Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm nói trên biết AB = 20cm.. Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,5 đ) Rút gọn biểu thức P = 10 3 11− − 10 3 11+
Câu 2 (1,5 đ) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn ( 2009 ) (2 2009 )2 n
10 +25 − 10 −25 =10
Câu 3 (1,5 đ) Giải phương trình x6 + 19x3 – 216 = 0
Câu 4 (1,5 đ) Giải hệ phương trình
x y + xy = 120
x + y = 8
Câu 5 (1,5 đ) Hai đường tròn đồng tâm O có các bán kính là R và r (R > r) AB là một dây của
đường tròn (O ; R) đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O ; r) Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm nói trên biết AB = 20cm
Câu 6 (1,5 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x2 −2 5 x 6+
Câu 7 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H∈BC), B 60µ = o
Chứng minh AB + BH = HC
Câu 8 (1,5 đ) Với mọi x, y là các số thực khác 0.
Chứng minh rằng không thể xảy ra đẳng thức (x2 + y2)3 = (x3 + y3)2
Câu 9 (1,5 đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy + x – 2y = 5
Câu 10 (1,5 đ) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > 3b và ab = 1.
Chứng minh a2 9b2 2 6
a 3b
Câu 11 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H∈BC).
Chứng minh AB + AC – BC < AH
Câu 12 (1,0 đ) Cho hai phương trình : x2 + bx + c = 0 (1)
và x2 + cx + b = 0 (2) Biết bc ≥ 2 (b + c) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
Câu 13 (1,25 đ) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC và CA lần lượt là 4, 5 và 6
Chứng minh B 2Cµ = µ
Câu 14 (1,25 đ) Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường
tròn, bờ là đường thẳng AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn Từ điểm E trên nửa đường tròn (E≠A, E≠B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ở C Gọi H là hình chiếu của E lên AB, giao điểm của CB và EH là M Chứng minh M là trung điểm EH
HẾT
HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : Số báo danh
Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2
Trang 2Câu 1 (1,5 đ) Rút gọn biểu thức P = 10 3 11− − 10 3 11+ .
P 2= 2 10 3 11( − − 10 3 11+ ) 0.25
= 20 6 11− − 20 6 11+ 0.25 = ( ) (2 )2
= 11 3− − 11 3+ = ( 11 3− −) ( 11 3+ )= –6 0.25
Câu 2 (1,5 đ) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn ( 2009 ) (2 2009 )2 n
10 +25 − 10 −25 =10 .
10 +25 − 10 −25 = ( 2009 2009 ) ( 2009 2009 )
10 +25 10+ −25 10 +25 10− +25 0.5 = ( 2009)
2.10 50 = 2009
100.10 = 2011
Suy ra 102011 = 10n ⇒ n =2011 0.5
Câu 3 (1,5 đ) Giải phương trình x 6 + 19x 3 – 216 = 0.
Đặt t = x3 ta có PT : t2 + 19t – 216 = 0 0.25
Câu 4 (1,5 đ) Giải hệ phương trình
x y + xy = 120
x + y = 8
Lập luận được x và y là nghiệm của phương trình X2 – 8X + 15 = 0 0.25
Suy ra (x,y) = (5 ; 3) hoặc (x,y) = (3 ; 5) 0.5
Câu 5 (1,5 đ) Hai đường tròn đồng tâm O có các bán kính là R và r (R > r) AB là một dây của đường tròn (O ; R) đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O ; r) Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm nói trên biết AB = 20cm.
Gọi tiếp điểm của AB với (O ; r) là I
Lập luận được tam giác AOI vuông ở I 0.25
Viết được công thức SVK = πR2 −πr2 0.25 Lập luận đến SVK = π IA2 0.5 Tính được SVK =100π cm2 0.25
Câu 6 (1,5 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x2 −2 5 x 6+ .
Suy được Q ≥ 1 hay giá trị nhỏ nhất của Q là 1 0.5 Xác định đúng giá trị của x = 5 để Q đạt giá trị nhỏ nhất 0.5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
R r
I
O
Trang 3Câu 7 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H∈BC), B 60µ = o Chứng minh
AB + BH = HC.
Lập luận được
AB + BH = AB + AB.cos60o = AB + AB.1
2 = 3
2AB 0.5 Lập luận được
HC = AC.cos30o = (AB.tg60o).cos30o 0.5
= (AB 3) 3
2 = 3
Kết luận AB + BH = HC 0.25
Câu 8 (1,5 đ) Với mọi x, y là các số thực khác 0.Chứng minh rằng không thể xảy ra đẳng thức (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 + y 3 ) 2
Giả sử (x2 + y2)3 = (x3 + y3)2 (với x khác 0, y khác 0)
⇒ x6 + y6 + 3x2y2(x2 + y2) = x6 + y6 + 2x3y3 ⇒ 3x2y2(x2 + y2) = 2x3y3 0.25 ⇒3(x2 + y2) = 2xy (vì x khác 0, y khác 0) 0.25 ⇒(x2 – 2xy + y2) + 2(x2 + y2) = 0 ⇒ (x – y)2 + 2(x2 + y2) = 0 (*) 0.5 Mặt khác, với x khác 0, y khác 0 suy được (x – y)2 + 2(x2 + y2) > 0 (**) 0.25 Phát hiện (*) và (**) mâu thuẫn suy ra đpcm 0.25
Câu 9 (1,5 đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy + x – 2y = 5.
Từ PT đã cho suy ra x = 2 + y + 13 0.5 Lập luận được y + 1 ∈ {–1 ; 1 ; –3 ; 3} 0.25
Tìm được nghiệm nguyên (–1 ; –2), (5 ; 0), (1 ; –4), (3 ; 2) 0.5
Câu 10 (1,5 đ) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > 3b và ab = 1.
Chứng minh a2 9b2 2 6
a 3b
Lập luận được BĐT (*)⇔ a2 +9b2 ≥ 2 6 a 3b( − ) ( vì a – 3b > 0) 0.25 ⇔ a2 −6ab 9b+ 2 − 2 6 a 3b( − )+6ab 0≥ 0.5 ⇔ ( )2 ( )
a 3b− − 2 6 a 3b− + ≥6 0 (vì ab = 1) 0.25 ⇔ ( )2
Câu 11 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H∈BC).
Chứng minh AB + AC – BC < AH.
Lập luận được AB2 + AC2 = BC2, AB.AC = AH.BC 0.25
Ta cần chứng minh AB + AC < AH + BC (*) 0.25 Thật vậy (*) ⇔ (AB + AC)2 < (AH + BC)2 0.25 (vì AB + AC > 0, AH + BC > 0)
(*)⇔AB2+AC2+2AB.AC < AH2+BC2+2AH.BC 0.25 ⇔ BC2 + 2AH.BC < AH2 + BC2 + 2AH.BC 0.25 ⇔ 0 < AH2 (đúng) Suy ra đpcm 0.25
A
C H
A
B 60 o
Trang 4Câu 12 (1,0 đ) Cho hai phương trình : x 2 + bx + c = 0 (1) và x 2 + cx + b = 0 (2)
Biết bc ≥ 2 (b + c) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Xét PT (1) ta có ∆1 = b 2 – 4c, xét PT (2) ta có ∆2 = c 2 – 4b 0.25
Ta có ∆1+ ∆2= b2 + c2 – 4(b + c)
Theo đề 2(b + c) ≤ bc ⇔– 4(b + c) ≥–2bc 0.25 ⇔b2 + c2 – 4(b + c) ≥ b2 + c2 –2bc
⇔ ∆1+ ∆2 ≥ (b – c)2 ≥ 0 0.25 Suy được tồn tại ∆1≥ 0 hoặc ∆2 ≥ 0, từ đó ít nhất một trong hai phương trình
Câu 13 (1,25 đ) Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC và CA lần lượt là 4, 5 và 6 Chứng minh B 2Cµ = µ .
Kẻ phân giác BD (D∈AC)
⇒ AD DC AD+DC AC 6 2= = = = =
Chứng minh được ∆DAB đồng dạng ∆ BAC (c.g.c) 0.25
Suy ra được ABC 2C· = µ (đpcm) 0.25
Câu 14 (1,25 đ) Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn, bờ là đường thẳng AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn Từ điểm E trên nửa đường tròn (E≠A, E≠B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ở C Gọi H là hình chiếu
của E lên AB, giao điểm của CB và EH là M Chứng minh M là trung điểm EH.
Gọi giao điểm của tia BE và tia Ax là D, suy ra được tam giác DEA vuông ở E 0.25 Chứng minh được CD = CA = CE 0.25 Chứng minh được EM MH BM= =
Suy ra được EM = MH (đpcm) 0.25
Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
- HẾT
-6
5 4
D A
B
C
M
D
C
H
x
E
A