Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60.. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ABC
Trang 1c
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I KIẾN THỨC HÌNH PHẲNG
1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho D ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là trung tuyến Ta có:
.
AB AC AH
=
AB2= AH BC , 2
.
AC = CH BC AB AC = BC AH BC = 2 AM
2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông
3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường
a Định lý hàm số cosin
2
bc
2
ac
M
B
A
huyền
đối kề
α
C B
A
B
A
Trang 2b Định lý hàm sin
2
R
A = B = C = , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp D ABC
c Định lý về đường trung tuyến
4
a
4
b
4
c
d Công thức tính diện tích tam giác
4
abc S R
p p a ( - ) ( p b - ) ( p c - ) (công thức Hê-rông)
O
R
B
A
mb
mc
ma
G
B
A
ha
H
B
A
Trang 3c
:
p là nửa chu vi D ABC,
2
r: là bán kính đường tròn nội tiếp D ABC
:
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp D ABC
4 Các công thức tính diện tích thường gặp
Tam giác vuông
Diện tích tam giác vuông bằng 1
2 tích hai cạnh góc vuông
2
2
AM = BC
Tam giác đều
Diện tích tam giác SD=( ạ ) √
Đường cao của tam giác đều ( ạ ).√
4
a
2
a
Hình vuông
Diện tích hình vuông S =( ạ ℎ)
Độ dài đường chéo: ( ạ ℎ) √2
S = a2
AC = a 2
Hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật S = dài.rộng
S = AB AD = a b
Hình thang
Diện tích S =đá ớ đá é đườ
2
AB CD
=
Hình thoi
Diện tích hình thoi
1 2
S = tích hai đường chéo
2
b a
C B
A
B
H
A
B
C D
A
a
H
A
D A
a
Trang 4 Hình bình hành
Diện tích hình bình hành
S = đường cao cạnh tương ứng
S = a h 1= b h 2
II CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
Thể tích khối chóp
1 3
chóp
Với B : là diện tích đáy; h : là đường cao
Thể tích khối lăng trụ
V = B h
Với B : là diện tích đáy; h : là đường cao
Thể tích khối hộp chữ nhật
.
V = a b c
Với a, b, c là độ dài ba cạnh
Thể tích khối lập phương
3
V = a
Với a là độ dài cạnh lập phương
h 2
b
a
h 1
A
D
B S
B h
c
b a
a
a
a
Trang 5c
III CÁC MÔ HÌNH THƯỜNG GẶP
1 Hình chóp S ABC có SA vuông góc đáy
Đáy là D ABC
Đường cao SA
Cạnh bên SA, SB, SC
D SAB, D SAC là các tam giác vuông tại A
Góc giữa cạnh SB và đáy là góc SBA
Góc giữa cạnh SC và đáy là góc SCA
2 Hình chóp tam giác đều S ABC
Đáy là D ABC đều
Đường cao SG, với G là trọng tâm D ABC
Cạnh bên SA, SB, SC hợp với đáy một góc bằng nhau
Góc giữa cạnh bên với đáy là góc SAG ( hay SGC , SGB )
Mặt bên SAB, SBC, SCA hợp với đáy một góc bằng nhau
Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG
3 Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy
Đáy là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) ABCD
Đường cao SA
Cạnh bên SA, SB, SC, SD
D SAB, D SAC, D SAD là các tam giác vuông tại A
Góc giữa SB, SC, SD và đáy lần lượt là SBA , SCA , SDA
4 Hình chóp tứ giác đều S ABCD
Đáy là hình vuông ABCD
Đường cao SO, với O = AC Ç BD
Cạnh bên SA, SB, SC, SD hợp với đáy góc bằng nhau
Góc giữa SA,SB, SC, SD và đáy lần lượt là SAO
, SBO ,
SCO, SDO
Mặt bên SAB, SBC, SCA hợp với đáy góc bằng nhau
Góc giữa mặt bên và đáy bằng SMO , với M là trung điểm cạnh đáy
C
B A
S
M G
C
B A
S
A O
D
C B
S
M O
D
C B
S
A
Trang 65 Hình chóp S ABC (hoặc S ABCD ) có một mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
Đáy là tam giác ABC (hoặc ABCD)
Đường cao SH, với H là trung điểm của AB
Góc giữa cạnh bên SA, SB, SC, SD và đáy lần lượt là SAH , SBH , SCH , SDH
6 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Hình lăng trụ đứng
Đường cao là cạnh bên AA¢,
BB¢, CC¢
Hình hộp chữ nhật Thể tích V = abc
Đường chéo a2+ b2+ c2
Hình lập phương Thể tích V = a3 Đường chéo a 3
IV MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CT1 Cho hình chóp với các
mặt phẳng (SAB), (SBC),
SAC đôi một vuông góc ,
diện tích các tam giác SAB,
SBC, SAC lần lượt là S1,
2
S , S3
.
2 3
S ABC
S S S
S
A
B
C
D
C B
S
A
C'
B' A'
C
B A
c
b a
D
D'
B'
C B
A' A
C'
a
a a
D
D'
B'
C B
A' A
C'
C
B A
S
Trang 7c
CT2 Cho hình chóp S ABC
có SA^(ABC),
(SAB) (^ SBC), BSC = a,
ASB = b
3
.sin 2 tan 12
S ABC
SB
=
CT3 Cho hình chóp đều
.
S ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh a, cạnh bên
bằng b
.
3 12
S ABC
-Khi a = b được tứ diện đều
3
2 12
S ABC
a
CT4 Cho hình chóp tam giác
đều S ABC có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với
đáy một góc a
3
tan 24
S ABC
a
=
CT5 Cho hình chóp tam giác
đều S ABC có các cạnh bên
bằng b và cạnh bên tạo với
đáy một góc b
.
3 sin cos
4
S ABC
b
CT6 Cho hình chóp tam giác
đều S ABC có các cạnh đáy
bằng a và cạnh bên tạo với
đáy một góc b
3
tan 12
S ABC
a
=
CT7 Cho hình chóp tứ giác
đều S ABCD có cạnh đáya,
cạnh bên bằng b
.
6
S ABCD
-Khi chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a thì
3
2 6
S ABCD
a
β α
C
B A
S
β
α M G
C
B A
S
β
α M O
D
C B
S
A
Trang 8CT8 Cho hình chóp tứ giác
đều S ABCD có cạnh đáy a
, góc tạo bởi mặt bên và mặt
đáy bằng a
3
tan 6
S ABCD
a
CT9 Cho hình chóp tứ giác
đều S ABCD có cạnh đáy a
, góc SAB = b, với
;
4 2
p p
bÎæçç ö÷÷
÷÷
.
6
S ABCD
a
-CT10 Cho hình chóp tứ giác
đều S ABCD , cạnh bên
bằng b, góc tạo bởi mặt bên
và mặt đáy là a, với
0;
2
p
aÎæçç ö÷÷
÷÷
çè ø
3
2
4 tan
S ABCD
a
a
=
+
CT11 Cho hình chóp tam
giác đều S ABC , có cạnh
đáy bằng a Gọi ( )P là mặt
phẳng qua A, song song với
BC và vuông góc (SBC),
góc giữa ( )P và đáy là a
3
4 cotg 24
S ABCD
a
=
CT12 Khối tám mặt đều có
đỉnh là tâm các mặt của hình
lập phương cạnh a
3
S ABCD
a
CT13 Cho khối tám mặt đều
cạnh a Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập
phương
.
S ABCD
V
ç
÷÷
x
N F E
M G
C
B A
S
D
D'
B'
C B
A' A
C'
Trang 9c
VẤN ĐỀ 1 TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
A.BÀI TẬP TỰ LUẬN
1 HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a BC , 2a Hai mặt bên
SAB và SAD vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60
a) Tính thể tích của khối chóp;
b) Tính góc của hai mặt phẳng SBC và ABCD
Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , chiều cao SA Cạnh bên SB hợp
với đáy một góc
a) Tính thể tích của hình chóp;
b) Định để thể tích khối chóp bằng
3 3 3
a
Bài 3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy,
mặt bên SCD hợp với đáy ABCD góc 60 Tính thể tích khối chóp và góc giữa SC và
SAB
Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD la hình thang vuông tại A và B,
AB BC a AD a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB hợp với đáy góc 60
Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC)
Bài 5 Cho tứ diện SABC với SAB SBC SCA, , vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương
ứng là 24cm , 30cm , 40 cm Tính thể tích của khối tứ diện đó 2 2 2
Bài 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích bằng 12 Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với đáy Các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt một góc 30 , 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD
Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC 60; SA vuông góc với
đáy, góc giữa SC và đáy bằng 45 Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa AC
và SB
Bài 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên
(ABCD) là H thuộc cạnh AB, sao cho
3
AB
AH , SA Tính: a
a) Thể tích khối chóp S ABCD
b) Tính góc giữ SC và (ABCD)
Trang 102 HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và góc BAC Mặt bên SAB là 30
tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích của khối chóp
S ABC
Bài 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A , ABAC a Mặt bên
qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc
bằng nhau và bằng 60 Hãy tính thể tích của khối chóp S ABC
Bài 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ABC60 ; SBC là tam giác
đều cạnh a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau Tính thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách từ A đến (SBC)
Bài 12 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , mặt bên (SBC) vuông
góc với mặt đáy (ABC) và SASB a
a) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông;
b) Cho SC Tính thể tích khối chóp theo a và x x
Bài 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh
, ,
SB BC CD Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
C MNP
3 HÌNH CHÓP ĐỀU:
Bài 14 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc bằng
(0 90 ) Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 15 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh bên bằng a 7; góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a
Bài 16 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có chiều cao bằng a và góc BSC bằng 2 Tính thể tích
khối chóp theo a và
Bài 17 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng a ,
góc tạo bởi SA và đáy là 60 Tính thể tích khối chóp theo a
4 TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài 18 Cho khối chóp S ABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác ABC vuông ở B có AC2a,
30
BAC Gọi H là hình chiếu của A trên SB Tính thể tích khối chóp H ABC
Trang 11c
Bài 19 Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại tâm
O lấy điểm S sao cho 6
3
SOa Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC a) Tính góc giữa các đường thẳng AM và BC ;
b) Tính thể tích khối đa diện ABCNM
Bài 20 Cho hình chóp S ABC có đường cao SA bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại B có
2 ,
AB a BC a Gọi H là trung điểm của SB , K là chân đường cao ha từ A của tam giác SAC Tính thể tích khối chóp S AHK
Bài 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA2a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC Gọi , ) M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng
SB và SC Tính thể tích khối chóp A BCNM
Bài 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB BC a , 90BAD ABC ,
2 ,
AD a SA vuông góc với đáy và SA2a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA SD, Tính thể tích của khối chóp .S BCNM theo a
5 SO SÁNH THỂ TÍCH
Bài 23 Cho tam giác cân ABC với AB AC2a và BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt a
phẳng (ABC tại A lấy điểm S sao cho SA a)
a) Tính thể tích khối chóp S ABC ;
b) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ; )
c) Tìm trên SA điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích
bằng nhau
Bài 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi có BD a và 2BAD Cạnh bên SA
vuông góc với đáy; mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc góc
a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD ;
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC chia hình chóp thành hai phần bằng nhau Tính khoảng cách )
từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD , 2a Cạnh SA vuông
góc với đáy và SA Gọi M là điểm trên SA sao cho AM x a (0 x a)
a) Mặt phẳng (MBC cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó; )
b) Xác định x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp ra làm hai phần có thể tích bằng nhau
Bài 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , cạnh SA vuông góc với đáy là
Trang 12a) Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x ;
b) Xác định giá trị của x để thể tích của khối chóp S MNCD bằng 2
9 lần thể tích khối chóp
S ABCD
Bài 27 cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , đường cao SA a M là một
điểm thay đổi trên SB , đặt SM x( 0 x 2 a ) Mặt phẳng (ADM cắt SC tại N )
a) Tứ giác ADNM là hình gì? Tính diện tích của tứ giác này theo a và x ;
b) Mặt phẳng (ADM chia hình chóp ra làm hai phần, một phần là hình chóp ) S ADNM có thể
tích V và phần còn lại có thể tích 1 V Xác định giá trị của x để 2 1
2
5 4
V
V
6 TÍNH THỂ TÍCH CÁC DẠNG KHỐI CHÓP KHÁC
Bài 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt phẳng ( SAC vuông góc với )
đáy, góc ASC và SA tạo với đáy một góc 90 Tính thể tích của khối chóp S ABCD
Bài 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC
và BD là 60 , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a Tính thể tích khối chóp theo a
Bài 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB a BC , a 3 Góc giữa các
cạnh bên và mặt đáy của hình chóp đều bằng 60 Tính thể tích của khối chóp đã cho
Bài 31 Cho tứ diện ABCD có 6
2
a
BC và các cạnh còn lại bằng a Tính thể tích của khối tứ diện
Bài 32 Trong mặt phẳng ( )P cho hình thoi ABCD với AB và a 2
3
a
BD Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng ( )P và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi trên, người ta lấy điểm S sao cho SB a
a) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông;
b) Tính thể tích khối chóp S ABCD ;
c) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB và () SAD vuông góc với nhau )
7 TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TẠO BỞI THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VÀ KHỐI CHÓP CHO TRƯỚC
Bài 33 Cho hình chóp S ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có AB BC a
Gọi B là trung điểm của SB và C là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC
a) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng ( AB C ; )
b) Tính thể tích khối chóp S AB C
Trang 13c
Bài 34 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60
Mặt phẳng ( )P chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 30 cắt SC SD lần lượt tại , , M N a) Tính theo a diện tích tứ giác ABMN ;
b) Tính thể tích khối chóp .S ABMN theo a
Bài 35 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên SA a 5 Một mặt phẳng ( )P chứa
AB và vuông góc mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại C và D
a) Tính diện tích tứ giác ABC D ;
b) Tính thể tích của hình đa diện ABCDD C
Bài 36 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc
( 90
a) Tính thể tích khối chóp theo a và
b) Gọi ( )P là mặt phẳng qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB SC SD, , lần lượt tại
, ,
B C D Hãy tính diện tích thiết diện AB C D
Bài 37 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , các mặt bên hợp với mặt đáy một góc
3 Dựng mặt phẳng ( )P đi qua AB và hợp với đáy một góc cắt SC và SD lần lượt tại C
và D
a) Tính diện tích thiết diện ABC D theo a và ;
b) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a và