Chuyên đề nhị thức newton hay

Chuyên đề với những cách làm hấp dẫn và những dạng toán hay về nhị thức Niuton dành cho ôn thi học sinh giỏi và luyện thi trung học phổ thông Quốc Gia. Chuyên đề này được biên soạn với mục đích giúp các bạn học sinh hoàn thiện kiến thức về Nhị thức Niutơn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc Gia. Với những ví dụ cụ thể, bài tập phong phú, phương pháp đa dạng, lập luận dễ hiểu với 3 dạng chính:Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn nhất trong khai triển nhị thức NiutơnNhị thức Niutơn với các bài toán chứng minh đẳng thức , tính tổngNhị thức Niutơn với các bài toán bất đẳng thức và giải phương trình hy vọng rằng tập chuyên đề sẽ giúp ích cho các bạn học sinh gần xa.

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Phú Thọ

Lời Nói Đầu

Chuyên đề này được biên soạn với mục đích giúp các bạn học sinh hoàn thiện kiến thức về Nhị thức Niu-tơn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc Gia Với những ví

dụ cụ thể, bài tập phong phú, phương pháp đa dạng, lập luận dễ hiểu với 3 dạng chính:

- Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn

- Nhị thức Niu-tơn với các bài toán chứng minh đẳng thức , tính tổng

- Nhị thức Niu-tơn với các bài toán bất đẳng thức và giải phương trình

hy vọng rằng tập chuyên đề sẽ giúp ích cho các bạn học sinh gần xa

Mặc dù đã rất cố gắng xong cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc để chyên đề ngày càng hoàn thiện!

Xin chân thành cảm ơn!

Các tác giả

Phụ Lục:

A.Kiến thức cần nhớ………1 B.Các dạng bài tập……….1-16 Dạng 1: Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-

tơn……… 1-7

Dạng 1.a: Tìm hệ số , số hạng……….1-5 Dạng 1.b: Tìm hệ số lớn nhất……… 5-7

Góc vui: Thơ tình toán học………7-8 Dạng 2 : Chứng minh đảng thức, tính tổng……… …8

Dạng 2.a: Chứng minh đẳng thức ……… 8-10 Dạng 2.b: Tính tổng……….10-13

Góc vui: Tìm con đường mới cho toán họ……….13 Dạng 3: Nhị thức Niu-tơn và các bài toán bất đẳng thức ,giải phương

- Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a,b luôn bằng n.

3 Các công thức liên quan:

-Tổ hợp :

!

k n

n C

n A

n k

2)Khai triển (ax p +bx q n) ;(a bx+ p+cx q n) kết hợp tính tổng đơn giản

Khai triển NewTon : (a b+ )n =C a n0 n+C a b n1 n−1 + + C ab n n−1 n−1+C b n n n với :

− Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc giảm thì nó (a hoặc b ) có thể bằng 1

− Nếu dấu của biểu thức đan nhau khai triển sẽ có dạng (a-b)n

− Trong biểu thức có C n0 +C n2k +C n4k … ( toàn chẵn hoặc toàn lẻ ) thì

đó là dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a b− )n và

(a b+ )n khi chọn a,b rồi cộng lại ( khi toàn chẵn ) hoặc trừ đi (khi toàn

lẻ ) theo từng vế

Ví dụ C n0+2C1n+ + 2n C n n =3n

Loại này sẽ áp dụng cho bài 9,10 ở dưới!

3)Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên ) trong khai triển (a+b)n.Xét khai triển (a+b)n có số hạng tổng quát: C a b n k n k k−

m r

k p q n

11 0

x x

x

+

= 0

1 ( )

n

k n k k n

n

k n k n k

C x −

=

∑

Mà theo đề bài ta có : C n2−C n1 =35<=>n2−3n−70 0= <=> =n 10;n= −7(loại)

2 (x )

x

+ ĐS: 2C x61 3

2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

a)

12 1

x x

d)

17 3

5 (ĐH khối A-2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển

8 2

n

x x x

x

+ biết n thỏa mãn

1 2 2

2C n+C n =n − 20

ĐS: 1792

b) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức: (x2 + 2)n , biết rằng số

nguyên dương n thỏa mãn phương trình: A3n−8C2n+C1n B49

ĐS: 280

8 a)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển :

3 1 3 1

5 2

n+

  Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện : n 2 n 1 n 2 2n23

2 ( x )n

ĐS: 7920

10 Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2 3 )− x n biết 12 1 23 1 22n11 1024

C + +C + + +C ++ = ĐS: C107 2 ( 3)3 − 7

Dạng 1.b: tìm hệ số lớn nhất

Dạng toán này yêu cầu một chút kĩ năng giải bất phương trình đơn giản!

Chú ý: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a bx+ )n

Xét khai triển nhị thức NewTon (a bx+ )n có số hạng tổng quát :

10 0

6 0

Ta có

+ ĐS: 252

2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

3 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

2

2 (3x )

x

− ĐS: 1080

4 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

5 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

7 7 10 10

1 2

x x

+ biết

x x

+ biết

"Phương trình" nào đưa ta về chung lối

"Định lý" nào sao vẫn mãi ngăn đôi

"Biến số" yêu nên tình mãi hai nơi Điểm "vô cực" làm sao ta gặp được

"Đạo hàm" kia có nào đâu nghiệm trước

Để "lũy thừa" chẳng gom lại tình thơ

"Gia tốc" kia chưa đủ vẫn phải chờ

"Đường giao tiếp" may ra còn gặp gỡ

Nhưng em ơi! "Góc độ" yêu quá nhỏ ! Nên vẫn hoài không chứa đủ tình ta Tại "nghịch biến" cho tình mãi chia xa

"Giới hạn" chi cho tình yêu đóng khép

"Lục lăng" kia cạnh nhiều nhưng rất đẹp Tại tình là "tâm điểm" chứa bên trong Nên "đường quanh" vẫn mãi chạy lòng vòng Điểm " hội tụ" vẫn hoài không với tới

Em cũng biết "tung, hoành" chia hai lối

Để tình là những đường thẳng "song song"

Điểm gặp nhau "vô cực" chỉ hoài công Đường "nghịch số" thôi đành chia hai ngả

• Trong khai triển (a-b)n thì dấu đan nhau , nghĩa là + , rồi - , rồi + ,…

• Số mũ của a giảm dần , số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a

=

Khi gặp tổng giữa các tích của 2 công thức tổ hợp ( +C C n i. n j+ ), lúc đó thường sosánh hệ số của biến cùng bậc với nhau , chẳng hạn so sánh hai hệ số của số mũ cùng bậc của hai khai triển (1−x2)n với (1-x)n(x+1)n……

Đây là dạng toán khá thú vị với nhiều bài tập khó đòi hỏi sự tinh vi và kĩ năng biếnđổi cao Giờ chúng ta hãy xét qua một số ví dụ đặc trưng của nó!

Lưu ý: các bài toán đều xét trên TXĐ của nó nên tôi sẽ không viết ĐK

-Với a=3, b=-1 thay vào (*) ta có C n03n −C1n3n−1+ + − ( 1)C n n=(3 1) − n = 2n

-Với a=1,b=1 thay vào (*) ta có C n0+C1n+ + C n n=(1 1) + n = 2n

Từ đó ta có điều phải chứng minh

=>Hệ số của x k trong khai triển (1+x) (1m +x)n là C C n k m0 +C C n k−1 1m+ + C n k m− C m m

Hệ số của x k trong khai triển (1+x)m n+ là C n m k+

Lại một bài toán khá thú vị!

Theo cách cổ điển, xét số hạng tổng quát

1 1

2017 1

3 3

+ +

1

132CHướng dẫn:

12

10 2

=

Góc vui:

Tìm con đường mới trong Toán học

(TrầnQuốcToàn-Admin:dienantoanhoc.net)

Một nhà Vật lý đi qua hành lang thì thấy một nhà toán học đang lúi húi bò đi bò lạitrên sàn Nhà vật lý tò mò mới lên tiếng hỏi:

- Ông làm gì ở đây đấy?

- À, tôi đang tìm một cái kim, tôi vừa mới đánh rơi

Nhà vật lý hỏi tiếp:

- Thế ông đánh rơi ở chỗ nào

- Ở trong phòng tôi thôi

Nhà vật lý ngạc nhiên quá mới hỏi:

- Đánh rơi ở trong phòng sao ông lại ra đây tìm

Dạng 3 Nhị thức Niu-tơn và các bài toán bất đẳng thức, giải phương trình.

Bất đẳng thức là một vấn đề rộng và khó, để có thể làm được một bài toán bất đẳng thức cần một sự nhạy bén rất cao và một kĩ năng tốt Ở đây tôi sẽ nêu ra một

số bài toán bất đẳng thức liên quan đến nhị thức Newton Cũng phải chú ý rằng bấtđẳng thức mà chúng ta hay gọi là Cô-si thực ra có tên chuẩn là AM-GM, còn bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên thật là B.C.S Và trong chuyên đề này các bất đẳng thức sẽ được gọi theo đúng tên chuẩn của nó

C

+ =∑

Gợi ý: Dùng phương pháp quy nạp

=

Đọc thêm Newton- Nhà bác học vĩ đại

Isaac Newton (1642 - 1727) - nhà vật lý, toán học nước Anh, người được thế giới tôn là "người sáng lập ra vật lý học cổ điển"

Niutơn xuất thân gia đình quý tộc nông thôn Cha của Niutơn mất trước khi ông ra đời Lúc mới sinh Niutơn ốm yếu, quặt quẹo Bà mẹ quan tâm chăm sóc sức khỏe cho Niutơn nhiều hơn đường học vấn Năm 12 tuổi, bà mới cho con trai đi học Vì sức yếu, cậu thường bị các bạn bắt nạt Cậu bèn nghỉ ra cách trả thù thú vị, là quyếttâm học thật giỏi để đứng đầu lớp Năm 17 tuổi, Niutơn vào học ở trường Đại học

tổng hợp Kembritgiơ Thời gian còn là sinh viên, Niutơn đã tìm ra nhị thức trong toán học giải tích, được gọi là "nhị thức Niutơn" Năm 19 tuổi bắt đầu vào Đại học Cambirdge, bắt đầu nghiên cứu rộng rãi khoa học tự nhiên.

Năm 27 tuổi, ông được cử làm giáo sư toán ở trường Đại học nơi ông học; năm 30 tuổi, ông được bầu làm hội viên Hội khoa học hoàng gia Anh (Viện hàn lâm) và 23 năm cuối đời, ông làm chủ tịch Hội khoa học hoàng gia Anh Ông còn là hội viên danh dự của nhiều Hội khoa học và viện sĩ của nhiều Viện hàn lâm Thành tựu khoa học của ông trên nhiều lĩnh vực, tích vi phân ông sáng lập là một cột mốc trong lịch sử toán học; giải thích về các loại màu sắc của vật thể đã mở đường sánglập khoa học quang phổ Cống hiến lớn khiến tên tuổi ông trở thành bất tử là Ba định luật về chuyển động đặt cơ sở lý luận cho lực học kinh điển, quan trọng nhất

là "Nguyên lý vạn vật hấp dẫn" Đây là nguyên lý cơ sở cho những phát minh vật

lý học, cơ học, thiên văn học trong nhiều thế kỷ Một lần, Newton trông thấy quả táo rụng từ trên cây xuống, ông liền nghĩ đến những nguyên nhân về sự rơi của cácvật và tìm ra sức hút của quả đất

Những phát kiến về thiên văn học của Niutơn dựa vào định luật vạn vật hấp dẫn đã giáng đòn chí mạng vào uy tín của giáo hội Bọn bảo vệ tôn giáo đã phản ứng lại một cách quyết liệt đầy căm phẫn trước những phát minh về thiên văn học của Niutơn Do ảnh hưởng của giáo hội, nhiều trường đại học ở châu Âu đến tận thế kỷXIX vẫn cấm dạy môn cơ học, những vấn đề có liên quan đến định luật vạn vật hấpdẫn của Newton Niutơn sống cuộc đời độc thân và hết sức đãng trí Tính đãng trí của ông đã trở thành những giai đoạn như chuyện mời cơm khách, chuyện luộc đồng hồ, chuyện đục hai lỗ cho chó và mèo Newton mất năm 84 tuổi Ông được mai táng ở Đài kỷ niệm quốc gia Anh trong tu viện Oetminxtơ - nơi an nghỉ của các vua chúa và các bậc vĩ nhân của nước Anh.

Lúc nhỏ Newton là đứa trẻ ít nói nhưng ông rất thích thủ công nghệ, thường xuyên

tự thiết kế và làm ra các đồ chơi tinh xảo Mọi người đều rất thích chúng, đặc biệt

là diều của ông làm, nó vừa đẹp vừa bao nhanh và bay cao Vào một chiều nọ ông buộc một chiếc đèn lồng xinh xẻo vào chiếu diều của mình và thả lên trời, trông giống như một ngôi sao trên trời Mọi người trong thôn đều chạy ra xem cho rằng xuất hiện sao chổi Khi biết đó là diều của Newton thả thì mọi người đều tấm tắc khen Những thứ Newton làm ra đều rất lạ và cũng rất đẹp Ông tự tay làm chiếc chong chóng đặt ở đầu nhà, khi ông đi xem chiếc chong chóng lắp ở thôn bên, về nhà ông mô phỏng làm một chiếc như vậy Để cho nó quay cả được khi không có gió, ông đặt trong lồng của cánh quạt một con chuột, khi con chuột động đậy là chong chóng quay liên tục

Học xong tiểu học, Newton còn làm ra chiếc "đồng hồ nước" Ông dùng một chiếc thùng đựng nước nhỏ, dưới đáy có một lỗ nhỏ có nút, tháo nút ra nước sẽ nhỏ giọt xuống Mặt nước trong thùng dần dần hạ thấp, chiếc phao trong thùng hạ thấp theo.Chiếc phao đồng thời kéo theo chiếc kim chỉ di động tý một trên mặt chiếc mâm cókhắc vạch, một vạch khắc chỉ một đơn vị thời gian trong phòng của mình Newton lắp một chiếc đồng hồ nước, ông cũng lắp cho hàng xóm một chiếc như vậy Thú

vị hơn là Newton còn lắp cho bà con trong thôn một chiếc "đồng hồ mặt trời" Lúc hơn mười tuổi Newton quan sát thấy buổi sáng đi học bóng của mình bên trái, chiều tan học về bóng lại nằm sang phía bên kia Mấy ngày liền đều như vậy, ông cảm thấy mặt trời chuyển động có quy luật Như vậy chẳng phải có thể lợi dụng quy luật này làm một chiếc "Đồng hồ mặt trời" chính xác hơn sao Thế là ông bắt đầu làm thí nghiệm, hàng ngày ông "đuổi theo" bóng nắng khắp nơi, ghi lại thay đổi vị trí từng nửa giờ, một giờ Cuối cùng ông cũng làm xong chiếc đồng hồ bóng nắng tròn Nó là một dụng cụ đo thời gian dựa vào bóng nắng mặt trời Xung quanh mâm tròn của đồng hộ mặt trời ông khắp các vạch dấu đều đặn, lợi dụng sự

xê dịch của bóng nắng mặt rời có thể biết được chính xác thời gian Sau khi làm được đồng họ mặt trời Newton đặt nó ở giữa làng để nó báo giờ cho mọi người Mọi người trong thôn gọi là "Đồng hồ Newton", nó còn được sử dụng khá lâu sau khi ông mất Mỗi lần nhìn thấy "Đồng hồ Newton" là mọi người lại nhớ đến cậu békhéo tay thông minh của ngày ấy

Newton đối với khoa học thì chuyên cần nhưng trong sinh hoạt lại là người vô tâm,hay quên, ông thường làm việc quên cả ăn Có một lần Newton mời bạn đến nhà ăncơm Bạn đến cơm canh đã bày ra, nhưng Newton vẫn miệt mài trong phòng thí nghiệm, bạn ông không quấy rầy ông, đợi lâu mà vẫn chưa thấy ông ra, liền tự động ăn một chú gà quay trước, bỏ xương trong mâm rồi ngồi vào ghế thiu thiu ngủ Mãi sau Newton bước ra, mồ hôi nhễ nhại, gọi bạn dậy và xin bạn lượng thứ; rồi đi tới bà ăn chuẩn bị ăn Khi nhìn thấy xương để trong mâm và bát đã dùng, ông vò đầu cười nói: - "Ôi thì ra mình đã ăn rồi, tôi vẫn cứ tưởng là mình chưa ăn!"Đứng bên cạnh, thấy vậy bạn ông đã cười vang Có một lần Newton xuống bếp tự làm bữa sáng, ông đun một nồi nước chuẩn bị luộc trứng Nước vẫn chưa sôi, xem

ra Newton có phần sốt ruột, rồi bắt đầu nghĩ đến một vấn đề khoa học, quá trình tập trung ông quên luôn chuyện đang đun nước Lúc này nước đã sôi sùng sục, nước bốc hơi mù mịt, thuận tay ông thả luôn vật để bên cạnh vào nồi Nửa tiếng sau ông mới bừng tỉnh, nhớ việc đang làm trong bếp: "Trứng gà chắc đã chín rồi" Ông mở vung nồi thì thấy trong nồi không phải là trứng mà là chiếc đồng hộ đeo tay của ông Một buổi chiều đẹp trời, Newton định cưỡi ngựa vào rừng có việc, ông lấy yên ngựa và đi dắt ngựa Vừa dắt ngựa bỗng nghĩ đến một vấn đề khoa học Dây ngựa trong tay, ông buông ra lúc nào cũng không hay, cứ thế vác yên ngựa vừa đi vừa nghĩ Lúc thì cúi đầu im lặng, lúc thì giơ tay vẽ vẽ vào không

trung, cứ như người lẩn thẩn vậy Khi ông đi đến đỉnh núi thì bỗng cảm thấy mệt quá và muốn cưỡi ngựa, nhưng lúc này ngựa không biết đã chạy đi chốn nào rồi Một ngày mùa nọ, Newton ngồi gần lò sưởi suy nghĩ vấn đề gì đó Vì quá tập trung, nóng quá cũng không biết nữa, tay áo bên phải của ông đã có mùi khét, bốc khói đen, mùi nồng nặc mà ông vẫn không phát hiện ra có chuyện gì xảy ra Ngườinhà chạy vào sợ quá hét toáng lên, lúc đó Newton mới biết tay áo mình bị cháy Tạisao Newton lại đãng trí thế? Vì ông quá say sưa với khoa học, tất cả dành cho côngviệc, quên hết mọi việc quanh mình Không có tinh thần nghiên cứu khoa học say sưa như vậy thì làm sao có thể trở thành nhà khoa học lớn được?

Chuyện về quả táo chín

Đây là câu chuyện thú vị và đầy ý nghĩa về nhà khoa học vĩ đại Newton Vào một ngày mùa thu, Newton ngồi trên chiếc ghế trong vườn hoa đọc sách, bỗng nhiên một quả táo từ cây rơi xuống "bịch" một tiếng trúng đầu Newton Ông xoa đầu, nhìn quả táo chín lăn xuống vũng bùn Quả táo đã cho ông một gợi ý làm ông nghĩ miên man Quả táo chín rồi, tại sao lại rơi xuống đất? Tài vì gió thổi chăng? Khôngphải, khoảng không rộng mênh mông, tại sao lại phải rơi xuống mà không bay lên trời? Như vậy trái đất có cái gì hút nó sao? Mọi vật trên trái đất đều có sức nặng, hòn đã ném đi rốt cuộc lại rơi xuống đất, trọng lượng của mọi vật có phải là kết quả của lực hút trái đất không? Sau này Newton nêu ra: Mọi vật trên trái đất đều chịu sức hút của trái đất, mặt trăng cũng chịu sức hút của trái đất, đồng thời trái đấtcũng chịu sức hút của mặt trăng; Trái đất chịu sức hút của mặt trời, mặt trời đồng thời cũng chịu sức hút của trái đất Nói một cách khác là vạn vật trong vũ trụ đều

có lực hấp dẫn lẫn nhau, vì có loại lực hấp dẫn này mà mặt trăng mới quay quanh trái đất, trái đất mới quay quanh mặt trời Chuyện quả táo rơi xuống đất chứng tỏ trái đất có lực hút quả táo, đương nhiên quả táo cũng có lực hút của quả đất, nhưnglực hút của trái đất đối với quả táo lớn nên quả táo rơi xuống đất Nếu ta coi mặt trăng là một quả táo khổng lồ, như vậy trái đất cũng có lực hút nó, vậy tại sao nó không rơi xuống mặt đất? Vì mặt trăng là một quả táo lớn, sức hút của trái đất đối với nó không đủ để làm nó rơi xuống đất, chỉ có thể làm nó quay quanh trái đất mà thôi Đối với mặt trời thì trái đất cũng là một quả táo khổng lồ, nó quay quanh mặt trời Vào buổi tối khi nhìn lên bầu trời thấy vô vàn những vì sao đang nhấp nháy, giữa chúng đều có lực hút lẫn nhau Đây chính là định luật "Vạn vật hấp dẫn" nổi tiếng của Newton

(Nguồn: sưu tầm)