slide cơ kết cấu 2 hau

Trong thực tế tính toán kết cấu công trình, ta thường gặp một số hệ kết cấu mà nếu chỉ sử dụng các phương trình cân bằng thôi thì không đủ để xác định được hết các thành phần nội lực và

6 Hệ siêu tĩnh và cách tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực 6.1 Khái niệm về hệ siêu tĩnh

6.1.1 Định nghĩa hệ siêu tĩnh

Trong thực tế tính toán kết cấu công trình, ta thường gặp một số hệ kết cấu mà nếu chỉ sử dụng các phương trình cân bằng thôi thì không đủ để xác định được hết các thành phần nội lực và phản lực của hệ Muốn tính các hệ này ta phải bổ sung thêm các phương trình về điều kiện biến dạng Những hệ như thế được gọi là hệ siêu tĩnh

Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được tất cả các thành phần phản lực

và nội lực của hệ nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng

Trong chương 2 khi xét cấu tạo hình học của hệ kết cấu ta nhận thấy nếu một hệ kết cấu đủ liên kết bất biến hình thì là hệ tĩnh định, nếu thừa liên kết bất biến hình thì

là hệ siêu tĩnh Vậy:

Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình thừa liên kết

Biểu hiện của hệ siêu tĩnh là có liên kết thừa

Khái niệm liên kết thừa ở đây chỉ là quy ước Ta cần hiểu liên kết thừa là những liên kết không cần thiết cho sự cấu tạo hình học của hệ nhưng vẫn cần thiết cho sự làm việc của hệ kết cấu công trình

4

5ql 384EI

Hình 6.2

6.1.2 Tính chất của hệ siêu tĩnh

So sánh với hệ tĩnh định, hệ siêu tĩnh có những tính chất sau

a) Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hơn trong

384

ql f EI

 hình 6.3a

Dầm hai đầu khớp chịu tải trọng phân bố đều q có độ võng 4

5 384

ql f EI

 hình 6.3b

Như vậy, với ví dụ trên: độ võng của dầm siêu tĩnh nhỏ hơn của dầm tĩnh định có cùng nhịp, cùng độ cứng và chịu cùng tải trong phân bố đều là 5 lần

b) Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào số liên kết thừa

So sánh dầm siêu tĩnh hai đầu ngàm (thừa 3 liên kết hình 6.4a) với dầm siêu tĩnh một đầu ngàm một đầu khớp (thừa 1 liên kết hình 6.4b) có nhịp là l chịu tải phân bố

q q

ql 24

ql 12

t t

1 2

a) b)

c) d)

Hình 6.5 Khi liên kết có chuyển vị cưỡng bức (bị lún): Dầm siêu tĩnh (hình 6.5c) có gối tựa

ở giữa không cho phép chuyển vị nên dầm bị cong đi và phát sinh phản lực tại các gối tựa Dầm tĩnh định (hình 6.5d) không có liên kết ngăn cản chuyển vị nên dầm không

bị cong đi mà chỉ bị nghiêng nên không phát sinh phản lực gối tựa

d) Nội lực phát sinh trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và kích thước của các thanh trong hệ kết cấu

l l

0, 7

th

EI P

th

EI P

Mặt khác ta nhận thấy hai miếng cứng nếu liên kết bằng một liên kết hàn thì đã là một miếng cứng nên liên kết hàn có thể loại khỏi các công thức trên Nếu hai miếng cứng được liên kết với nhau bằng một liên kết thanh thì chúng ta có thể coi là trường hợp ba miếng cứng liên kết với nhau bằng hai khớp và như vậy ta có thể xây dựng công thức tính bậc siêu tĩnh đơn giản hơn:

Trước hết ta xét một khung hở (hình 6.7a) khung này là khung tĩnh định vì chúng ta có thể dùng ba phương trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực tại một tiết diện bất kỳ

a) b) c) d)

Hình 6.7 Nếu ta đặt vào chu vi hở đó một liên kết loại 1 (liên kết thanh, hình 6.7b) hệ sẽ thừa một liên kết Vậy hệ có bậc siêu tĩnh bằng 1

Nếu ta đặt vào chu vi hở đó một liên kết loại 2 (liên kết khớp, hình 6.7c) hệ sẽ thừa hai liên kết Vậy hệ có bậc siêu tĩnh bằng 2

Nếu ta đặt vào chu vi hở đó một liên kết loại 3 (liên kết hàn, hình 6.7d) hệ sẽ thừa ba liên kết Vậy hệ có bậc siêu tĩnh bằng 3

Như vậy ta thấy một chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng ba, nếu thêm vào chu vi kín

đó một liên kết khớp đơn giản thị bậc siêu tĩnh giảm đi một đơn vị

Nếu gọi V là số chu vi kín do hệ kết cấu tạo thành và K là số khớp quy về khớp đơn giản Ta có công thức để xác định bậc siêu tĩnh của hệ kết cấu là:

6.2 Nội dung phương pháp lực

6.2.1 Nội dung tổng quát

Xét một hệ siêu tĩnh chịu lực như hình 6.9a Đây là hệ có năm liên kết nối đất (tại ngàm A có 3 và tại gối cố định B có 2) thừa hai liên kết và là siêu tĩnh bậc 2 Ta không thể tính được trên hệ này vì chỉ có ba phương trình cân bằng tĩnh học mà có tới năm ẩn số Nếu ta loại bỏ đi hai liên kết thừa tại B (hình 6.9b) và thay thế bằng các phản lực chưa biết gọi là các ẩn số X1 và X2, với hệ này ta hoàn toàn có thể tính được

vì đây là hệ tĩnh định Để đảm bảo hệ này (hình 6.9b) làm việc giống hệ đã cho (hình 6.9a) ta nhận thấy: Tại B ở hệ đã cho là gối cố định nên không có chuyển vị đứng và chuyển vị ngang Vậy ở hệ mới điều kiện là chuyển vị đứng và chuyển vị ngang tại B phải bằng không để dảm bảo điều kiện động học của hệ

a) b)

Hình 6.9

Từ đó ta có: Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được tất cả các thành phần nội lực và phản lực của hệ nên ta tính trên một hệ khác (hệ cơ bản) và để hệ cơ bản làm việc như hệ thực ta bổ sung thêm các phương trình điều kiện (hệ phương trình điều kiện)

Hệ cơ bản phải là hệ tĩnh định mới có thể tính được Như vậy hệ cơ bản phải là hệ không có liên kết thừa, hệ siêu tĩnh là hệ có liên kết thừa nên để được hệ cơ bản ta loại

Để hệ cơ bản làm việc như hệ thực thì chuyển vị tại các liên kết đã bị loại trong

hệ cơ bản theo phương của liên kết do tất cả các nguyên nhân (tải trọng P, biến thiên nhiệt độ t và chuyển vị cưỡng bức gối tựa Z) phải bằng không

 V: Là số chu vi kín do hệ kết cấu và nền đất tạo thành

 K: Là số khớp trong hệ kết cấu đã qui về khớp đơn giản

Trong một số trường hợp ta đã chấp nhận giả thiết bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng dọc và biến dạng trượt so với biến dạng uốn khi tính chuyển vị nên có thể có trường hợp phản lực tại liên kết thừa bị loại bỏ do không gây ra mômen trong hệ cơ bản (không gây ra biến dạng uốn) thì ẩn số này bị loại bỏ mà không ảnh hưởng đến kết quả tính toán Ví dụ: Khảo sát hệ kết cấu cho trên hình 6.10a

a) c)

b) d)

Hình 6.10 Trong hệ này ta nhận, đây là hệ siêu tĩnh bậc 2 Chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ liên kết khớp thay bằng hai phản lực X1 và X2 (hình 6.10b) Ta nhận thấy biểu đồ mômen do X1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.10c) là có nhưng biểu đồ mômen do X2gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.10d) là đồng nhất bằng không nên ta loại bỏ ẩn X2 này

Định nghĩa: Hệ cơ bản của phương pháp lực là một hệ bất biến hình được suy ra

từ hệ thực bằng cách loại bỏ tất cả hoặc một số liên kết thừa Ví dụ hình 6.9b Viết tắt

Tính chất: Một hệ thực có thể có được nhiều hệ cơ bản Ví dụ như sơ đồ kết cấu cho trên hình 6.9a:

Nếu ta loại hai liên kết tại B được hệ có bản ở hình 6.9b

Nếu ta loại một liên kết tại A và một liên kết tại B được hệ cơ bản ở hình 6.11a Nếu ta loại hai liên kết tại A được hệ cơ bản ở hình 6.11b Nhưng nếu loại một liên kết tại A và một liên kết tại B được hệ ở hình 6.11c, hệ này không làm hệ cơ bản được

vì bị biến hình tức thời

a) b) c)

Hình 6.11

Chú ý khi chọn hệ cơ bản cho phương pháp lực

 Đối với liên kết thừa ở vị trí và phương không có chuyển vị cưỡng bức ta có thể loại bỏ liên kết và thay bằng phản lực chưa biết Xk có chiều bất kỳ

a) b)

Hình 6.12

P q A

Hình 6.12a là hệ có hai liên kết thanh nối đất không có chuyển vị cưỡng bức tại B, ta

có thể loại bỏ liên kết và thay bằng phản lực chưa biết X1 và X2 như hình 6.12b

 Đối với liên kết thừa ở vị trí và phương có chuyển vị cưỡng bức ta quy ước chỉ được phép cắt và thay thế bằng cặp lực Xk ngược chiều nhau mà không được phép loại bỏ liên kết Hình 6.13a là hệ có hai liên kết thanh nối đất tại B Liên kết thanh theo phương đứng có chuyển vị cưỡng bức  ta quy ước chỉ cắt và thay thế bằng cặp lực X1 ngược chiều nhau, còn liên kết theo phương ngang không có chuyển vị cưỡng bức ta loại bỏ liên kết và thay bằng lực X2 như hình 6.13b

a) b)

Hình 6.13

 Đối với liên kết thừa là liên kết đàn hồi hoặc các liên kết thanh đàn hồi (thanh

có độ cứng hữu hạn) và tải trọng không tác dụng trên thanh ta quy ước chỉ được phép cắt và thay thế bằng cặp lực Xk ngược chiều nhau mà không được phép loại bỏ liên kết

 Hình 6.14a là hệ có liên kết thanh CD cố độ cứng EA là thanh đàn hồi ta quy ước chỉ cắt và thay thế bằng cặp lực X1 ngược chiều nhau như hình 6.14b

a) b) c) d)

Hình 6.14

 Hình 6.14c là hệ có liên kết đàn hồi tại B theo phương đứng ta quy ước chỉ cắt

và thay thế bằng cặp lực X1 ngược chiều nhau như hình 6.14d Liên kết tại B theo phương ngang là liên kết cứng không có chuyển vị cưỡng bức ta loại bỏ liên kết và thay bằng lực X2

Ví dụ ta xét một hệ (hình 6.15a) chịu các nguyên nhân như: Tải trọng P (gồm các lực tác dụng: lực tập trung P, mômen tập trung M, lực phân bố q), thay đổi nhiệt độ t, chuyển vị cưỡng bức gối tựa Z và chế tạo không chính xác ) Ta chọn được hệ cơ bản như hình 6.15b

a) b)

Hình 6.15 Trong giáo trình này ta giới hạn ở những hệ kết cấu thỏa mãn nguyên lý cộng tác dụng Với những hệ này phương trình chính tắc thứ k có thể viết dưới dạng

              (6.8) Với hệ đã cho có bậc siêu tĩnh là n, ta có hệ phương trình chính tắc đầy đủ như sau:

Các hệ số và các số hạng tự do của hệ phương trình (6.9) là các chuyển vị, do đó

để xác định chúng ta vận dụng các công thức xác định chuyển vị đã học ở chương trước

Đối với những trường hợp có thể áp dụng cách nhân biểu đồ Vêrêxaghin ta có :

thứ nguyên X k =1 gây ra trong HCB

M m;  Q m ; N m: Là các biểu đồ mômen uốn, lực cắt, lực dọc do riêng lực không

thứ nguyên X m =1 gây ra trong HCB

Trong đó M P0 ; Q P0 ; N P0 ; R jP: Là các biểu thức của mômen uốn, lực cắt, lực dọc

và phản lực gối tựa tại gối đàn hồi thứ j do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản

Trong trường hợp có thể nhân được biểu đồ ta có:

.

k ik i i

N



(6.17) Trong đó:

Dấu tổng được lấy với số thanh có chiều dài chế tạo không chính xác

- Chuyển vị gối tựa

kZ

 là chuyển vị có vị trí và phương tương ứng với lực Xk do chuyển vị cưỡng bức Z tại liên kết tựa gây ra trong hệ cơ bản Khi chọn hệ cơ bản là tĩnh định nguyên nhân này không gây ra nội lực và phản lực trong hệ cơ bản nên ta có công thức xác định kZ như sau:

Z - Chuyển vị cưỡng bức cho biết tại liên kết thứ j của hệ siêu tĩnh

Dấu tổng được lấy với số liên kết có chuyển vị cưỡng bức

Sau khi xác định được các hệ số và các số hạng tự do ta thay vào hệ phương trình chính tắc và giải hệ phương trình tìm được các ẩn số Xi

e) Cách xác định nội lực

- Cách tính trực tiếp

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc ta tìm được các giá trị của Xi, ta xem các lực này như ngoại lực tác dụng lên hệ cơ bản Lúc này có thể thay việc tính nội lực, biến dạng trên hệ siêu tĩnh bằng cách tính hệ cơ bản chịu các nguyên nhân bên ngoài

và các lực Xi đồng thời tác dụng

- Cách tính theo nguyên lý cộng tác dụng

Giả sử cần tính đại lượng S tại một vị trí bất kỳ của hệ Theo cách tính đại lượng

S nói trên ta thay việc tính đại lượng S trong hệ siêu tĩnh bằng cách tính đại lượng S trong hệ cơ bản nhưng do các nguyên nhân bên ngoài và các lực Xi cùng đồng thời tác dụng gây ra

tự ta có:

1 1 2 2 3 3 n n ( )P ( )t ( ) ( )Z

S  S X  S X  S X   S X S S S S (6.22) Trong đó:

 S k là biểu đồ của đại lượng S chỉ do lực Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản

Các đại lượng S trong (6.21) và (6.22) áp dụng cho mọi trường hợp, nếu muốn tìm mômen uốn hay chuyển vị y ta chỉ cần thay thế ký hiệu S bằng M hay y

Nếu đại lượng S chỉ là phản lực hoặc nội lực (không phải chuyển vị) và hệ cơ bản là tĩnh định thì nhiệt độ, chế tạo không chính xác và lún gối tựa không gây ra nội lực và phản lực trong hệ cơ bản nên các đại lượng  0   0   0 

( )t , ( ) , ( )Z

S S S bằng không Cách dùng nguyên lý cộng tác dụng có lợi khi đã có sẵn các trạng thái đơn vị Đối với dầm khung sẽ phát huy hiệu quả tốt nhất

6.3.Ví dụ áp dụng

6.3.1 Dầm khung siêu tĩnh chịu tải trọng

Đối với hệ siêu tĩnh chịu tải nếu ta chấp nhận giả thiết bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng dọc và biến dạng trượt so với biến dạng uốn khi tính chuyển vị thì công thức tính các hệ số (6.12) và số tự do (6.14) như sau:

  

   

0 0

X =1 2

6

6

6 6

12

84

9

 Bước 2: Chọn hệ cơ bản: Có nhiều hệ cơ bản, ta chọn hệ cơ bản như hình 6.16b

 Bước 3: Hệ phương trình chính tắc: Hệ có bậc siêu tĩnh bằng 2 nên có hệ hai phương trình chính tắc

0 0

P P

 Bước 4: Xác định các hệ số, số hạng tự do và giải hệ phương trình

Đây là hệ dầm khung, để xác định được các hệ số và số hạng tự do ta nhận thấy

có thể dùng cách nhân biểu đồ Vêrêxaghin theo công thức (6.23) thì:

Như vậy ta phải vẽ các biểu đồ M1, M2 và M P0

Biểu đồ M do riêng X1 1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.17a)

Biểu đồ M do riêng X2 2=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.17b)

P

q

12 12

46,36

19,82 19,82

0,97 6,27

17,03

5,03

(N p )

6,27 0,97

6,27

Thay vào hệ phương trình ta có:

1 2





C D

P

N C F

N D T

Ví dụ 6.3: Vẽ biểu đồ mômen cho hệ siêu tĩnh chịu tải như hình vẽ 6.20a bằng

phương pháp lực Cho biết: P=6kN, q=2kN/m, M=12kN.m, EI=const

6 P

0 0

P P

 Bước 4: Xác định các hệ số, số hạng tự do và giải hệ phương trình

Đây là hệ dầm khung, để xác định được các hệ số và số hạng tự do ta nhận thấy

có thể dùng cách nhân biểu đồ Vêrêxaghin theo công thức (6.23) thì:

Như vậy ta phải vẽ các biểu đồ M1, M2 và MP0

Biểu đồ M1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.21a)

Biểu đồ M2 do riêng X2=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.21b)

Biểu đồ MP0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.21c)

a)

b)

c)

Hình 6.21 Xác định các hệ số và số hạng tự do:

3,3

0,3 6

6

9 9

Như vậy ta phải vẽ các biểu đồ M1 và M P0

Biểu đồ M1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.24a)

Biểu đồ MP0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.24b)

a) b)

Hình 6.24 Xác định hệ số và số hạng tự do:

D C

M

c P

q

l=6m

M P

q

EI EI

EI

l=6m

M P

q

EI

EA EI

X 1

X 1 EA

HCB

Biểu đồ lực dọc hình 6.26b

Ví dụ 6.5: Vẽ biểu đồ mômen cho hệ như hình vẽ 6.28a bằng phương pháp lực

Cho biết: P=6kN, q=2kN/m, M=12kN.m, h=6m, l=6m, hệ số đàn hồi c=3EI/l 3

Để tính hệ siêu tĩnh có liên kết đàn hồi bằng phương pháp lực ta có thể sử dụng các cách sau:

 Thay liên kết đàn hồi bằng một thanh đàn hồi có chiều dài quy đổi và độ cứng quy đổi

 Tính trực tiếp bằng cách cắt liên kết đàn hồi để được HCB

 Tính trực tiếp bằng cách loại bỏ liên kết không đàn hồi để được HCB

a) b) c)

Hình 6.28

a Cách giải thứ nhất: Thay liên kết đàn hồi bằng thanh đàn hồi có độ dài là l qd

 Với liên kết đàn hồi tại gối E có N=c; =1 Do đó, độ cứng đơn vị tương đương

thay thế là: EA qd =EA; EA/l qd =c Chọn l qd =6m ta có:

X =1 1

X =1 1

6 6

36 48

45

9 3

9

(M 1 )X 1

 Vẽ biểu đồ M1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.29a)

 Vẽ biểu đồ MP0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.29b)

a) b)

Hình 6.29 Xác định hệ số và số hạng tự do:

 Bước 5: Vẽ biểu đồ mômen

Biểu đồ  M1 X1 hình 6.30a Biểu đồ mômen      0

M

c P

 Bước 4: Xác định hệ số, số hạng tự do và giải hệ phương trình:

Vẽ biểu đồ M1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.32a)

Vẽ biểu đồ M P0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.32b)

45

9 3

l=6m

M P

c Cách giải thứ ba: Tính trực tiếp, loại bỏ liên kết không đàn hồi:

 Bước 4: Xác định hệ số, số hạng tự do và giải hệ phương trình:

Vẽ biểu đồ M1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.35a)

Vẽ biểu đồ M P0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.35b)

Xác định hệ số và số hạng tự do:

X =1 1

R =1/6 11 39

 Bước 5: Vẽ biểu đồ mômen

Biểu đồ  M1 X1 hình 6.36a Biểu đồ mômen      0

Ví dụ 6.6: Vẽ biểu đồ mômen cho hệ như hình vẽ 6.37a bằng phương pháp lực Cho

biết: P=6kN, q=2kN/m, M=12kN.m, h=6m, l=6m, hệ số đàn hồi c=3EI/l

a Cách giải thứ nhất: Thay liên kết đàn hồi bằng thanh đàn hồi có độ dài là l qd

 Với liên kết đàn hồi tại gối E có M=c; =1 Do đó, chọn độ cứng thanh

EI

EI EI

6

36 48

 Hệ kết cấu cho trên hình 6.37a được thay thế về hệ kết cấu hình 6.37b

 Tính hệ kết cấu cho trên hình 6.37b

Vẽ biểu đồ M do riêng X1 1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.38b)

Vẽ biểu đồ M P0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.38c)

c A

X =1 1

A

M p

(M 1 )X 1 61,8

61,8

61,8

22,8 13,8

 Bước 4: Xác định hệ số, số hạng tự do và giải hệ phương trình:

Vẽ biểu đồ M do riêng X1 1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.41a)

A A

X =1 1 6

6

M 1

36 48

X =1 1

61,8

61,8

22,8 13,8

25,2

9

(M p ) (M 1 )X 1

Vẽ biểu đồ MP0 do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.41b)

Hình 6.41 Xác định hệ số và số hạng tự do:

6.3.2 Hệ siêu tĩnh chịu nhiệt độ

Hệ siêu tĩnh chịu nhiệt độ thì công thức tính các hệ số (6.12) và số hạng tự do (6.14) như sau:

 Bước 4: Xác định hệ số, số hạng tự do và giải hệ phương trình:

Vẽ biểu đồ M1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.44a)

Vẽ biểu đồ N1 do riêng X1=1 gây ra trong hệ cơ bản (hình 6.44b)

Xác định hệ số và số hạng tự do: