SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN BẾN TREMôn : TOÁN chuyên Thời gian: 15 0 phút không kể thời gian phát đề I.. PHẦN TRẮC NGHIỆM: Thời gian làm bài 30 phút / 5,0 điểm Ch
Trang 1SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN BẾN TRE
Môn : TOÁN (chuyên) Thời gian: 15 0 phút ( không kể thời gian phát đề)
I PHẦN TRẮC NGHIỆM: Thời gian làm bài 30 phút / 5,0 điểm
(Chọn phương án đúng cho mỗi câu và ghi vào giấy làm bài Ví dụ: câu 1 chọn A thì ghi 1.A)
Câu 1 Cho x x là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 x2 −5x+ =3 0 Khi đó (x1+1) và (x2+1) là hai nghiệm của phương trình:
A x2−5x+ =5 0 B x2−7x+ =5 0 C x2−7x+ =9 0 D x2−7x+ =8 0
Câu 2 Cho x x là hai nghiệm dương của phương trình: 1, 2 x2 −7x+ =1 0 Khi đó x và 1 x là 2
hai nghiệm của phương trình:
A x2− + =3x 1 0 B x2− 7x+ =1 0 C x2− − =3x 1 0 D x2− 7x− =1 0
Câu 3.Cho ba đường thẳng: ( )d1 :y=2x−1; ( )d2 :y= − +x 5; ( )d3 : y mx m= − Để ba đường thẳng trên đồng quy thì m phải thoả điều kiện:
A.m= −1 B m=1 C m=2 D m=3
Câu 4 Cho parabol ( )P y ax: = 2 và điểm A(1− 2;1) Để ( )P đi qua A thì a phải thoả điều kiện:
A.a= −1 2 B a= +1 2 2 C a= −3 2 2 D 3 2 2+
Câu 5 Cho phương trình (m−1) x2−2mx m− + =1 0 có nghiệm khi m thoả điều kiện:
A.m≥1 B.m≤1 C m≠1 D Với mọi giá trị
Câu 6 Cho phương trình (m+1)x2 −2mx m+ =0 có hai nghiệm phân biệt khi m thoả điều kiện:
A.m > 0 B.m<0 C.m<0 và m≠ −1 D.m>0 và m≠1
Câu 7 Tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là: 3a;4a;5a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC bằng:
A.7
3
a
D.5 3 2
a
Câu 8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Biết µ 2µ
3
A= C , khi đó số đo góc µA bằng:
A.600 B.720 C.1080 D.1200
Câu 9 Cho đường tròn tâm O, bán kính R=5a Hai dây AB và CD song song nhau và C, D
thuộc cung nhỏ »AB Biết AB=8 ;a CD=6a, khi đó khoảng cách giửa hai dây bằng:
2
a
D.5 2
a
Câu 10 Nếu diện tích mặt cầu tăng lên 2 lần thì thể tích hình cầu tăng lên mấy lần?:
Trang 2Bài 1 (3,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(m + 1) – m +1 = 0
1 Xác định m để phương trình có hai nghiệm khác 0
2 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả:
1 1
2
x − x = .
Bài 2 (3,5 điểm)
Cho parabol (P) :
2
2
x
y= −
và đường thẳng (d) : y= −mx+2m; ( m là tham số)
1 Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Xác định toạ độ các điểm tiếp xúc đó
2 Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định I, xác định toạ độ của I
3 Gọi A, B là hai điểm tiếp xúc ở câu a) Tính diện tích tam giác AIB
Bài 3 (3,5 điểm)
1 Giải phương trình: x2 +4 x2 − =4 x2 −4
2 Giải hệ phương trình:
3
1
+ =
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho A và M là hai điểm trên đường tròn tâm O, bán kính R; B là điểm đối xứng của
O qua A và D là trung điểm của OA
1 Chứng minh hai tam giác OMD∆ và OBM∆ đồng dạng
2 Tính độ dài MB khi ·MOA=600
3 Cho C là điểm cố định nằm ngoài đường tròn, xác định vị trí của M trên đường tròn để tổng 2MC + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 (2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 +y3−x y xy2 − 2 =5
Trang 3BÀI GIẢI
I PHẦN TRẮC NGHIỆM:
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.A
II PHẦN TỰ LUẬN:
Bài 1: Phương trình x2−2(m+1)x m− + =1 0 (1)
1) Phương trình (1) có hai nghiệm khác 0
1
m m
m
+ ≥
⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
≥ ≥
≤ − ⇔ ≠
Vậy : m≥0,m≠1 hoặc m≤ −3
2) Áp dụng hệ thức Vi- ét, ta có:
1 2
2 2 1
= − +
Do đó:
1 1
−
(2 2) 4( 1) 4( 1)
20 4 0 1 5
m m
⇔ =
Vậy : 1
5
m=
Bài 2:
1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và(d) là:
2
2
2
x
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) ⇔ ∆ =' m2 −4m=0 0
4
m m
=
⇔ =
• Với m = 0 ⇒ tiếp điểm 0(0;0)
• Với m = 4 ⇒ tiếp điểm B(4;8) 2) Phương trình: y= −mx+2m⇔ − +( x 2)m y− =0
2 0,
0
x
m y
− + =
⇔− = ∀ 2
0
x y
=
⇔ =
Vậy : I(2;0)
Trang 43)
2
AIB
S = AI BH (H là hình chiếu của B /Ox)
= 1.2.8 2 = 8 (đvdt)
Bài 3:
1) Phương trình x2 +4 x2 − =4 x2 −4 Đặt t = x2 − ≥4 0 , Khi đó,ta có phương trình:
4 4
t+ + t =t ⇔ ( t +2)2 =t
2
⇔ −t t − =2 0 (do t + >2 0)
1 ( )
2 ( )
= −
⇔
=
Do đó : t =x2 − = ⇔ = ±4 4 x 2 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x= ±2 2 2) Hệ phương trình
3
4( ) (1)
1 (2)
+ =
Ta có : (1) ( )3 ( 3 3)
4
⇔(x3+y3)+3 (xy x y+ −) 4(x3+y3) =0 ⇔ −3(x3 +y3)+3 (xy x y+ ) 0=
3 x y x y( ) 0
⇔ − + − = ( ) ( )2
3 x y x y 4xy 0
(2) ( )2
⇔ + − = Đặt a x y
b xy
= +
=
ta được:
2 2
2
1 0,
2 1
2, 2
4 0
2 1
1
2
a
= = −
− =
− = = − =
Với 01 10 ( , ) 2, 2 ; 2, 2
x y
Trang 5Với
x y
Với
x y
Vậy hệ pt đã cho có 4 nghiệm: (x y, ) = 2; 2
−
,
2 2
;
2 2
−
,
2 2
;
2 2
,
;
Bài 4:
1) OMD∆ và OBM∆ có:
Ô : góc chung
1 ( ) 2
Do đó OMD∆ : ∆OBM (c.g.c) 1
2
DM BM
2) MOA∆ đều ( do OA = OM và ·MOA=600) nên:
MD vuông góc với OA tại D 3 3
2
R
MD OD
Mà 1
2
DM
BM = (cmt) Do đó:
MB= MD R= (đvđd) 3) Vẽ (d) qua C cắt (O) tại M và N, tiếp tuyến CE
Ta có : CME∆ : ∆CEN (g.g)
2
Mà CE2 =CO2−R2 ( không đổi do C cố định) Theo BĐT Cô-si , ta có:
CM CN+ ≥ CM CN = CO −R (1) Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi CM = CN Khi
đó M ≡ ≡N E hoặc M ≡ ≡N A' ⇔ CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
(1) ⇒ 2CM CN+ ≥2 2CM CN =2 2(CO2 −R2) Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 2CM = CN
3
Mặt khác: BM ≥OB OM− =2R R R− = Suy ra: 4 2 2
3
CM +BM ≥ CO −R +R Vậy :2CM + BM đạt GTNN ⇔ ≡A M và CM là tiếp tuyến của (O)
Bài 5:
Phương trình :x3+y3−x y xy2 − 2 =5⇔(x3 +y3)−xy x y( + ) =5
( ) ( )2
5
x y x y
E
A A'
O
N
B'
C
M B
D
Trang 6( )
2
2
( / ) 5
1
VN Z
x y
hoac
x y
− =
⇔ + =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x,y) = (2;3) ; (3;2)