PP hai duong vuong goc

* Lưu ý: Nhận thấy rằng tất cả các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳngtrong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, hoặc thi THPT Quốc gia đều có dạng “Tính khoảng cách từ 1 điểm n

PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

Trong chương này tôi trình bày bài toán gốc và phương pháp hai đường vuông góc một cách chi tiết có phân tích các yếu tố trong quá trình thực hiện Sau đó tôi trình bày một

ví dụ áp dụng đơn giản của phương pháp

2.1 Bài toán gốc

Cho mặt phẳng   chứa đường thẳng AB Đường thẳng SH vuông góc với   tại

H (H�AB ) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB)

Lời giải

Kẻ HI AB I( �AB) Khi đó AB (SHI) Suy

ra (SAB)  (SHI) theo giao tuyến SI.

( ,( ))

Do SHI vuông tại H nên HK HS HI2. 2







2.2 Phân tích bài toán gốc

Bài toán gốc trình bày ở trên là bài toán cơ bản nhất trong bài toán tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng Hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia đều được xuất phát và quy về bài toán gốc này Bài toán gốc và bài toán tính khoảng cách trong các đề thi thường có mối liên hệ như sau:

- Điểm S ở trong bài toán gốc chính là đỉnh của hình chóp hoặc một đỉnh nào đó của hình lăng trụ

- Đường thẳng AB chính là một cạnh đáy của hình chóp hoặc cạnh đáy của hình lăng trụ

- Điểm H chính là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ

- Mặt phẳng (SAB) chính là mặt bên của hình chóp hoặc là mặt bên của hình lăng trụ

* Lưu ý: Nhận thấy rằng tất cả các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, hoặc thi THPT Quốc gia đều có dạng “Tính khoảng

cách từ 1 điểm nằm trên mặt phẳng đáy (điểm này có thể không phải chân đường cao) đến một mặt bên nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ” Và mọi bài toán dạng này

đều được quy về bài toán gốc trên Do đó việc nắm được cách giải bài toán gốc là cơ sở để giải quyết các bài toán tính khoảng cách trong không gian

2.3 Phương pháp hai đường vuông góc.

Với các dữ liệu cho như trong bài toán gốc, ta có phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng như sau:

Bước 1 (kẻ đường vuông góc thứ nhất): Từ chân đường cao (điểm H) kẻ đường thẳng

vuông góc với giao tuyến của mặt bên đang xét với mặt phẳng đáy (chính là cạnh AB) Khi

đó ta chứng minh được AB (SHI)

Bước 2 (kẻ đường vuông góc thứ 2) Từ điểm H kẻ đường thẳng HK vuông góc với giao

tuyến SI của hai mặt phẳng (SHI) và (SAB) Khi đó HK chính là khoảng cách cần tính

Bước 3 Tính đoạn HK dựa vào tam giác vuông HIK.

2.4 Một số lưu ý khi thực hiện phương pháp hai đường vuông góc.

- Ở Bước 1 khi kẻ HI  AB, ta phải căn cứ vào tính chất

của mặt phẳng đáy để xác định chính xác vị trí điểm I để

tính HI trong Bước 3 Trong trường hợp đặc biệt điểm I có

thể trùng với điểm A hoặc điểm B

- Phương pháp hai đường vuông góc còn được áp dụng để

xác định góc giữa hai mặt phẳng ( ),( SAB)  �SIH.

2.5 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB tạo với mặt đáy góc 450 Tinh khoảng cách

từ A đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải

Kẻ AI BC I BC( � ) �BC (SAI) � (SBC) (  SAI) theo giao

tuyến SI

Ta có AC BC2 AB2  9a2 a2  2a 2

3 8

AI

�

2

2 2

( ,( )

17 8

9

a

a

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng

Trong mục này tôi trình bày một số bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp hai đường vuông góc, có phân tích và hướng dẫn cụ thể

Trở lại bài toán gốc, ta thấy rằng điều kiện để áp dụng được phương pháp hai đường vuông góc là điểm H là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ Trong trường hợp H không phải là chân đường cao thì ta xử lý thế nào? Để giải quyết vấn đề này ta sẽ tính gián tiếp thông qua chân đường cao bằng cách áp dụng thuật toán rời điểm như sau:

Thuật toán rời điểm 1.1 Rời điểm song song: Cho mặt phẳng   và đường

thẳng AB/ /  Khi đó d A( ,( ))  d B( ,( )) 

1.2 Rời điểm cắt nhau: Cho   và đường thẳng AB sao

cho AB�  I Khi đó d A d B( ,( ))( ,( )) IB IA

 

1.3 Nhận xét Thuật toán rời điểm cho phép ta chuyển việc tính khoảng cách từ một điểm

không phải chân đường cao về tính khoảng từ điểm là chân đường cao Trong một số bài toán ta có thể kết hợp hai thuật toán rời điểm song song và rời điểm cách nhau để tính như sau:

( ,( )) ( ,( ))

( ,( ))

( ,( ))







�

�

�

�

3.1.2 Một số bài tập áp dụng

Bài 1(Đề minh họa năm 2015): Cho hình chóp S.ABC có

đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, �ACB 30 0

Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung

điểm của cạnh AC và SH a 2 Tính khoảng cách từ

điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Phân tích

- Bài toán có dạng “tính khoảng cách từ điểm C nằm trên

mặt đáy đến một mặt bên”.

- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt bên với mặt đáy (chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm của AB)

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI Khi đó d H SAB( ,( )) HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d H SAB d C SAB( ,(( , ( ))  AH AC Tính d C SAB( ,( ))

Lời giải.

* Tính d H SAB( ,( ))

Kẻ HI AB I( �AB) � AB (SHI) � (SAB)  (SHI) theo giao tuyến SI

Ta có os� 2 3 3

2

a

�

2

3 2.

11 3

2

4

a a

HK

a

�

* Mặt khác ta có ( ,( ) 1 ( ,( ) 2 ( ,( ) 2 66

Bài 2(Khối A năm 2014): Cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3

2

a

SD Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy (ABCD) là

trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (SBD)

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm

trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một

đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy

(chính là đường thẳng BD) ta thu được điểm I (trong đó 1

4

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI tại K Khi đó d H SAB( ,( )) HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d H SBD d A SBD( ,(( ,( ))  BH BA Tính d A SBD( ,( ))

Lời giải

* Tính d H SBD( ,( ))

Kẻ HI BD I( �BD) �BD (SHI) � (SBD) (  SHI) theo giao tuyến SI

Kẻ HK SI K SI( � ) �HK  (SBD) Do đó d H SBD( , ( ) HK

a

2

2

3 8

a a

HK

a

�

* Mặt khác ta có ( ,( ) 1 ( ,( ) 2 ( ,( ) 2

Bài 3(Khối B năm 2014): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có

đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của

A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB,

góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 600

Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm

trên mặt đáy tới một mặt bên của hình lăng trụ”

- Điểm A’ đóng vai trò tương tự như điểm S trong bài bài toán gốc AC là giao tuyến của mặt phẳng đang cần xét với mặt đáy

- Do A’B không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng AC) ta thu được điểm I

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng A’I tại K Khi đó ( , ( ' '))

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d H ACC A d B ACC A( ,(( ,( ' ')' ') AH AB Tính d B ACC A( ,( ' '))

Lời giải

* Tính d H ACC A( , ( ' '))

3 3

26

16 4

HK

�

* Mặt khác ta có ( ,( ' ') 1 ( ,( ' ') 2 ( ,( ' ') 3 13

Bài 4(Khối A năm 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy

là tam giác vuông tại A, �ABC 30 0 , SBC là tam giác

đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính

theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm

trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một đường

thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm AB )

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI tại K Khi đó d H SAB( ,( )) HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d H SAB d C SAB( ,(( , ( )) BH BC Tính d C SAB( ,( ))

Lời giải

* Tính d H SAB( ,( ))

Kẻ HI AB I( �AB) � AB (SHI) � (SAB)  (SHI) theo giao tuyến SI

2

a

3

26 3

4 16

HK

�

* Mặt khác ta có ( ,( ) 1 ( ,( ) 2 ( ,( ) 39

Bài 5(Khối B năm 2013): Cho hình chóp S.ABCD

cóđáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(SCD) theo a

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm

trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một

đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng CD) ta thu được điểm I

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI tại K Khi đó d H SCD( ,( )) HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d A SCD( ,( )) d H SCD( ,( )) Tính d A SCD( ,( ))

Lời giải

* Tính d H SCD( , ( ))

+ HI a

2

a

2

3

7 3

4

a a

HK

a

�

* Mặt khác ta có / /( ) ( , ) ( ,( )) 21

7

a

3.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

3.2.1 Nhận xét:

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong

không gian là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao

đảng, THPT Quốc gia Để giải bài toán này ta thường dùng các

phương pháp sau:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

( , )

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó

( , ) ( ,( )) ( , ( ))

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với

nhau và chứa hai đường thẳng đó

Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các kỳ thi

Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia chủ yếu sử dụng cách thứ hai để tính Bài toán được

phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho đường thẳng b� ( )  , a� ( )  A , a và b chéo

nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b Vấn đề đặt ra là “Hãy trình bày

quy trình thực hiện cách thứ hai để áp dụng chung cho các bài toán” thì hầu như chưa

ai đưa ra quy trình cả Sau đây tôi trình bày quy trình thực hiện để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau theo cách thứ 2

3.2.2 Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Với các dữ kiện như trên, ta có quy trình để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a

và b như sau:

Bước 1: Từ điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng b Khi đó b/ /( ;a Ax)

Bước 2: d a b( , ) d b a Ax( ;( ; )) d H a Ax( ;( ; ))

Bước 3: Tính d H a Ax( ;( ; )) theo phương pháp hai đường vuông góc

3.2.3 Nhận xét

- Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau thực chất là bài toán mở rộng của bài toán

tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Tuy

nhiên nó cho dưới dạng ẩn mà ta phải đi làm thêm Bước

1 và Bước 2 để đưa về bài toán tính khoảng cách từ 1

điểm đến mặt phẳng

- Mối liên hệ giữa bài toán tổng quát và các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong đề thi:

+ Đường thẳng b chính là một cạnh nằm trên mặt phẳng đáy

+ Đường thẳng a chính là một cạnh nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ.

+ Điểm A chính là giao điểm của cạnh hình chóp và mặt phẳng đáy

- Ở bước thứ nhất khi kẻ đường thẳng Ax ta cần dựa vào tính chất của mặt đáy để xác định chính xác vị chí đường thẳng này Trong trường hợp đặc biệt đường thẳng Ax có sẵn không cần kẻ thêm

3.2.4 Bài toán áp dụng

Bài 1(THPT QG năm 2015): Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách giữa SB và AC

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm B kẻ đường thẳng Bx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy Khi

đó AC/ /(SB Bx, )

- Khi đó ta quy về d SB AC( , ) d AC SB Bx( ,( , ) d A SB Bx( ,( , ))

- Tính d A SB Bx( ,( , )) theo phương pháp hai đường vuông góc

Lời giải

Kẻ Bx/ /AC�AC/ /(SB Bx, )

Khi đó d SB AC( , ) d AC SB Bx( ,( , ) d A SB Bx( ,( , ))

* Tính d A SB Bx( ,( , ))

.sin 45

2

a

+ AS AC a 2

2 2 2

2

2 2

5 2

2

a a

AK

a

�

Do đó ( ,( , )) 10

5

a

5

a

Bài 2(Khối D năm 2014): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

mặt phẳng bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy Khi

đó BC/ /(SA Ax, )

- Khi đó ta quy về d SA BC( , ) d BC SA Ax( ,( , ) d H SA Ax( ,( , ))

- Tính d H SA Ax( ,( , )) theo phương pháp hai đường vuông góc

Lời giải

Kẻ Ax BC/ / �BC/ /(SA Ax, )

Khi đó d SA BC( , ) d BC SA Ax( ,( , ) d H SA Ax( ,( , ))

* Tính d H SA Ax( ,( , ))

Do ABC vuông cân tại A nên HAAx � Ax (SHA) � (SA Ax, ) (  SHA) theo giao tuyến SA

+ 1

a

2

a

2 2 2 2

3

4 3

a a

HK

�

Do đó ( , ( , )) 3

4

a

4

a

Bài 3(Khối A năm 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB Góc

giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy Khi

đó BC/ /(SA Ax, )

- Khi đó ta quy về d SA BC( , ) d BC SA Ax( ,( , ) d B SA Ax( ,( , ))

- Tính d B SA Ax( ,( , )) theo phương pháp hai đường vuông góc

Lời giải

Kẻ Ax BC/ / �BC/ /(SA Ax, )

Khi đó d SA BC( , ) d BC SA Ax( ,( , ) d B SA Ax( ,( , ))

* Tính d H SA Ax( ,( , ))

.sin 60

2 2 2 2

21 3

12

HK

�

Do đó ( ,( , )) 42

12

a

Mặt khác ( ,( , )) 2 ( ,( , )) 3 ( ,( , )) 42

Vậy ( , ) 42

8

a

Bài 4(Khối A năm 2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi

M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

và SN theo a

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm N kẻ đường thẳng Nx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy Khi

đó AB/ /(SN Nx, )

- Khi đó ta quy về d AB SN( , ) d AB SN Nx( , ( , )) d A SN Nx( ,( , ))

- Tính d A SN Nx( ,( , )) theo phương pháp hai đường vuông góc

Lời giải

Kẻ Nx/ /AB� AB/ /(SN Nx, )

Khi đó d SN AB( , ) d AB SN Nx( ,( , ) d A SN Nx( ,( , ))

+ SA AB tan 60 0  2 3 2a  a 3

+ 1

2

13 12

AK

�

Do đó ( ,( , )) 2 39

13

a

13

a

Bài 5(Khối A năm 2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thằng DM và SC theo a

Phân tích

- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy DM Khi đó DM / /(SC Cx, )

- Khi đó ta quy về d DM SC( , ) d DM SC Cx( ,( , )) d H SC Cx( , ( , ))

- Tính d H SC Cx( ,( , )) theo phương pháp hai đường vuông góc

Lời giải

Khi đó d DM SC( , ) d DM SC Cx( ,( , )) d H SC Cx( , ( , ))

theo giao tuyến SC

2 5

5 5 2