MỘT số bài TOÁN về đa THỨC và áp DỤNG

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu và xây dựng hệ thống bài tập về xác định đa thức, tính tổng các hệ số của đa thức, thực hiện phép chia đa thức và các tính chất liên qua đến ngh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu và xây dựng hệ thống bài tập về xác định đa thức, tính tổng các hệ số

của đa thức, thực hiện phép chia đa thức và các tính chất liên qua đến nghiệm của đathức; tính chất của đa thức với hệ số nguyên và giải phương trình hàm đa thức,

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí, đề thi học

sinh giỏi các cấp, phương pháp giảng dạy toán, phương pháp nâng cao, pháttriển tư duy toán học

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua các năm trực

tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

4 Bố cục

A Phần mở đầu

1 Lý do

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

3 Phương pháp nghiên cứu

B Một số bài toán về đa thức và áp dụng

1 Đa thức – Phép chia đa thức

2 Đa thức với hệ số nguyên và phương trình hàm đa thức

C Kết luận

Tài liệu tham khảo

B- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC

§1 ĐA THỨC - PHÉP CHIA ĐA THỨC 1.1 Đa thức và các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1

a) Đa thức f(x) là một biểu thức có dạng

(Trong đó n là số nguyên dương; x là số thực )

b) Nếu f(x) là một đa thức thì hàm số y = f(x) là một hàm đa thức

Với mỗi số thực a, f(a) gọi là giá trị của hàm đa thức f(x) tại điểm a

c) Số tự nhiên n được gọi là bậc của f(x) ký hiệu deg f = n

d) Các hệ số gọi là các hệ số của f(x) , gọi là hệ số bậc cao nhất , gọi là hệ số tự do gọi là hạng tử bậc k là

Chú ý

Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực được ký hiệu là ,

tương tự tương ứng là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số hữu tỉ, hệ số nguyên

1.2 Các phép toán trên đa thức

Cho hai đa thức

a là nghiệm của khi và chỉ khi

Giả sử A = hoặc A = , và m là số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1 Khi đó a là nghiệm bội cấp m của khi và chỉ khi

Định lí 1.3.4 (Định lí Viète)

có n nghiệm thì:

Ngược lại, nếu các số thỏa mãn hệ trên thì chúng là nghiệm của phương trình (1) Hệ (2) có n thành phần và ở vế trái của thành phần thứ k có số hạng, cũng trong vế trái của thành phần thứ k, các số xuất hiện đúng lần.Các hàm được gọi là các hàm đa thức đối xứng Viète bậc 1, 2 , n (một cách tương ứng).

Chú ý: Hệ (2) còn có thể viết lại như sau:

1.4 Công thức nội suy Lagrange

Tồn tại đa thức không lớn hơn bậc n nhận n + 1 giá trị cho trước tại n + 1 điểm khác nhau cho trước

Đa thức này có bậc không lớn hơn n và

Minh họa cho công thức nội suy Lagrange :

Ví dụ 1

Vậy f(12) + f(-8) = 11.10.9.(12 - x0) + 9.12 + [(-9)(-10)(-11)(-8 - x0)+9.(-8)]

= 11.10.9.(12 - x0 + 8 + x0) + 9.(12 - 8)

= 11.102.18 + 36

= 19836

Ví dụ 3* (Vô địch Toán Rumani )

Tìm tất cả các đa thức khác không thỏa mãn :

Với n = 2 ta có nên thay vào (1) ta có

Bài tập nâng cao

Bài 1 (Dự tuyển Ôlympic 30/4 năm 2011)

Thử lại ta thấy f(x) = x2 + 2x - 1thỏa mãn mãn yêu cầu bài toán

Đảo lại : Giả sử có một đa thức g(x) không đồng nhất với f(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán khi đó tồn tại sao cho

Do nên hệ số của trong đa thức vế phải của (1)

là trong đó , vậy do vế trái của (1) không chứa lũy thừa , nên suy ra vô lí Điều đó có nghĩa là giả thiết phản chứng là sai Vậy

Lại từ giả thiết

Do

Như thế có vô số đa thức cần tìm, đó là

Chú ý: Từ ví dụ trên ta có thể giải được bài toán sau:

Tìm đa thức sao cho:

Vậy từ giả thiết ta có

Theo kết quả của ví dụ trên suy ra

Hay Đó là nghiệm của phương trình hàm đã cho

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ta nói rằng đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x), kí hiệu , nếu tồn tại một đa thức h(x) sao cho f(x) = g(x) h(x)

1.5.2 Phép chia có dư

Định lí 1.5.2

Với hai đa thức f(x) và g(x) luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và

(Đa thức gọi là thương, đa thức gọi là dư của phép chia )

1.5.3 Nghiệm của đa thức

Vậy a = 3, b = - 4 là giá trị phải tìm

Thực hành 4: Xác định đa thức chia trong phép chia có dư.

2) Tìm đa thức bậc ba , biết rằng đa thức đó chia hết cho x - 2 và có cùng

số dư là -4 khi chia lần lượt cho x + 1; x + 2; x - 1

(ĐS:

§ 2 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC 2.1 Đa thức với hệ số nguyên

Tính chất 2.1

Nếu là một đa thức với những hệ số nguyên và a, b là những số nguyên

chia hết cho a - bChứng minh:

Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên.

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều ta giả sử là sai

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Cách 2

Giả sử f(a) = 0 với a nguyên mà f(a) - f(0) chia hết cho a suy ra a lẻ tương tự

f(a) - f(1) chia hết cho a -1 suy ra a - 1 lẻ tức a chẵn vô lý

Gọi là nghiệm nguyên của , ta có

Đẳng thức trên không xảy ra vì là các số chẵn

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều ta giả sử là sai

Vậy phương trình không thể có hai nghiệm nguyên phân biệt

Nên từ suy ra

Vậy đa thức phải tìm là:

Bài tập nâng cao

Mặt khác

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Thực hành 6: Các bài toán đa thức liên quan đến số học

Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơ-du và định nghĩa 1.5.3.2

Ví dụ 1

Hỏi đa thức có nghiệm nguyên hay không?

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều ta giả sử là sai.

Vậy không thể có nghiệm nguyên

Ví dụ 2*

Cho là đa thức với hệ số nguyên

Chứng minh rằng nếu , đều không chia hết cho m

thì phương trình không có nghiệm nguyên

Lời giải

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên là , ta có:

với với là đa thức với hệ số nguyên

Vậy điều ta giả sử là sai, suy ra phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 3*

Cho đa thức với các hệ số nguyên Giả sử phương trình có nhiều hơn 3 nghiệm nguyên phân biệt Chứng minh rằng phương trình không

có nghiệm nguyên

Lời giải

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên α, ta có:

Vì phương trình có 3 nhiều hơn nghiệm nguyên phân biệt nên có ít nhất

4 nghiệm nguyên khác nhau, gọi 4 nghiệm đó là:

Ta có:

Vậy -2 phân tích được thành tích của 5 số nguyên khác nhau, vô lí

Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 4*

Chứng minh rằng :

a) Mọi đa thức bậc n đều có thể biểu diễn dưới dạng :

b) Đa thức P(x) nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi các hệ số b0, b1, ,bn là các số nguyên

Lời giải

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

b) Giả sử Pn(x) là đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên Khi đó P(0) = b0

nguyên, P(1), P(2), , P(n) nguyên và các hệ số nhị thức Newton đều nguyên nên

bi nguyên, i = 1,2, ,n

Ngược lại nếu các bi nguyên, i = 1,2, ,n thì ta có

là các số nguyên nên P(x) là đa thức nhận giá trị nguyên

Bài tập tự giải

1) Cho là đa thức với hệ số nguyên, nhận giá trị 5 tại 5 điểm nguyên khác nhau Chứng minh rằng f(x) không có giá trị nguyên

Hướng dẫn: Dùng phương pháp phản chứng

Ta có

,trong đó ai là các số nguyên khác nhau, i = 1, ,5 và f(ai) = 0 Giả sử trái lại, tồn tại

số nguyên a0 sao cho f(a0) = 0

khác nhau và là ước của -5, mâu thuẫn thực tế -5 chỉ có 4 ước nguyên

2) Biết đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị 2 tại 4 giá trị nguyên khác nhau của x Chứng minh rằng: không thể nhận các giá trị 1, 3, 5, 7, 9

( Hướng dẫn: Đặt

3) Biết đa thức với hệ số nguyên có tính chất với x nhận 5 giá trị nguyên khác nhau

Chứng minh rằng: không thể có nghiệm nguyên

nguyên

Hướng dẫn:

nguyên với mọi x nguyên

2.2 Phương trình hàm đa thức

Định lí 2.2 ( Khai triển đa thức theo các nghiệm)

Giả sử a1, a2, , an là các nghiệm của đa thức với các bội tương ứng lần lượt là

k1, k2, , kn , khi đó tồn tại đa thức sao cho:

Hệ quả 2.2

a) Mọi đa thức bậc đều có không quá n nghiệm thực

b) Nếu đa thức có bậc n mà tồn tại số thực phân biệt a1, a2, , an+1

Mặt khác thì : (3) ⇔

trị tại vô số điểm, nên:

Thử lại ta thấy thỏa mãn đề bài

Ví dụ 3 (Bài toán chìa khóa để giải phương trình hàm đa thức)

* Trong trường hợp , ta còn có thể giải bài toán như sau:

Ta sẽ chứng minh chỉ có đa thức bậc 1 là thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Thật vậy, giả sử là dạng đa thức có bậc lớn hơn 1, dạng:

a) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn

b) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn và

C KẾT LUẬN

Trên đây là hệ thống bài tập liên quan đến đa thức đã được phân loại thành từngdạng cụ thể Chúng tôi đã đưa chuyên đề này vào dạy bồi dưỡng ôn luyện học sinhgiỏi môn Toán chủ yếu ở hai khối 10 và 11 của trường phổ thông Vùng Cao ViệtBắc, bước đầu thu được một số kết quả sau:

- Học sinh nắm kiến thức và vận dụng tương đối linh hoạt

- Các em nhận dạng các bài toán và thể hiện chúng tương đối tốt

- Qua đó phần nào có tác dụng trong việc gây hứng thú trong học tập cho họcsinh, lôi cuốn các em vào các hoạt động Toán học tự giác, tích cực

Tuy nhiên do khả năng còn hạn chế nên sáng kiến còn nhiều khiếm khuyết, rấtmong nhận được ý kiến đóng góp từ các đồng nghiệp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đa thức Đại số và Phân thức hữu tỷ – Nguyễn Văn Mậu – NXB Giáo dục, 2007

2 Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán: Đa thức – Nguyễn Vũ Thanh – NXB

Mũi Cà Mau, 1993

3 Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán, tập 2: Đại số - Nguyễn Quý Di, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa - NXB Giáo Dục, 2003.

3 Phương pháp nghiên cứu 1

B Một số bài toán về đa thức và áp dụng §1 Đa thức – Phép chia đa thức .3

1.1Đa thức và các tính chất cơ bản của đa thức 3

1.2 Phép chia đa thức……… …… … 16

§2 Đa thức với hệ số nguyên và phương trình hàm đa thức……….… … 21

2.1 Đa thức với hệ số nguyên ……… 21

2.2 Phương trình hàm đa thức……… … 27

C Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33