CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON

LỜI NÓI ĐẦUTrong những năm gần đây trong các kì thi tú tài và thi vào các trường đại học và caođẳng, đề thi thường cho ra các bài tốn phải vận dụng đến cơng thức nhị thức Niutơn để giảic

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây trong các kì thi tú tài và thi vào các trường đại học và caođẳng, đề thi thường cho ra các bài tốn phải vận dụng đến cơng thức nhị thức Niutơn để giảicác bài tốn đĩ, do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng họcsinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra một số tìnhhuống cơ bản của bài toán này, vì vậy học sinh gặp nhiềuhạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giảicác bài toán này

Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải được một sốdạng tốn với số mũ nguyên

Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạngbài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụngkiến thức “ nhị thức Niutiơn” một cách hiệu quả trong các kì thi là thậtsự cần thiết

Trước yêu cầu đó tôi cố gắng viết chuyên đề này vớicác nội dung như sau:

NỘI DUNG ĐỀ TÀI :

A Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn và một vài chú ý khi khai triển cơng

thức nhị thức Niu – Tơn.

B Một số dạng toán nhị thức Niu – tơn thường gặp

Trong phần này, tơi trình bày một số bày tốn cơ bản dành cho đối tượng là học sinh lớp 11 ( theo chương trình mới ) gồm các nội dung sau:

1 Khai triển nhị thức Niu – tơn, vận dụng kiến thức tam giác Pax – can trong khai

triển nhị thức Niu – tơn.

2 Xác định số hạng trong khai triển nhị thức Niutơn

3 Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa x k

4 Xác định tổng các hệ số khai triển của nhị thức NIutơn.

C Phần kiến thức mở rộng:

Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài tốn cĩ dạng khĩ hơn và bài tốn mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình hiện nay ) khơng giải được :

1 Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b cĩ số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực.

2 Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng

3 Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

4 Các bài tốn chứng minh cĩ liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn

5 Các bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn

6 Bài tốn cĩ liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn

Xin cảm ơn các thầy cơ ở trường THPT Phước Thiền đã chân thành gĩp ý kiến cho tơihồn thành đề tài

Mặt dù cĩ nhiều cố gắng, nhưng do kinh nghiệm khơng nhiều nên thiếu sĩt là điềukhơng tránh khỏi, mong quý thầy cơ chân thành gĩp ý để tơi cĩ kinh nghiệm tốt hơn trongcơng tác dạy học mơn tốn

Chân thành cảm ơn

Phước thiền, ngày 25 tháng 11 năm 2008

MUÏC LUÏC

1 Khai triển nhị thức Niutơn 5

2 Xác định một số hạng nào đó trong khai triển nhị thức Niutơn 6

3 Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk 8

4 Tính các hệ số khai triển. 10

1 Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực. 14

3 Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn 19

4 Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn 21

5 Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn 22

6 Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn 23

A LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN

II TÍNH CHẤT: Khi khai triển nhị thức (a b)  n ta cần để ý:

2) Ở vế phải có n + 1 số hạng, trong đó đầu tiên là a n, cuốicùng làb n, các vị trí còn lại là tích an-kbk với số mũ của agiảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n sao chotrong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b phải bằng ntức là n – k + k = n

3) Số hạng thứ k + 1, kí hiệu: T k 1 với k = 0, 1, 2, , n và códạng k n k k

T  C a b3) Hệ số trong khai triển (1) có tính chất đối xứng

C  C  C  C    ( 1) C  0.3) Cho a = 1, b = x ta có: n 0 1 2 2 3 3 n n

(1 x)   C  C x C x   C x  C x  4) Cho a = 1, b =  x ta có: n 0 1 2 2 3 3 n n n

m n

C  và đượcđịnh bởi:

Tam giác Paxcan –

Hệ số khai triển (a + b)n Ví dụ minh họa

- -

-B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài tốn thường gặp cĩ liên quan đến kiến thức nhị thức Niutơn trong chương trình tốn lớp 11 ( chương trình mới hiện nay ) như sau:

triển nhị thức Niutơn

3. Xác định hệ số khai triển của một số hạngchứa xk

I VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức.

Ghi chu ù: Khi khai triển nhị thức (a b)  n, ta cần nắm được kĩ năng như sau:

 Số hạng tổng quát trong khai triển là : k n k k

n

C a b (0  k  n).

 Từ đĩ ta cĩ các số hạng trong khai triển như sau:

Khi k = 0 ta có số hạng đầu thứ nhất là: k n k k

2a b C (2a) C (2a) b C (2a) b C (2a) b C 2ab C b

= 32a 80a b 80a b 40a b 10ab b

Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa 5 là:

 (2a + b)5 = 1.(2a)5 + 5.(2a)4.b +10.(2a)3b2 + 10.(2a)2b3 + 5.2a.b4 + 1.b5

Bài tập:

a) (2x 1)  5; b) (x 2y)  6; c) (a 2b)  5;d) (a  2) 6; e)

6

2 x y

II VẤN ĐỀ 2: Tìm số hạng thứ k + 1.

Trong dạng tốn này, theo chương trình mới hiện nay sách giáo khoa khơng đưa ra kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển (a + b) n , nên học sinh gặp nhiều lúng túng trong lập luận, để thuận tiện trong truyền đạt kiến thức tơi kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) là T k + 1 = k n k k

C x

 Bài tập tương tự: Tìm số hạng thứ k chỉ ra dưới đây

của các khai triển

1) Thứ sáu của(1 2y)  21 ĐS: 5 5

� �, x >

0

Để hạng tử T k 1 không chứa x là: �� � �6 3k 0k ,k n  k = 2

Vậy số hạng không chứa x là: T 3  15

Để hạng tử T k 1 không chứa x là: �� � �6 3k 0k ,k n  k = 2

Vậy số hạng không chứa x là: T 3  15

Nh

ận xét:

trong ví dụ 2, học sinh cần chú ý : a 0 =1, a > 0

 Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa x của các

khai triển

1)

12

1 x x

1 xx

x

�  �

� �

� �, với x > 0 ĐS: 3168.

III VẤN ĐỀ 3: Tìm hệ số của một số hạng nào đĩ trong khai triển nhị thức.

Trong phần này học sinh cần nắm được số hạng của khai triển và hệ số của khai triển

hệ số khai triển của x 4 trong khai triển của P(x)

 Bài tập tương tự: Tìm hệ số của xk trong các khaitriển

2) Của số hạng không chứa x trong khai triển x2 1 n

x

�  �

� � biếttổng các hệ số nhị thức thứ nhất, nhì, ba bằng 46

C  C  C  46 � 84

IV VẤN ĐỀ 4: Tính tổng các hệ số.

 Tổng các hệ số trong khai triển trên là:

3 C  3 2C  3 2 C  3 2 C  2.3 C  3 C ( 3 – 2)5 = 1

Nhận xét:

- Dĩ nhiên khi học sinh không nắm được kiến thức về nhị

thức Niutơn học sinh có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A và B, tuy nhiên trong trường hợp n lớn thì việc tính như vậy là khơng khả thi.

- Để vận dụng cơng thức nhị thức Niutơn (a + b) n để tính các giá trị như tổng A

và B học sinh cần chú ý: trong cơng thức khai triển thì lủy thừa của a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa của b tăng từ lủy thừa 0 đến n Từ đĩ ta suy ra giá trị a, b, n cần

áp dụng để tính tổng là bao nhiêu.

- Trong khi tính B, học sinh chú ý đây là một tổng có đang dấu nên cẩn thận a hay b

- Trong hai bài tính tổng trên, học sinh cần hiểu được rằng đề bài đưa ra không nhất

thiết là tình tổng tất cả các hệ số trong công thức khai triển, mà có thể tính một số giá trị nào đó của khai triển, khi đó ta phải tìm ra qui luật tổng quát của tổng, từ

đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt

 điều phải chứng minh

 Bài tập tương tự:

Tính các tổng sau

C MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG

Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài toán có dạng khó hơn và bài toán màkiến thức lớp 11 ( theo chương trình hiện ) không giải được :

1 Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực.

2 Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng

3 Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

4 Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn

5 Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn

6 Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn

I V ẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b cĩ số mũ là

 Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa căn của

các khai triển

1)

21 3

a xx

� �, x > 0biết rằng n 1 n

� � biếthệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 105

HD: Tổng hệ chẵn, lẻ bằng nhau  a8

= –264

Ví d ụ 3: Xác định x để số hạng thứ tư trong khai triển nhị thức:

 Bài tập tương tự:

1) Xác định n để trong khai triển nhị thức (1 x)  n mà các hệsố của:

a) Số hạng thứ hai, thứ ba, thứ tư tạo thành một cấp sốcộng

b) Số hạng thứ năm, thứ sáu, thứ bảy tạo thành mộtcấp số cộng

HD: Hệ số nhị thức a, b, c là một cấp số

với x > 0 tạo thành một cấp số cộng ĐS: n = 8.

3) Tìm x để trong khai triển

5) Trong khai triển

n x

x 1

3 2

C  5C và số hạng thứ tư

bằng 20n Tìm x và n (Khối A/2002) ĐS: n = 7, x = 4.

Ví dụ 4 :Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển  4 100

II. Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng

Ví dụ:Tìm hệ số của x9 trong khai triển  28

1 2  x  3 x

Giải:

Ta thấy (1 2x 3x )   2 8   ��1 (2x 3x )  2 ��8

Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2

Ta cĩ số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là:

T   C (2x 3x )   C C (2x) ( 3x )   2 ( 3) C C x  

Để x9 xuất hiện là k + i = 9, với 0  i  k  8

Suy ra: Hêệ số của x9 trong khai triển là:

2 3.C C 2 9C C 2 27C C 2.81C C 30288

Chú ý: Khi giải bài tốn trên ta cĩ thể áp dụng cho a = 1 + 2x, b = -3x 2

 Bài tập tương tự: Tìm hệ số của:

1) x4 trong khai triển  24

5) x 17 trong khai triển  4 715

2 x   x ĐS: i, k không tồn tại nên a =

0

6) x 8 trong khai triển ��1 x (1 x)  2  ��8 (Khối A/2004) ĐS: a5 =238

7) Cho n��* gọi a n 3 là hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành

đa thức của (x 2  1) (x 2) n  n Tìm n để a n 3  26n (Khối D/2003).

a  2 C C  2C C � n 5 

III. Hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn.

n 1 n 1

2 2

n n k

1) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1 2x 15

2) Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển:

9

a  314925.10 3) Tìm x > 0 sao cho số hạng thứ 50 của khai triển (5 3x)  10 làlớn nhất

IV. Các bài toán chứng minh.

V. Bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn:

VI. Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn

Ví dụ:

a) Tính

1

10 0

0

1 x 2037(1 x) dx

1

10 0

(1 x) dx 

� = 1 0 1 2 2 3 3 4 4 10 10

10 10 10 10 10 10 0

0

1 x 2037(1 x) dx