Chuyên để Nhị thức Newton và công thức tổ hợp - 2 pot

Quy tắc cộngPhương pháp giải toán Muốn đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc A bằng cách quy tắc cộng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: phân tích xem có bao nhiêu phương án ri

I Quy tắc cộng

Phương pháp giải toán

Muốn đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc A bằng cách quy tắc cộng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để tiến hành thực

hiện công việc A

Bước 2: đếm số cách lựa chọn x1,x2 ,…xn tương ứng với từng phương án

A1,A2…An

Bước 3: dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công

việc A là:

S = x1+ x2 +…+ xn =



n

i i

x

1

Giải

Có 3 phương án

Phương án 1: Chọn sách toán 10 cách chọn

Phương án 2: chọn sách vật lý 8 cách chọn

Phương án 3: chọn sách hóa học 6 cách chọn

Vậy số cách chọn là S = 10 + 8 + 6 = 24

Giả sử công việc A có thể tiến hành theo một trong các phương án A1,.A2 …

An Mỗi phương án có số cách thực hiện theo thứ tự là x1,x2,…xn Khi dó số cách thực hiện công việc A được cho bởi quy tắc cộng

S = x1+x2 +……xn = 



n

i i

x

1

Ví dụ 1: Có 10 quyển sách toán khác nhau, 8 quyển sách vât lý khác nhau và 6

quyển sách hóa học khác nhau, một học sinh được chọn một quyển hỏi có bao nhiêu cách chọn

Hai quy tắc đếm cơ bản

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án :

đường bộ hoặc đường thủy :

Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn

Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn

Và 2 phương án này độc lập với nhau Vậy theo qui tắc cộng ta

có tất cả:

S= 3 + 2 = 5 cách chọn

Giải

Thực khách có 3 phương án chọn :

Hoặc chọn rượu: 3 cách chọn

Hoặc chọn bia: 4 cách chọn

Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn

Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 9 cách chọn một loại

thức uống

II Quy tắc nhân

Phương pháp giải toán

Muốn đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân ta

thực hiện các bước sau

Bước 1 phân tích xem có bao nhiêu công đoạn lien tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc A

Bước 2 đềm số cách chọn x1,x2… xn tương ứng với từng công đoạn A1,A

2 ………An

Bước 3 dùng quy tắc nhân ta có số cách lựa chọn để thực hiện công việc A

là

Ví dụ 2: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy Cần

chọn một đường để đi từ A đến B Hỏi có mấy cách chọn ?

Ví dụ 3: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt Một thực

khách cần chọn đúng một loại thức uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giả sử công việc A bao gồm n công đoạn A1,A2….An Mổi công đoạn có số cách thực hiện theo thứ tự là x1.x2 ….xn khi đó số cách thực hiện công việc A được cho bởi quy tắc nhân

S=x1.x2….xn=x i

1 2 3

a a a

S=x1.x2 ….xn =x i

Giải

Ta chia việc chon ban cán sự thành 3 công đoạn liên tiếp

Bước 1 chọn lớp trưởng 30 cách

Bước 2 chọn lớp phó 29 cách

Bước 3 chọn thủ quỹ 28 cách

Vậy S = 30.29.28 = 24360 cách

Giải

Ta có thể xem việc đi Hà Nội - Huế - Sài Gòn như một công

việc tiến hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau :

Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi

Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai

đoạn 1 ta đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2

Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả : 3.4 = 12 cách đi Hà Nội - Huế - Sài

Gòn

Giải

Số cần lập có dạng:

Số cách chọn:

a1: 5 cách chọn

a2 : 4 cách chọn

a3 : 3 cách chọn

Vậy có tất cả 3.4.5 = 60 cách chọn

Ví dụ 1: Một lớp có 30 học sinh cần cử một cán sự lớp gồm một lớp trưởng

một lớp phó một thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm không quá một nhiệm vụ trong ban cán sự

Ví dụ 2: Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa Từ Huế

đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có bao nhiêu cách đi Hà Nội - Huế - Sài Gòn ?

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành

từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ?

 



I Hoán vị

1 Định nghĩa

2 Ví dụ

Giải

Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, có tất cả: P3 = 3! = 1.2.3 = 6 cách sắp xếp

Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Giải

Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử Vậy ta có tất cả là :

P4 = 4 ! = 24 số

Vậy có tất cả 24 số được lập

Giải

Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là :

Cho tập hợp X gồm n phần tử khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp X

Cho một số nguyên dương n số cac hoán vị của một tập hợp có n phần tử là

Pn =n!  1 2 3 (n 1 ).n

Hoán vị vòng: Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó

Số hoán vị vòng của n phần tử là :

Pn-1=(n-1) !

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3

chỗ ngồi ?

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 2, 6, 7, 9 ?

Ví dụ 3: Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ?

Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị

vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL,

BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không

có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất Vậy số cách sắp xếp là :

!

1 ! n

n

II Chỉnh hợp

1 Định nghĩa

2 Ví dụ

Giải

Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ

số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định Mỗi

số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn ?

Cho tập hợp X cò n phần tử và cho số nguyên k với 1k  n khi lấy k phần

tử của X và sắp xếp chúng theo thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của X

Cho các số nguyên n và k với 1 k  n.Khi đó số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là

)!

(

!

) 1 ) (

2 )(

1 (

k n n

k n n

n n

A

A

k n

k n















Chú ý : An n P n n!

Chỉnh hợp lặp:

Chỉnh hợp lập chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử

đã cho, trong đó đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, 3, …, k lần trong nhóm tạo thành

Kí hiệu k

n

A là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử

n

A  n

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số

1, 2, 3, ,9

Vậy có tất cả : A 95 120

Giải

Mỗi vectơ là một chỉnh hợp 10 chập 2 của tập điểm đã cho

Với mỗi bạn người đó có 2 cách lựa chọn : mời hoặc không mời

Kết quả người đó có 2n cách lựa chọn ( kể cả không mời người nào )

Vậy số cách chọn là : S = A 102 90

Giải

Với mỗi bạn người đó có 2 cách lựa chọn : mời hoặc không mời

Kết quả người đó có 2n cách lựa chọn ( kể cả không mời người nào )

Giải

Ta thấy rằng tổng số các từ có chiều dài n là số các chỉnh hợp lặp của 26

chữ cái, nghĩa là có 26n chữ cái khác nhau có chiều dài n Do

261 + 262 + 263 = 18278

Nên chúng ta chỉ cần từ khoá có chiều dài không quá 3 kí tự là đủ số lượng theo yêu cầu

III Tổ hợp

1 Định nghĩa

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập điểm đã cho

Ví dụ 3: Một người tổ chức buổi tiệc sinh nhật muốn mời một trong số n bạn đến chung vui Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?

Ví dụ 4: Chúng ta muốn thiết lập ít nhất 18000 từ khóa khác nhau chỉ dùng

26 chữ cái tiếng Anh Các từ khóa có chiều dài càng ngắn càng tố Hỏi

chúng ta cần dùng từ khóa có chiều dài nhất là bao nhiêu là đủ số lượng

theo yêu cầu ?

Cho tập hợp X có n phần tử vá cho số nguyên k với 1 k  n.Mỗi tập hợp con của X có k phần tử được gọi là một tở hợp chập k của n phần tử của X cho các số nguyên n và k với 1 k  nkhi đó số các tổ hợp chập k của một tổ hợp có n phần tử là :

! )!

(

!

n k

A C

k n k

n   

Ta quy ước C0n 1, A0n 1

1 2

!

! ! !k

n

3 6 2 4

C C

2.Ví dụ

Giải

a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 Do đó, số đoàn đại biểu được lập là :

5 10

10!

252 5! 10 5 !



b) Chọn 3 người từ 6 người nam : cách

Chọn 2 người từ 4 người nữ : cách

Vậy theo quy tắc nhân có 3 2

6 4

C C = 120 cách thành lập

Giải

Mỗi chữ là một hoán vị của 6 mẫu tự gồm 2 mẫu tự L, 2 mẫu tự A, 1 mẫu

tự B và 1 mẫu tự I

Vậy có tất cả : 6! = 180 cách

 Tổ hợp lặp: Cho tập hợp A có n phần tử, một tổ hợp chập k có lặp lại gọi là

tổ hợp lặp của n phần tử đó là một nhóm không kể thứ tự gồm k vật trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần

Ví dụ: abcd, aabc, aaaa,… là các tổ hợp chập 4 có lặp lại của tập gồm n phần tử

a, b, c, d,…,l

Định lí về tổ hợp lặp: Có tất cả Cn k k 1 tổ hợp lặp chập k của n phần tử

 Tổ hợp phức (hoán vị lặp): Tổng số cách để phân phối n đối tượng phân biệt vào k hộp H1, H2, ,Hk sao cho r1 đối tượng phân biệt vào hộp H1, r2 đối tượng phân biệt vào hộp H2, , rk đối tượng phân biệt vào hộp Hk

Ví dụ 1: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người Hỏi

a) Có bao nhiêu cách lập?

b) Có bao nhiêu cách lập gồm 3 nam và 2 nữ

n = r1 + r2 +… + rk

Ví dụ 2: Với các mẫu tự của chữ LAP LAI có thể tạo ra bao nhiêu

chữ khác nhau ( không cần có nghĩa ) ?

1 2 3 4 5 17

Giải

Có tất cả : 17!

5!2!7!3!= 49008960 cách.

Giải

Để đếm số nghiệm tự nhiên của phương trình chúng ta xét sự phân phối của 17 giống vật giống nhau vào 5 hộp dán nhãn r r r r r1, , , ,2 3 4 5 Số vật trong hộp ri thể hiện giá trị của ri Khi đó chúng ta thấy rằng mỗi sự phân phối tương ứng 1- 1 với nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho Như vậy phương trình có

5 17 1 21 5985

C   C  nghiệm tự nhiên

Ví dụ 3: Để chia 17 người thành 4 nhóm: nhóm 5 người, nhóm 2

người, nhóm 7 người và nhóm 3 người có bao nhiêu cách chia?

Ví dụ 4: Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của phương trình

1.Định nghĩa

2.Ví dụ

Giải

Nguyên lý bù trừ

Ví dụ 1:

Ví dụ 2: