ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 Trong chương trình hình học phẳng cấp THCS, đặc biệt là hình học 8, nội dung có liên quan đến định lý Talét và hệ quả của nó chiếm khá nhiều. Tuy nhiên, đây là một kiến thức khó đối với học sinh. Việc giải bài tập liên quan đến chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh các tỉ lệ thức liên quan các cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng… luôn gây cho học sinh một số khó khăn nhất định. Phương pháp “Tam giác đồng dạng” là một công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán dạng này.
Trang 1Phòng Giáo dục & Đào tạo Long Hồ
Trờng THCS Long An
Chuyên đề:
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC Đễ̀NG DẠNG
VÀO GIẢI TOÁN HèNH HỌC LỚP 8
-
Cấu trúc chuyên đề
Dạng
Dạng 2 Chứn
g minh
hệ thức
Dạng 3 Chứng minh song song
Dạng 4 Chứn
g minh
đồng dạng
Dạng 5 Chứng minh
đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
Dạng 6 Toán ứng dụng thực tế
1
Khái
niệm
chung
về
ph-ơng
pháp
tam giác
2 Tóm tắt kiến thức liên quan
3
Các dạng toán cụ thể
4
Tiết dạy minh họa
Dạng
1
Tính
độ
dài,
tỉ số,
diện
tích
Trang 2
Phần A Mở đầu
I Lý do chọn chuyên đề:
Trong chơng trình hình học phẳng cấp THCS, đặc biệt là hình học 8, nội dung có liên quan đến định lý Ta-lét và hệ quả của nó chiếm khá nhiều Tuy nhiên, đây là một kiến thức khó đối với học sinh Việc giải bài tập liên quan
đến chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh các tỉ lệ thức liên quan các cạnh tơng ứng của tam giác đồng dạng… luôn gây cho học sinh một số khó khăn nhất định Phơng pháp “Tam giác đồng dạng” là một công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán dạng này
Phơng pháp “Tam giác đồng dạng” là phơng pháp ứng dụng tính chất đồng dạng của tam giác, tỉ lệ các đoạn thẳng, các góc bằng nhau trên tam giác đồng dạng… để trên cơ sở đó tìm ra hớng giải phù hợp cho từng dạng toán
Trên thực tế, việc áp dụng phơng pháp “Tam giác đồng dạng” trong giải toán, chúng ta có thể gặp các thuận lợi và khó khăn nh sau:
* Thuận lợi:
+ Phơng pháp “Tam giác đồng dạng” là công cụ chính giúp ta giải quyết nhanh chóng các dạng toán đặc trng về tính tỉ lệ, chứng minh hệ thức và các bài tập ứng dụng khác
+ Với một số dạng toán quen thuộc nh chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phơng pháp “Tam giác đồng dạng” có thể cho ta những cách giải quyết gọn gàng hơn các phơng pháp truyền thống khác
+ Phơng pháp “Tam giác đồng dạng” giúp hình thành khả năng t duy logic của học sinh, rèn luyện tính chủ động, sáng tạo của học sinh, từng bớc nâng cao hiệu quả học tập
* Khó khăn:
+ Phơng pháp “Tam giác đồng dạng” còn lạ lẫm với học sinh Các em cha quen với việc sử dụng một phơng pháp mới để giải toán thay cho các cách chứng minh truyền thống, đặc biệt là với các học sinh lớp 8
+ Việc sử dụng các tỉ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính toán, biến đổi vòng quanh, không rút ra ngay đợc các tỉ số cần thiết; không có kỹ năng chọn cặp tam giác phù hợp và ghi cha đúng đỉnh tơng ứng cũng khiến cho học sinh gặp nhiều trở ngại, lúng túng
II Mục đích của việc thực hiện chuyên đề:
Từ những nhận định trên, chuyên đề này giải quyết giúp cho giáo viên dạy lớp 8 và các em học sinh một số vấn đề cụ thể là :
- Hệ thống lại các kiến thức thờng áp dụng trong phơng pháp
- Hệ thống các dạng toán hình học thờng áp dụng phơng pháp “ Tam giác đồng
dạng”
- Định hớng giải quyết các dạng toán này bằng phơng pháp này
- Hệ thống một số bài tập luyện tập
- Minh họa một số tiết dạy luyện tập
Trang 3Trong chuyên đề này nhóm tác giả đã có rất nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm một số phơng pháp hình học đặc trng, tuy nhiên do hạn chế về kiến thức,
về thực tế giảng dạy chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót Kính mong quý thầy, cô giáo có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy, các bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho chuyên đề trở nên hoàn chỉnh hơn
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Phần B Nội dung
I Kiến thức cơ bản
1 Định lý Talet trong tam giác
a) Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ
b) Nếu một đờng thẳng cắt 2 cạnh của tam giác
và nó định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng
tơng ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại
c) Hệ quả:
∆ABC có MN// BC ⇒ AM AN
AB = AC =MN
BC
2 Khái niệm tam giác đồng dạng
Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
à' à
A =A ; Bà'=Bà; Cà '=Cà và A B' ' B C' ' A C' '
AB = BC = AC
3 Các trờng hợp đồng dạng của tam giác
a) Trờng hợp thứ nhất (c.c.c):
Nếu 3 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng
b) Trờng hợp thứ hai (c.g.c):
Nếu 2 cạnh của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng
c) Trờng hợp thứ ba (g.g):
Nếu 2 góc của tam giác này lần lợt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng
d) Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông (học sinh sẽ đợc học sau):
+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng
+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền
và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng
II Các dạng toán cụ thể
Dạng 1 Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích
Trang 4*Loại 1 Tính độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 1: (có hình vẽ sẵn)
ABCD là h.thang (AB // CD)
GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm
ãDAB = ãDBC
KL x = ?
Giải
∆ABD và ∆BDC có: ãDAB = ãDBC (gt)
à1
B = Dà1 (so le trong do AB // CD)
⇒∆ABD : ∆BDC (g.g)
⇒
BD
AB
=
DC
BD
hay
x
5 , 12 =
5 , 28
x
⇒ x2 = 12,5 28,5 ⇒ x = 12,5.28,5 ≈ 18,9 (cm)
Ví dụ 2: (có hình vẽ sẵn)
∆ABC; AB = 12cm; AC = 15cm
GT BC = 18cm; AM = 10cm; AN = 8cm
KL MN = ?
Giải
Xét ∆ABC và ∆ANM ta có :
AC
AM
= 15
10 = 3 2
AB
AN
= 8
12 =
3 2
Mặt khác, có àA chung
Vậy ∆ABC : ∆ANM (c.g.c)
Từ đó ta có:
AN
AB
=
NM
BC
hay 12 18
8 = MN ⇒ MN=
12
18 8 = 12(cm)
Ví dụ 3:
a) Tam giác ABC có àB = 2àC; AB = 4cm; BC = 5cm
Tính độ dài AC?
b) Tính độ dài các cạnh của ∆ABC có àB = 2àC biết rằng số đo các cạnh là 3
số tự nhiên liên tiếp
A Giải
a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC
B ∆ACD và ∆ABC có:
⇒
AC
AM
=
AB AN
Trang 5+ àA chung;
+ àC = àD = 1
2 ãABC
D C ⇒∆ACD : ∆ABC (g.g)
⇒
AB
AC
=
AC
AD
⇒ AC2 = AB AD = 4 9 = 36 ⇒ AC = 6 (cm)
b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lợt là a, b, c
Theo câu (a) ta có
AC2 = AB AD = AB (AB + BC) ⇒ b2 = c (c + a) = c2 + a.c (1)
Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là:
b = c + 1 hoặc b= c + 2
* Nếu b = c + 1 thì từ (1) ⇒ (c + 1)2 = c2 + a.c ⇒ 2c + 1 = a.c
⇒ c (a - 2) = 1 (loại) vì c = 1 ; a = 3; b = 2 không là các cạnh của 1 tam giác
* Nếu b = c + 2 thì từ (1) ⇒ (c + 2)2 = c2 + a.c ⇒ 4c + 4 = ac
⇒ c (a – 4) = 4
Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; b = 6 thỏa mãn bài toán
Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm
Bài tập đề nghị:
Cho ∆ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực của BC cắt
BC, BA, CA lần lợt ở M, E, D Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD
*Loại 2 Tính góc
Ví dụ: Cho ∆ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối của HB lấy điểm C sao cho AC =
3
5
AH Tính ãBAC ∆ABH; àH = 900 ; AB = 20cm
3
5 AH
KL ãBAC = ?
B 12 H C Giải:
Ta có
AH
AC BH
AB = = =
3
5 12 20
⇒
AH
BH AC
AB =
Xét ∆ABH và ∆ CAH có :
ãAHB = ãCHA = 900
AH
BH AC
AB = (chứng minh trên)
⇒∆ABH : ∆CAH (CH cạnh gv) ⇒ ãCAH= ãABH
Lại có ãBAH + ãABH = 900 nên ãBAH + ãCAH = 900 Do đó: ãBAC = 900
Trang 6Bài tập đề nghị:
Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600 Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tơng ứng ở M, N Gọi K là giao điểm của BN
và DM Tính số đo góc BKD?
*Loại 3 Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tích
Ví dụ: Cho ∆ABC, D là điểm trên cạnh AC sao cho BDCã =ãABC
Biết AD = 7cm; DC = 9cm Tính tỉ số
BA BD
∆ABC; D ∈ AC : BDCã =ãABC;
GT AD = 7cm; DC = 9cm
KL Tính
BA
BD
Giải:
∆CAB và ∆CBD có: àC chung ;
ãABC = ãBDC (gt)
⇒∆CAB : ∆CBD (g.g) ⇒
CB
CA CD
CB = Do đó, ta có:
CB2 = CA.CD
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm)
Do đó CB2 = 9.16 = 144 ⇒ CB = 12 (cm)
Mặt khác, ta lại có: ∆CAB : ∆CBD (cmt) => 3
4
DB CB
BA =CA =
Bài tập đề nghị:
Bài tập 1 Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của
AB, BC; CE cắt DF ở M Tính tỉ số CMD
ABCD
S
Bài tập 2 Cho ∆ABC và hình bình hành AEDF có E ∈ AB; D ∈ BC; F ∈ AC Tính diện tích hình bình hành biết rằng: SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2;
-Dạng 2 Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng
Ví dụ 1:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo AC
và BD
a) Chứng minh rằng: OA OD = OB OC
b) Đờng thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K
CMR: OH
OK =
CD AB
+ Tìm hiểu bài toán: Cho những dữ kiện gì?
Chứng minh gì?
+ Xác định dạng toán:
Trang 7? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì?
TL:
OC
OA
=
OD OB
? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào
TL: Chứng minh tam giác đồng dạng
a) OA OD = OB OC
OC
OA
=
OD OB
⇑
∆OAB : ∆OCD
b)
OK
OH
=
CD
AB
Để chứng minh
OK
OH
=
CD
AB
ta cần chứng minh điều gì
Sơ đồ phân tích:
OK
OH
=
CD AB
OK
OH
=
OC
OA
CD
AB
=
OC OA
⇑ ⇑
∆OAH : ∆OCK ∆OAB : ∆OCD
Ví dụ 2:
Cho hai tam giác vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD
Đờng thẳng qua P vuông góc với AB tại I CMR: AB2 = AC AP + BP BD
*Định hớng:
- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB? (AB = AI + IB)
⇒ AB2 = ? → AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB
- Việc chứng minh bài toán trên đa về việc chứng minh
- Các hệ thức: AB AI = AC AP và AB IB = BP PD
- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức (trong
tam giác đồng dạng)
Sơ đồ phân tích:
AB2 = BP BD + AC AP ⇑
⇑
Trang 8AB (IB + IA) = BP PD + AC AP
⇑
AB IB + AB AI = BP PD + AC AP
⇑
AB.BI = PB DB AB AI = AC AP
⇑ ⇑
AB
PB = DB
AP = AC
AI
⇑ ⇑
∆ADB : ∆PIB ∆ACB : ∆AIP
Bài tập đề nghị:
Cho ∆ABC, phân giác AD (AB < AC) Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho ãACI = ãBDA
CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC
-Dạng 3 Chứng minh quan hệ song song
Ví dụ:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M là trung điểm của CD, E là giao
điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC
Chứng minh rằng EF // AB
ABCD (AB // CD)
DM = MC
GT MA ∩ DB = E
MB ∩ AC = F
KL EF // AB
Định hớng giải:
- Sử dụng trờng hợp đồng dạng của tam giác;
- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng;
- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta-lét đảo)
Sơ đồ phân tích:
EF // AB
⇑
Trang 9EA = MF
FB
⇑
ME
EA = MD
AB ; MD = MC ;MF
FB = MC
AB
⇑ ⇑
∆MED : ∆ AE ; ∆MFC : ∆BFA
Bài tập đề nghị:
Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng đi qua A song song với BC cắt BD ở E Đờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G Chứng minh rằng EG // DC
-Dạng 4 Chứng minh tam giác đồng dạng
Ví dụ 1:
Cho ∆ABC; AB = 4,8cm; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D sao cho
AD = 3,2cm; trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm Kéo dài ED cắt CB ở F
a) CMR: ∆ ABC : ∆AED
b) ∆FBD : ∆FEC
c) Tính ED; FB?
Bài toán cho những dữ kiện gì? Thuộc dạng toán nào?
Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng có những phơng pháp nào?
Bài này sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy?
Sơ đồ phân tích:
a)
∆ABC : ∆AED ⇑
àA chung
AB
AE = AC
AD = 2
b) ∆FBD : ∆FEC
àC = Dả2
àF chung
c) Từ câu a, b hớng dẫn học sinh thay vào tỉ số đồng dạng để tính ED và FB
Ví dụ 2: Cho ∆ABC cân tại A; BC = 2a; M là trung điểm của BC Lấy các
điểm D và E trên AB; AC sao cho ãDME = àB
a) CMR: ∆BDM : ∆CME
b) ∆DME : ∆DBM
c) BD CE không đổi
? Để chứng minh ∆BDM : ∆CME ta cần chứng minh điều gì
Trang 10? Từ GT → nghĩ đến 2 tam giác có thể đồng dạng theo trờng hợp nào.
? GT đã cho yếu tố nào về góc (àB = àC)
? Cần chứng minh thêm yếu tố nào
a) Lời giải sơ lợc:
GT Góc ngoài ∆DBM
⇓ ⇓
àB = Mả 1; ãDMC = Mả 1 + Mả 2; ãDMC = Dả1 + àB
∆ABC cân ⇓ ⇓
àB = àC ; Dả1 = Mả 2
⇓
∆BDM : ∆CME (g.g) Câu a GT ⇓ ⇓
ME = BD
CM ; CM = BM ⇓
DM
ME = BD
BM
⇓
à
1
B = Mả 1(gt) ; DM ME
BD = BM
⇓
∆DME : ∆DBM (c.g.c) c) Từ câu a: ∆BDM : ∆CME (g.g)
CM = CE ⇒ BD CE = CM BM
Mà CM = BM =
2
BC
= a ⇒ BD CE = a2 (không đổi)
L u ý: Gắn tích BD CB bằng độ dài không đổi;
Bài đã cho BC = 2a không đổi;
Nên phải hớng cho học sinh tính tích BD CE theo a
Bài tập đề nghị:
Bài tập 1 Cho ∆ABC, AD là phân giác àA; AB < AC Trên tia đối của DA lấy
điểm I sao cho ãACI =BDAã Chứng minh rằng:
a) ∆ADB : ∆ACI; ∆ADB : ∆CDI
b)AD2 = AB AC - BD DC
Bài tập 2 Cho ∆ABC; Gọi H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3
đờng trung trực của tam giác Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và
AC Chứng minh:
a) ∆ OED : ∆ HCB
b) ∆ GOD : ∆ GBH
c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG
-Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
Trang 11E
F
C
Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O Đ-ờng thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên
AD, BC theo thứ tự tại E và F
Chứng minh rằng: OE = OF
O
Sơ đồ phân tích:
OE = OF
⇑
OE
DC = OF
DC
⇑
OE
DC = AO
AC ;OF
DC = BO
BD; AO
AC=BO
BD
⇑ ⇑ ⇑
∆AEC ∆BOF ∆AOB : : :
∆ADC ∆BDC ∆COD ⇑ ⇑
EF // DC ; AB // CD
⇑
GT H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau (OE = OF) ta sẽ đa về chứng minh điều gì?
TL: EO
DC = OF
DC (1) H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (∆AEO; ∆ADC, các tam giác này
đã đồng dạng cha? Vì sao?)
H: Đặt câu hỏi tơng tự cho OF, DC
H: Lập tỉ số EO
DC và OF
DC
TL: EO
DC = AO
AC ; OF
DC = BO
BD
H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì?
TL: AO
AC = BO
BD
H: Đây là tỉ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào?
TL: ∆AOB; ∆COD
H: Hãy chứng minh điều đó
Ví dụ 2:
Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm
Chứng minh : ãBAD DBC=ã
Xét ∆BAD và ∆DBC có AB // CD do đó :
Trang 12C
ABD BDC= (so le trong )
4 1
8 2
AB
BD = =
8 1
16 2
BD
DC = =
BD = DC (cùng bằng 1
2)
⇒∆BAD : ∆DBC (c.g.c)
⇒ BAD DBCã =ã
-Dạng 6 Toán ứng dụng thực tế
Đề bài nh sách giáo khoa, đợc thực hiện ở các tiết thực hành ngoài trời
Phần III Kết luận
Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phơng pháp th-ờng dùng ở đây là :
* Đa 2 đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau về là tử của 2 tỉ số bằng nhau có cùng mẫu
* Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó
* Đa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tơng ứng của 2 tam giác đồng dạng
* Chứng minh 2 tỉ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau (hoặc mẫu bằng nhau) suy ra 2 đoạn thẳng ở mẫu (hoặc ở tử) bằng nhau
Trên đây là một số dạng toán cơ bản về tam giác đồng dạng ở chơng trình hình học lớp 8 mà nhóm toán 8 của Trờng THCS Long An lựa chọn và giới thiệu Chắc chắn rằng không thể thỏa mãn đợc yêu cầu của các thầy, cô dạy toán trong khối Rất mong đợc sự góp ý xây dựng của quý thầy cô để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn và thực hiện có hiệu quả hơn
Xin trân trọng cảm ơn!
Long An, ngày 09 tháng 03 năm 2017
Nhóm Toán
4
16 8