA? + OB? + OC?+2 MỎ(OA + OB + OC)

Thay MA.MB+MB.MC+MC.MA = ¬ ta được :

3MO? + a” + 5a” = 9MO” =°_ˆ MO? = a? (4)

O cố định nên (4) cho thấy tập hợp (quỹ tích) các điểm M thỏa mãn

Ta lại có : GB? + GC’ = (GA+ AB)? +(GA + AC)?

1 2GA? + AB? + AC? + 2GA(AB+ AC) 2GA? + AB? + AC? - 2AG.3AG

AB? + AC? - 4GA?

35

trung tuyến AD

Cho hai vectơ a = (~9; 1), b(; - 1)

a) Tính tích vô hướng a.b và cosin của góc (a; b)

Huéng dan

a) Tacó: AB=(2-0;3+1)=(2 4)

AG=(5-0;0+1)- 5 2°.) 2

—> —?

a AB=4AC Vay A, B, C thang hang

b) Gia st M(x; y) AM va AB cùng phương, nghĩa là ta có :

vì IEM+FMI=|2IM| nên |EM+ FM| nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất

hay M là hình chiếu vuông góc của I trên AB, tương đương :

b) Tìm độ dài đường cao AH

3.36 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, đường cao AH

a) Tinh AB.HC b) Tinh (AB- AC\2 AB + BC)

37

a) Tính các tích vô hướng AB.CD, ‘BD BC, AC.BD

b) Gọi trung điểm của CD là I Tính AI.BD

Cho hai vectơ a,b với |a|l=3, |b|=8, |a+b|=4 Tính tích vê

hướng A = (a-3b)(2a + b)

Cho tam giác ABC, biết A(1; 2), B(-2; 6), C(4; 2)

a) Tinh AB.AC va cosin cua géc A

b) Tim toa độ của điểm H là chân đường cao AH của tam giác Cho tam giác ABC, biết hai đỉnh A(2; 6), B(-3; -4) và trọng tâm

G (é: HÌ

3 8

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tìm tọa độ điểm D chân đườn: hân giác trong của góc B

©) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bỏi lập sử dụng tích vô hướng để chứng minh

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, điểm M tùy ý

_ trên đường tròn Chứng minh rằng đại lượng MA? + MB? + MC? 2.92

2.38

2.34

không đổi khi M di động trên đường tròn

Cho tam giác ABC có trực tâm H Trung điên của BC là M Chứng

minh :

a) MA.MH = 2 RC? - b) MH? + MA? = AH? + 5 BC

Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC,

CA, AB Chứng minh :AM.BC + BN.CA + CP.AB =0

Cho tam giác ABC với trọng tâm G và điểm M trên mặt phẳng Chứng minh : ‘

T = MA.GB+MB.GC+ MG.GA cé giá trị ae đổi khi M di động.

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

b) Gọi M là trung điểm BC Tìm hệ thức giữa các cạnh của tam

giác ABC để OH | AM

Cho tam giác ABC Về phía ngoài tam giác ta dựng hai hình vuông

ABDE và ACFG Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EG Chứng minh AM L BC

=> —> — —

Cho tứ giác ABCD biết AB.AD+ BA BC + GB.CD+ DC.DA =0

Chứng minh ABCD là hình binh hành

Bỏi tập về tìm tập hợp (quỹ tích) điểm

Cho hai điểm phân biệt, cố định A và B Tìm tập hợp (quỹ tích) các

điểm M thỏa mãn :

a) 2MA? + MB=k_ (k là hằng số dương cho trước)

'_b) MA? - 8MB = k

2.41 Cho tam giác ABC

a) Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm M thóa mãn :

MA.MB =k (k là số thực cho trươc)

ˆ b) Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm M thỏa mãn :

2.42

MA? + MA.MB =0

Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn :

a) MA.MC+MB.MD = a? b) MA? ~ MB? + MC? = a”.

2.43 Cho tam gidéc ABC cé trong tam G Tim tap hgp édc diém M thỏa

man:

‘a) MB.MC-MB.MG = AB? _b) (2MA-3 MBXMA+2MB) = 0

2.44 Cho tam giác vuông cân ABC, cạnh huyền AB = a Tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn : MA?-+ MB? + MC? = 3a?

§3 HE thie lung trong.tam gide

1 Định lí Cosin trong tam gidc

_ Trong tam giác ABC, đặt BC = a, CA = b, AB = c ta luồn có :

a’ = bŸ + c? ~ 2becosA

b? = a’ +c” - 2accosB

l c? = d? + bŸ— 2abcosC

2 Định lí Sin trong tam gidc pf

Với mọi tam giác ABC, ta luôn có :

sinA -sinB’ sinC

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3 Công thức độ dòi trung tuyến củo †ơm gióc

Ki hiệu mạ„ mụ, m lần lượt là độ dải các trung tuyến ứng uới các cạnh BC, CA, AB của tam = ABC, ta:cé cde céng thite trung

tuyển sau đây :

4 Diện tích tam giác

KỈ hiệu hạ hạ, h¿ lần lượt là đường cao của tam giác ABC ứng uới