Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. BK cắt AC tại N.
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO
MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian :90 phút
Bài 1: (1,5 điểm):
a) Giải phương trình: x2 - 6x + 9 = 4
b) Giải bất phương trình: |
5
1
x− | >
5
2
Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm x, y , z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với
A = (x-1)2008 +(y-1)2008+(z-1)2008
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho P(x)=
3 x 6 x 2 x 2 x
3 x x 2 x x
2 3 4
2 3 4
−
−
− +
−
−
− +
a) Rút gọn P(x)
b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4: (1 điểm)
Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và
c
z b
y a
x
=
= Tính giá trị của xy + yz + xz
Bài 5: (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = 6.
Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 ≥3
Bài 6: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM K là một điểm của AM sao cho
KM = 2 KA BK cắt AC tại N
a) Tính diện tích tam giác AKN theo S
b) Một đường thẳng đi qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J
Tính giá trị của: +
AI
AB AJ AC
Trang 2Đáp án Toán 8:
Bài 1 : (1,5 điểm)
a) Tìm đúng x = 5; x = 1 (0,75 điểm) b) |
5
1
x− | >
5
2 ⇔x
-5
1
>
5
2 hoặc
5
1
x− <
5
2
− ⇔ x >
5
3 hoặc x <
5
1
− (0,75 điểm)
Bài 2: (1,5 điểm)
x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0⇔(x - y)2 + (y - 1)2 +(z - 2)2= 0 (0,5 điểm)
⇔
=
−
=
−
=
− 0 2 z
0 1 y
0 y x
(0,25 điểm)
⇔
=
=
=
2 z
1 y x
(0,25 điểm) Tính đúng A= (x -1)2008 +(y -1)2008+( z - 1)2008 =1 (0,5 điểm)
Bài 3: (1,5 điểm)
a)P(x)=
3 x 6 x 2 x 2 x
3 x x 2 x x
2 3 4
2 3 4
−
−
− +
−
−
−
2
2 2
2
2 2
) 1 x (
1 x x ) 3 x ( ) 1 x (
) 3 x )(
1 x x (
+
+ +
=
− +
− +
+
(0,5 điểm)
4
3 4
3 ) 1 x
1 2
1 ( 4
3 ) 1 x (
1 1
x
1 4
1 ) 1 x (
1 1
x
1
1
) 1 x (
1 )
1 x (
1 x )
1 x (
) 1 x ( )
1 x (
1 1 x 1 x 2 x ) 1
x
(
1 x
x
P
)
b
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
≥ + +
−
= + +
+ +
−
= +
+
+
−
=
+
+ +
+
− +
+
= +
+
−
− + +
= +
+ +
=
(0,5 điểm)
2
1 1 x
1 0
1 x
1 2
1
=
⇔
= +
⇔
= +
⇔
= +
P(x) có giá trị nhỏ nhất là
4
3
khi x = 1 (0,25 điểm)
Bài 4: (1 điểm)
) 1 c b a vì ( z y x c b a
z y x c
z
b
y
a
x
= + + +
+
= + +
+ +
=
=
= (0,25 điểm)
Do đó:
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
z y x c b a
z y x c
z b
y a
x
+ +
= + +
+ +
=
=
= ( vì a2 + b2 + c2 = 1) (0,25 điểm)
⇒ x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2 (0,25 điểm)
⇒2xy +2yz + 2xz = 0
⇒ xy + yz + xz = 0 (0,25 điểm)
Bài 5: (1 điểm)
(x-1)2≥0⇔x2+1≥ 2x
Tương tự: y2+1≥ 2y; z2+1≥ 2z và 2(x2+y2+z2) ≥2(xy+yz+xz) (0,5 điểm) Cộng 4 bất đẳng thức theo từng vế ta có:3(x2+y2+z2)+3 ≥2(x+y+z+xy+yz+xz) (0,25 điểm)
⇔ x2+y2+z2≥3(vì x+y+z+xy+yz+xz = 6) (0,25 điểm)
Bài 6: (3,5 điểm)
Trang 3a) Gọi E là trung điểm NC: NE = EC (0,25 điểm)
BNC
∆ có ME là đường trung bình nên ME//BN suy ra KN//ME (0,25 điểm)
AME
AN
NE KA
KM = = ⇒ NE = EC = 2AN (0,25 điểm) Chứng minh được AC = AN + NE + EC = 5AN (0,25 điểm)
Chứng minh được SAKN = 51SAKC (0,25 điểm)
SAKC = 31SAMC (0,25 điểm)
SAMC = 21 SABC (0,25 điểm)
⇒ SAKN =
2
1 3
1 5
1
SABC = S
30
1 (0,25 điểm) b) Vẽ BD // IJ và CF // IJ (D, F thuộc tia AM) (0,25 điểm)
Chứng minh được ∆BMD = ∆CMF ⇒ MD = MF (0,25 điểm)
∆ABD có IK// BD nên:
AK
AD AI
AB
= (định lý Ta-let) (0,25 điểm) ∆AFC có KJ// CF nên:
AK
AF AJ
AC = (0,25 điểm)
AK
MF AM DM AM AK
AF AK
AD AJ
AC AI
(0,25 điểm) 6
AK
AM 2
=
=