bài giảng đạo hàm và vi phân

Cách tính đạo hàm1.Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm và các quy tắctổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.. 2.Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng đ

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.

Bài toán: Vận động viên chạy và bơi phối hợp.

Hỏi: chạy bao xa thì bắt đầu bơi sẽ về đích nhanh nhất?

4m/s

1.5m/s 200m

50m

ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂMCho y = f(x) xác định trong (a, b)  x0, xét tỷ số

Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x

→x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0

Đặt

0

0 0

( 0)

( )

x x x

Đạo hàm trái tại x0:

0

0 0

( 0 )

( )

x x x

( 0 )

( )

x x x

Cách tính đạo hàm

1.Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp)

2.Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa

3.Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính bằng định nghĩa

4.Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’

Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra

, 0 ( )



1 sin

x

x

   x 0 0 (0) 0

f 

x

x x

sin cos 1, 0 ( )

Nếu tồn tại f ’(x0)  0, xo(a, b) thì tại y0 =

f(x0), f 1 có đạo hàm và

Ta thường viết:

Đạo hàm các hàm lượng giác ngược

Bảng công thức đạo hàm các hàm mới

1

1 arccot

cosh

1 coth

Đạo hàm hàm cho theo tham số

Ví dụ

( ) ( )

Ví dụ

1 ( ) arctan

x x





1 (1)

2

f 

Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản

Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản

Công thức đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao của hàm tham số

Ví dụ

2

( ) 2 ( )

t t

 





Cách 2:

  3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Khi đó đại lượng:

gọi là vi phân của f tại x0

f khả vi tại x0  f có đạo hàm tại x0

Cách viết thông thường:

Cách viết khác của đạo

hàm:

2.Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0.

4 Cạnh của khối lập phương tăng lên 1cm thì

vi phân thể tích là 12cm3 Tìm độ dài ban đầucủa cạnh

Gọi x là cạnh khối lập phương và V là thể tích.

Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân

của y theo x không đổi

2 Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1.

 arctan2 t   cos arctan  2 t dt 

1.Tìm y’(x) với y xác định từ pt :

x  y  ()Lấy đạo hàm pt () theo x



y

3.Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt:

2.Tìm đạo hàm cấp 2 tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt:

Lấy đạo hàm (2) theo x

2.Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x

cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)