Bài tập tổng hợp nón- trụ -cầu ( mức độ 3)

Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh 2a nên bán kính đáy, chiều cao của hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là a.... [2H2-4.1-3] [BTN 164]

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 4.1 Bài tập tổng hợp nón-trụ-cầu.

MỨC ĐỘ 3

Câu 1 [2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn

đường kính AB như hình vẽ Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AB CD, Biết

AB AD Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:

A

B I

A 56

3

3

3

3

Hướng dẫn giải Chọn D.

Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R 2 ; hình chữ

nhật ABCD tạo thành hình trụ có r 2;h6

 Thể tích nửa khối cầu là 3

1

V  R   Thể tích khối trụ là 2

V r h 

88 3

Câu 2 [2H2-4.1-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a

Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ và hai đáy của hình trụ Tỉ số thể tích của khối trụ và khối cầu là

A 4

1

3

2.

Hướng dẫn giải Chọn D.

O

Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh 2a nên bán kính đáy, chiều cao của hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là a

Thể tích khối trụ là: V T h .R 2 2 .a  3

Tỉ số thể tích là 3

2

T C

V

.

Câu 3 [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng đi

qua trục SO của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh bên độ dài bằng a Tính diện tích

của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho

A 23 2 2 a  2 B 4 2

3a . C 23 2 2 a  2 D 2 a 2

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta thấy SIH SAO g g - 

SAAO 



 Vì IO IH  (1)

Vì SAB vuông cân tại S và O là trung điểm của AB  2

AB a

SOAO  (2)

Từ (1) và (2) 

2 2

2 2

a

IO IO



2

a

Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón là S 4  IO2 23 2 2 a2

Câu 4 [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn

O R;  , O R;  với OO R 3 và một hình nón có đỉnh Ovà đáy là hình tròn O R Kí hiệu; 

1, 2

S S lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón Tính 1

2

S k S

A 1

3

2

Hướng dẫn giải Chọn D.

1 2 3 2 3

S πRRπRR R πRRπRR

S πRRπRR R R πRRπRR Vậy 1

2

3



S

Câu 5 [2H2-4.1-3] [BTN 164] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp

hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của

quả bóng bàn Gọi S và tổng diện tích của ba quả bóng bàn, 1 S là diện tích xung quanh của 2

hình trụ Tỉ số 1

2

S

S bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi R là bán kính của quả bóng

Diện tích của một quả bóng là S4  R2, suy ra 2

1 3.4

Chiều cao của chiếc hộp hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h3.2r

Suy ra S2 2R.3.2R Do đó 1

2 1

S

Câu 6 [2H2-4.1-3] [BTN 163] Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ Diện tích xung

quanh của phễu là:

10cm 8cm

17cm

A S xq 360 cm2 B S xq 960 cm2 C S xq 296 cm2 D S xq 424 cm2

Hướng dẫn giải Chọn C.

2

2 .8.10 8.17 296

xq

Câu 7 [2H2-4.1-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán

kính đáy bằng r2m, chiều cao h6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc

gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác Tính V

A 32  3

9

V   m B 32  3

3

V   m C 32 3

3

V  m D 32  2

9

V   m

Hướng dẫn giải Chọn D.

2-x x

h h'

A B

O S

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r , ' h 0x2;0h6



Thể tích khối trụ: V x h2 x26 3 x 6x2 3x3

2

( ) 12 9

V x  x x , ( ) 0 0 4

3

V x   x  x

Khi đó ta có thể suy ra được với 4

3

x  thì V đạt giá trị lớn nhất bằng 32  2

9

V   m

Câu 8 [2H2-4.1-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều

cạnh bằng 2 Tính thể tích của hình tròn xoay có được khi quay hình lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó

Hướng dẫn giải Chọn C.

Thể tích V của hình tròn xoay bao gồm thể tích của khối trụ ACFD và 2 khối nón BAC DEF,

Chiều cao h của khối trụ là h  2

Chiều cao h của khối nón 2 1

2

Thể tích của khối tròn xoay :

2

3

 3 22 2  3 1 82

3

Câu 9 [2H2-4.1-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn

O R và ,  O R ; ',  OO'a 3 Một hình nón có đỉnh là 'O và đáy là hình tròn O R Gọi ,  S1

, S lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón Tính tỉ số 2 1

2

S

A 1

2 3

S

1 2

1 3

S

1 2 3

S

3 3

S

Hướng dẫn giải Chọn C.

1

2

3 2

'





Câu 10 [2H2-4.1-3] [THPT Thuận Thành] Cho hình nón tròn xoay  N có đỉnh S và đáy là hình

tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng  P đường cao , SO h Điểm O thay đổi trên đoạn SO sao cho SO x 0x h  Hình trụ tròn xoay  T có đáy thứ nhất là hình tròn tâm

O bán kính r 0 r r nằm trên mặt phẳng  P đáy thứ hai là hình tròn tâm , O bán kính

r nằm trên mặt phẳng  Q ,  Q vuông góc với SO tại O (đường tròn đáy thứ hai của  T

là giao tuyến của  Q với mặt xung quanh của  N . Hãy xác định giá trị của x để thể tích

phần không gian nằm phía trong  N nhưng phía ngoài của  T đạt giá trị nhỏ nhất.

A 1

3

2

3

4

x h

Hướng dẫn giải Chọn C.

lt

V = -h x r p ¢

Áp dụng Talet vào DSOAcó O B OA¢ //

r

lt r2

h

p

Để thể tích phần trong ( )N ngoài ( )T nhỏ nhất.

lt

V

Þ : lớn nhất Þ (h x x- ) 2 lớn nhất

Xét hàm số y= f x( ) (= -h x x) 2

( )

2

0

3

x

x

-é = ê

¢= Þ ê

ê = ê

x

h

r' r

O'

O

B

A

S

Câu 11 [2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn

đường kính AB như hình vẽ Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AB CD, Biết

AB AD Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:

A

B I

A 56

3

3

3

3

Hướng dẫn giải Chọn D.

Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R 2 ; hình chữ

nhật ABCD tạo thành hình trụ có r 2;h6

 Thể tích nửa khối cầu là 1 3

V  R   Thể tích khối trụ là V2 r h2 24

88 3

Câu 12 [2H2-4.1-3] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Cho hình trụ có bán kính đáy r nội1

tiếp trong hình cầu bán kính r không đổi Xác định bán kính r theo 1 r để hình trụ có thể tích

lớn nhất

A 1 6

6

3

3

2

r  r

Hướng dẫn giải Chọn B.

Chiều cao hình trụ 2 2

1

h IH  r  r Thể tích khối trụ V 2r12 r2 r12 0r1r  

Xét f r 1 r12 r2 r12 0r1r

1

3 1

r r r

r



3

Max f r f  

(Có thể thử chọn vào   )

Câu 13 [2H2-4.1-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước

vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng

ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi S là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, 1 S là diện tích 2

xung quanh của hình trụ Tỉ số 1

2

S

S bằng :

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi R là bán kính quả bóng bàn thì hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao h6R nên

1

2

1

Câu 14 [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng đi

qua trục SO của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh bên độ dài bằng a Tính diện tích

của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho

A 23 2 2 a  2 B 4 2

3a . C 23 2 2 a  2 D 2 a 2

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta thấy SIH SAO g g - 

SAAO 



 Vì IO IH  (1)

Vì SAB vuông cân tại S và O là trung điểm của AB  2

AB a

SOAO  (2)

Từ (1) và (2) 

2 2

2 2

a

IO IO



2

a

Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón là S 4  IO2 23 2 2 a2

Câu 15 [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn

O R;  , O R;  với OO R 3 và một hình nón có đỉnh Ovà đáy là hình tròn O R Kí hiệu; 

1, 2

S S lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón Tính 1

2

S k S

A 1

3

2

Hướng dẫn giải Chọn D.

1 2 3 2 3

S πRRπRR R πRRπRR

S πRRπRR R R πRRπRR Vậy 1

2

3



S

Câu 16 [2H2-4.1-3] [BTN 164] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp

hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn Gọi S và tổng diện tích của ba quả bóng bàn, 1 S là diện tích xung quanh của 2

hình trụ Tỉ số 1

2

S

S bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi R là bán kính của quả bóng

Diện tích của một quả bóng là S4  R2, suy ra S1 3.4R2

Chiều cao của chiếc hộp hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h3.2r

Suy ra S2 2R.3.2R Do đó 1

2 1

S

Câu 17 [2H2-4.1-3] [BTN 163] Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ Diện tích xung

quanh của phễu là:

10cm 8cm

17cm

A S xq 360 cm2 B S xq 960 cm2 C S xq 296 cm2 D S xq 424 cm2

Hướng dẫn giải Chọn C.

2

2 .8.10 8.17 296

xq

Câu 18 [2H2-4.1-3] [BTN 161] Có một hộp nhựa hình lập phương, người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng

đá Tính tỉ số 1

2

V

V , trong đó V là thể tích của quả bóng đá, 1 V là thể tích của chiếc hộp đựng2

bóng Biết các mặt của hình lập phương tiếp xúc với quả bóng

A 1

V V



V V





C 1

V V



V V





Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R

Ta được

Thể tích hình lập phương là V2 8R3, thể tích quả bóng là

3 1 1

2

4

V R V

V

Câu 19 [2H2-4.1-3] [THPT Kim Liên-HN] Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 2 17 nội tiếp trong

một hình cầu Biết thể tích khối nón bằng 5 2

4 Tính thể tích khối cầu.

A 2

3

p

3

p

3

p

Hướng dẫn giải Chọn B.

Thiết diện qua trục như hình sau:

Vì góc ở đỉnh là ( )

( )

2 2

;

3 6

MA u

d M d

u

uuur r r

giác đều

AD=BC =DC Þ DC= AD

2

1

3

V = pÞ p DC AD= p

3

1 1

3 3p AD p AD

Từ đó: Bán kính khối cầu là 2 2

3

R= AD= Thể tích khối cầu là: 4 3 32

C

V = p R = p

Câu 20. [2H2-4.1-3][THPT Chuyên Thái Nguyên] Thiết diện qua trục của một hình nón là tam

giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón Tính bán kính của mặt cầu.

2 .

Hướng dẫn giải Chọn D.

 Vì thiết diện qua trụ là tam giác đều cạnh bằng 2 nên hình nón có bán kính r 1, độ dài đường sinh l 2

 Diện tích toàn phần của hình nón: S tp r l r   3

 Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích S mc 4R2

 Theo đề bài thì 4 2 3 3

2

Câu 21 [2H2-4.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có AB a ,

2

AB  a Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C    Biết rằng một mặt đáy của khối trụ nằm trên mặt phẳng ABC 

A

3 3 3

a

3

3

a

3

9

a

3 3 9

a

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi F, G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm ABC

ABB

 vuông tại B, có: BB AB2  AB2  4a2 a2  3a

ABC

AF  a AG a Gọi h, R lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ

Ta có h BB  3a, 3

3

R a GA Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp ABC A B C   là:

3

3

a

V h R  a a  

Câu 22 [2H2-4.1-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Trong mặt phẳng  P cho hình vuông MNPQ có

cạnh bằng 7 và hình tròn  C có tâm M , đường kính bằng 14 Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng PM

A 343 7 2

6

6

C 343 4 3 2 

6

V





6

V





Hướng dẫn giải Chọn C.

.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó ta có thể tích khối tròn xoay gồm chỏm cầu sinh bởi

cung lớn NQ khi quay quanh Ox và khối nón đỉnh P , đường kính đáy là NQ

Vậy thể tích được tính bằng:

7

2

7 2 2

343 4 3 2

1 7 2 7 2



