Bài tập nâng cao thể tích khối đa diện có đáp án

Bài tập hay và khó về thể tích khối đa diện dành cho ôn luyện học sinh giỏi ( Có đáp án kèm theo)Phần 1: Thể tích khối chóp tam giácPhần 2: Thể tích khối chóp tứ giácPhần 3: Thể tích hình lăng trụ

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I THỂ TÍCH KHỐI CHểP TAM GIÁC

1./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=3a (với a>0); SA tạo với đỏy (ABC) một gúc bằng 600.Tam giỏc ABC vuụng tại B, ãACB  300 G là trọng tõm của tam giỏc ABC Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) Tớnh thể tớch của hỡnh chúp S.ABC theo a ĐS: V 243a3

112

 2./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC),

SA = AB = a, AC = 2a, ã AS C ABC  ã  900 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC) ĐS: V a c

, os

3./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a , tam giỏc SAC cõn tại

S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy, SB hợp với đỏy một gúc 300, M là trung điểm của BC Tớnh thể tớch khối chúp S.ABM và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng

SB và AM theo a ĐS: V 3a d3 a

,

4./ cho hỡnh chop S.ABC , đỏy tam giỏc vuụng tại A, ãABC  600, BC = 2a gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn BC, biết SH vuụng gúc với mp(ABC) và SA tạo với đỏy một gúc 600 Tớnh thể tớch khối chop S.ABC và khoảng cỏch từ B đến mp(SAC) theo a

ĐS: V 3a d3 2a

,

5./ Cho hỡnh chúp S.ABC tam giỏc ABC vuụng tại B, BC = a, AC = 2a, tam giỏc SAB đều Hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng (ABC) trựng với trung điểm M của AC Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC

ĐS: V a d a

3 2 66 ,

11 6

6./Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A,AB = AC = a,

ã SBA SCA  ã  900

gúc giữa cạnh bờn SA với mặt phẳng đỏy bằng 600 Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC, SA ĐS: V 6 a d3 6 a

,

7./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B, AB = BC = a 3 ,

ã SAB SCB  ã  900 và khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và diện tớch mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABC theo a

ĐS: V 6 a S3 a2

2

8./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều; mặt bờn SAB nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và tam giỏc SAB vuụng tại S, SA = a 3, SB = a Gọi K là trung điểm của đoạn AC Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khỏang cỏch giữa hai đường thẳng

BC và SK theo a ĐS: V a d a

3 , 15

9./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi I là trung

điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bẳng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng SB và AC theo a ĐS: V 12 3a d3 6 3a

,

10./ Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ·BAC  1200

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc  , biết tan 3

7

  Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) ĐS: V 3 a d3 3 13 a

,

11./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, góc BAC =1200 Gọi H, M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC, SH vuông góc với (ABC), SA=2a và tạo với mặt đáy góc 600 Tính theo a thể tích k.chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC

ĐS: V a d3 a 21

,

7

12./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a,·ACB  300 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a 2.Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

ĐS: V 6 a d3 2 66 a

,

13./ Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a 3,tam giác ABC vuông tại B, AB= a 3, AC = 2a Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC ĐS: V a3 ,d 3a

14./ Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh 3a và cạnh CD tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 Gọi H là điểm nằm trên AB sao cho AB = 3AH và mặt phẳng (DHC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích tứ diện đã cho và khoảng cách

từ điểm D đến mặt phẳng (MAB) , biết M là trung điểm CD và mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (ABC) ĐS: V 9 7 a d3 3 777 a

,

15./ Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy

là 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách của hai đường thẳng

,

16./ cho hình chop S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB = AC = a , I là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của

BC , mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách

từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a h ĐS: V 3 a d3 3 a

,

II THỂ TÍCH KHÔI CHÓP TỨ GIÁC

1./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = 2a, BC = a 2, BD = a 6 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD , biết SG = 2a Tính thể tích V của hình chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng

AC và SB theo a ĐS: V 4 2a , d3 a

3

2./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 Hai mặt phẳng (SAC ) và (SBD) cùng vuông góc với đáy Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC

hTính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết

AI vuông góc với SC ĐS: V 15a ,d3 4a

3./ cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB = a, AD = 2a Gọi M là trung điểm của BC , N là giao điểm của AC và

DM , H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD)

là , với tan = 10

5 .Tính thể tích khối chop S.ABMN và khoảng cách từ H đến (SMD)

4./Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại

S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho

HA = 3HD Gọi M là trung điểm của AB Biết rằng SA = 2a 3và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt

5./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); AB = 2a ; AD = CD = a Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 600 Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M,

N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a ĐS: V 7 6a3

27

 6./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AO, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD ) ĐS: V 3a ,d3 a 3

7./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SBC) ĐS:V 1a ,d3 2a

8./ cho hình chop S.ABCD, có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AC = 2a SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD), SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300 , Gọi M

là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA.Tính thể tích khối chop S.DCM và khoảng cách và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM ) ĐS: V 6a ,d3 2 34a

9./ Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD cạnh a, góc ABC 120 ·  0 Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại G lấy điểm S sao cho ASC 90 ·  0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến (SBD) theo a

ĐS: V 2a , d3 6a

10./ Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt đáy, SC a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC bằng 2a 2 (ở đây H là trung điểm AB) Hãy tính thể tích k.chóp theo a. ĐS :

3

4 3

S ABC

a

11./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3.Tớnh thể tớch khối chúp S.CDNM và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng DM và SC theo a ĐS: V 5 3a , d3 2 3a

12./ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a;

AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD).Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 600.Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai

3 3

3

a ; d =

5

3

2a

13./ Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a AD a  ,  2, tam giỏc SAB cõn tại S và mặt phẳng (SAB) vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Biết gúc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tớnh thể tớch khối chúp S ABCD Gọi

H là trung điểm cạnh AB tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng CH và SD

Đs : 3 ; os 7 11

a

14./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB a AD  ,  2 2 a Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm S trờn mặt phẳng (ABCD) trựng với trọng tõm tam giỏc BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng(ABCD) một gúc 450 Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD

và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SD theo a Đs : V = 4 2 3

3 a ; d = 2 2

11

a

III THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

1./ Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A ' B 'C ' với A '.ABC là hỡnh chúp tam giỏc đều cạnh đỏy AB = a , cạnh bờn AA ' = a 2 Gọi  là gúc giữa hai mặt phẳng ( ABC) và mặt phẳng ( A ' BC) Tớnh tan và thể tớch chúp A '.BCC ' B ' Đs: V = 5 a3

6

2./ Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B với

AB = a , AA' = 2a , A'C = 3a Gọi M là trung điểm cạnh C'A', I là giao điểm của đường thẳng

AM và A'C.Tớnh theo a thể tớch khối IABC và khoảng cỏch từ A tới mặt phẳng (IBC )

Đs: V = 2 5 a3

3 , d = 2a

5 3./ Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B; AB = a Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A' lờn mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho

HC = 2HA Mặt bờn (ABB'A') hợp với mặt đỏy (ABC) một gúc bằng 600 Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và CC'

Đs: V 3 a3

6

 , d = a 3

4./ Cho hỡnh lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , cạnh bờn AA' = a, hỡnh chiếu vuụng gúc của A ' trờn mặt phẳng (ABCD ) trựng với trung điểm I của

AB Gọi K là trung điểm của BC Tớnh theo a thể tớch khối chúp A'.IKD và khoảng cỏch từ

I đến mặt phẳng (A’KD) Đs: V 3a3 d 3 2a

,

5./ Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’, với AB = a, BC = 2a, ãABC  600, hỡnh chiếu vuụng gúc của A’ lờn mặt phẳng ( ABC ) trựng với trọng tõm G của ABC ; gúc giữa AA’ và

Đs: V a d a

3

2 51 ,

6./ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và

·ABC  300 Biết M là trung điểm của AB , tam giác MA’C đều cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng giữa hai đường thẳng AC , BB’ Đs: V 3a d3 3 a

,

7./ Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’, có đáy là hình thoi cạnh bằng a

và ·BAD  600.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và B’C biết rằng MN vuông góc với BD’ Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng

MN và BD’ theo a Đs:V 6 a d3 3a

,

8./ Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a, mặt bên ACC’A’ là hình vuông Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, CC’, A’B’ và

H là hình chiếu của A lên BC Tính thể tích khối chóp A’.HMN và khoảng cách giữa hai đường

,

9./ Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có a 10

AA'

4

 ,AC = a 2, BC = a, ·ACB  1350 Hình chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB Tính theo

a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và góc tạo bởi đường thẳng C'M với mặt phẳng

8

   10./ Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = AA’= a Góc tạo bởi đường thẳng BC’ vì mặt phẳng (ABB’A’) bằng 600 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ và BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và NP theo a Đs : V 15 a d3 a 15

,

11./ Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = 2, BC = 4 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của AC Góc giữa hai mặt phẳng BCC B v1 1 àABC bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC Đs : V 3 3 ,d 3

2