Bài giảng đạo hàm và vi phân

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNCác nội dung: Các khái niệm cơ bản Đạo hàm riêng Khả vi và vi phân Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn Đạo hàm theo hướng vector gradient Công thức taylormaclaurintCực trị hàm nhiều biến

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

• CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI

• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

• CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT

• CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA

CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• §1: Các khái niệm cơ bản

• §2: Đạo hàm riêng

• §3: Khả vi và Vi phân

• §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp

• §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn

• §6: Đạo hàm theo hướng – Vecto gradient

• §7: Công thức Taylor – Maclaurint

• §8: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị

có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng

§1 : Các khái niệm cơ bản

Miền (Tập) xác định của hàm là tất cả các giá trị

của (x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa

Miền (Tập) giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm

§1 : Các khái niệm cơ bản

 Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt cong S, khácvới đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong.

Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D Đồ thị của f làtập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x,y)D, z= f(x, y)

§1 : Các khái niệm cơ bản

§1 : Các khái niệm cơ bản

• M0

r

B(M0,r)

Điểm trong : M1 gọi là điểm

trong của D nếu tồn tại ít

nhất r1 > 0 sao cho r1- lân

cận của M1 là B(M1,r1) nằm

hoàn toàn trong D

Điểm biên : M2 gọi là

điểm biên của D nếu với

mọi r2 > 0, hình cầu mở

B(M2,r2) chứa những điểm

thuộc D và những điểm

không thuộc D

Cho tập D và 1 điểm M thuộc R2 Ta định nghĩa 2

loại điểm nhƣ sau :

§1 : Các khái niệm cơ bản

• M1

• M2

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Tập D đƣợc gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biêncủa nó Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D đƣợc gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó,mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất

kỳ điểm biên nào

§1 : Các khái niệm cơ bản

Ví dụ : Cho D là phần hình cầu

D  x y z  R x  y  z 

Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó

D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong Vậy D là tập mở

B

A

Biên của D là 3 đoạn OA,

OB, AB Miền D không

chứa đoạn AB tức là D

không chứa mọi điểm biên

nên D không là tập đóng

Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm

biên thuộc đoạn OA, OB

Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, đường tròn này chứa miền D tức là

D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở

§1 : Các khái niệm cơ bản

Ví dụ : Trong R2 cho miền D

( , ) : 3, 0, 0

D  x y  R x  y x  y 

§1 : Các khái niệm cơ bản

Giới hạn hàm : Hàm f(x,y) với miền xác định D đƣợc gọi là có giới hạn bằng L khi M(x,y) dần đến M0(x0,y0),

Định nghĩa này tương tự định nghĩa giới hạn hàm 1

biến: Khoảng cách giữa M và M 0 giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần

§1 : Các khái niệm cơ bản

Ý nghĩa: Khi khoảng cách giữa M và M 0 giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần

§1 : Các khái niệm cơ bản

Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và

Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc miền D

Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục

Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ

Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục

§2 : Đạo hàm riêng

0

0 0

Định nghĩa đạo hàm riêng:

Cho hàm 2 biến f(x,y), 1 điểm (x0,y0) thuộc miềnxác định của hàm f

Tương tự, ta có định nghĩa đhr của hàm f theo biến y

Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến theo 1 biến nào đó, ta coi các biến khác là hằng số

Nếu f là hàm nhiều hơn 2 biến, ta cũng định nghĩa

đạo hàm riêng tương tự

§2 : Đạo hàm riêng

Ví dụ: Trong những ngày nóng, ta sẽ cảm thấynóng hơn khi độ ẩm trong không khí thấp (khôhanh) và mát mẻ hơn khi độ ẩm trong không khícao hơn

 , 

I  f T H

Người ta đặt ra khái niệm chỉ số nhiệt (Kí hiệu là I) để mô tả sự kết hợp giữa nhiệt độ thực tế (T) và độ ẩm trong không khí (H) Vậy I là hàm

Đặt : g T   f T ,70

, , thì đạo hàm của g khi T=960F

là tốc độ thay đổi của I khi T=960F=35,60C

Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ là 35.60C và độ ẩm

là 70% thì chỉ số nhiệt tăng khoảng cho mỗi phần trăm độ ẩm tăng lên

§2 : Đạo hàm riêng

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

Tương tự: f’ y (a,b) là hệ số góc của tiếp tuyến T 2 tức

là hệ số góc của mặt S theo phương Oy tại P

Hệ số góc của tiếp tuyến

với đường cong C1 tại

,và vẽ hình minh họa

§2 : Đạo hàm riêng

0

( ,0) ( ,0) ( ,0) 0 li m 0

§2 : Đạo hàm riêng

Định lý Schwarz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm

riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mởchứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)

Ghi chú :

1 Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý

Schwarz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm

2 Định lý Schwarz còn đúng cho các đạo hàm riêng

từ cấp 3 trở lên Tức là các đạo hàm riêng hỗn

hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo các biến

§2 : Đạo hàm riêng

Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhaunếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau

(không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đạo hàm riêng cấp 2