Bài tập trắc nghiệm khối đa diện: NÓN- TRỤ- CẦU

Hãy tính diện tích xung quang của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'.. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đường

Chương II KHỐI ĐA DIỆN

1 Một hình nón có đường cao bằng 20 cm, bán kính đáy r = 25cm.

Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

)5 41

A  B)25 41 C)75 41 D)125 41

Giải

a) S xq rl

Ta xét tam giác vuông SOA:

 

2

400 625 1025

1025 5 41 25 125 41

xq

SA SO OA

2 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Hãy tính diện tích xung quang của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'.

A)

2 5

4

a



B)

2 5 2

a



C)

2 5 8

a

Giải

Khối nón có chiều cao bằng a, bán kính 2

a

r 

Do đó

l a    

 

2

xq

S rl  

(đvdt)

3 Một khối trụ có bán kính đáy bằng r có thiết diện qua trục là một hình vuông.

a) Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.

A) r2 B) 8 r 2 C) 4 r 2 D) 2 r 2

Giải

a) Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên đường sinh của hình trụ chính là đường cao và bằng 2r Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là S xq 2rl 4r2(đvdt)

4 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h50cm.

Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Giải

Ta có: S xq 2rl2 50.50 5000  cm2

5 Một hình nón xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a a) Tính diện tích toàn phần của hình nón đó

A)

2

4

a



B)

2 2

a



C)

2 6

a



D)

2 8

a



Giải

a) Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân ASB cạnh SA SB a  nên hình nón có

Đường sinh là SA SB a l   , bán kính đáy

2 2

a

r 

, chiều cao 2

2

a

SO h r  

2

r

xq

S  l  

(đvdt)

Gọi S là diện tích đáy ta có

2 2 r 2

a

S  

 

2 1

S S S    

(đvdt)

6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h = 3 và góc SAB   60O Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.

Giải

Đặt r OA SO h SA SB SC l ,  ,    là đường sinh của hình nón Gọi I là trung điểm của đoạn

AB Ta có SOA vuông tại O: SA2 SO2 OA2  l2 r2h2  1

2

2

r

cos 2

r l 

1  l h 2 cosl   h l 1 2cos 

2 2

1 2cos

h





2

2

1 2cos

xq





7 Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD có cạnh a, nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó

A)

3

4

a



B)

3

2

a



C)

3

16

a



D)

3

8

a



Giải

Gọi B' là hình chiếu của B xuống mặt đáy dưới

Mà DCBC DC B C'

=> B'D là đường kính của đường tròn đáy và BCB  ' 450

* BCB' vuông cân tại B'

2

2

a

CB BB

* DCB' là tam giác vuông tại C

2 2

'

B D a

* Diện tích xung quanh của hình trụ:

2 3

2 ' '

2

xq

a

S   DO BB 

(yêu cầu bài toán)

3

16

a

V  DO BB  

(đvtt)

8 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

A)

2 2 2

4

a b c B) a2b2c2

C)

2 2 2 6

a b c

D)

2 2 2 2

a b c

Giải

Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ta có

' OB' OC' OD' R

OA OB OC OD OA       

Vậy O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của 3 hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

* Tam giác vuông ABC: AC a 2b2

* Tam giác vuông A'AC:

2 2 2 2

'

A C a c b

2 2 2

'

2 2 2 '

A C a b c

9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S.

A)

2

4

a

B)

2 2

a

C)

2 6

a

D)

2 8

a

Giải

Gọi O là tâm của hình vuông, ABCD ta có:

2 2

a

OS OA OB OC OD     R

Vậy O cách đều năm điểm S, A, B, C, D

Nên O là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và

2 2

a

R OA 

10 Cho hình lăng trụ tam giác đều có 9 cạnh đều bằng a.Mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ Tính diện tích của mặt cầu nói trên.

A)

2

7

6

a

S  

B)

2 7 3

a

S  

C)

2 7 9

a

S  

D)

2 7 12

a

S  

Giải

a) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đều ABC và A'B'C' Nên đường thẳng GG'

là trục của hai tam giác đó

Gọi O là trung điểm của GG' thì ta có

OA OB OC OA   OB OC R

Do đó O là tâm mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ

Ta gọi M là trung điểm của BC thì

3 2

a

AM 

,

Xét tam giác vuông OGA: OA2 OG2GA2

OA      OA 

 

Vậy bán kính mặt cầu

21 6

a

R OA 

(đvđd)

Diện tích mặt cầu

2

2 7a

3 R 4

12

S    

2 7 3

a

S  

(đvdt)

11 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A)

6

2

a

B)

6 4

Giải

b) Gọi   là mặt phẳng trung trực của cạnh AB,   cắt AB tại trung

điểm M và   cắt AH tại O

Xét hai tam giác vuông AMO và AHB đồng dạng:

2

6 3

a

AO

AB AH  a a   

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm O nằm trên trục AH và

6 4

a

R OA 

12 Cho hình vuông cạnh a, Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy

ngoại tiếp hình vuông ABCD và có chiều cao 2

a

h 

A) a2 2

B)

2 2 4

a



C)

2 2 2

a



D)

2 2 8

a



Giải

Ta có chu vi đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

2

a

a

Suy ra:

2 2

xq

S   h a  

(đvdt)

13 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên là a Góc giữa mặt bên và đáy là  Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp trong hình chóp theo a và 

3

3

tan

9 4 tan 2

a





3

3

tan

4 tan 2

a





3

3

tan

3 4 tan 2

a





3

3

tan

6 4 tan 2

a





Giải

Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

 ,

Đường cao của hình nón SO = h Bán kính đường tròn đáy là OM r AO, 2r Đường sinh

SM l

Ta có h OM .tan r.tan (1)

SA SO OA  a h r (2)

4r r tan  a r 4 tan  a

tan

l

c s   



2 2

xq

a





3

3

tan

3 4 tan 2

a







14 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC 900 Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

A)

2

2 2

4

a

2

2 2 2

a

2

2 2

2 2

a

a  b D)

2

2 2

2 4

a

a  b

Giải

Hạ AH BC H là trung điểm của BC (do ABC cân)

Do DBC ABC AH DBC

Vậy AH là trục của tam giác vuông DBC

Do đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên AH và ta có

OA OB OC OD R   

Do đó R cũng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có

ABC

a b a b

Xét ABC :

2

4

b

AH  AC  CH  a 

a  b a  b

ABC

a b b a b

S  BC AH  b   

R

15 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó.

A) 7 a 2

B)

2 7 6

a



C)

2 7 3

a



D)

2 7 9

a



Giải

Gọi J và I' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đáy lăng trụ

Như vậy I và I' đồng thời cũng là tâm của hai đường tròn nội tiếp các

tam giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường

thẳng II'

Ta suy ra trung điểm O của đoạn II' chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 6 đỉnh của lăng trụ

đã cho Mặt cầu này có bán kính r OA OB OC OA    'OB'OC'

Ta có:

O

a a

OA AI I   

Vậy

6

2 3

r OA  

Từ đó ta tính được diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của lăng trụ là

4 r 4

S       

16 Cho hình cầu đường kính AA' = 2r Gọi H là một điểm trên đoạn AA' sao cho

4r 3

AH 

Mặt phẳng   qua H và vuông góc với AA' cắt hình cầu theo đường tròn (C).Gọi BCD

là tam giác đều nội tiếp trong (C) Hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A'.BCD

A)

3

2 3

27

r

B)

3

4 3 27

r

C)

3 3 27

r

D)

3

8 3 27

r

Giải

Theo giả thiết ta có

4 3

r

AH 

Ta suy ra 3

r

OH 

Gọi r' là bán kính của đường tròn (C) ta có

2 2

'

r

r r  OH r  

Vì BCD là tam giác đều nên ta có

2 6 ' 3

3

BC r  r

Diện tích tam giác đều BCD là

2 3 24 2 3 2 2 3

(đvdt) Thể tích hình chóp A.BCD là

2 3

(đvtt) Thể tích hình chóp A'.BCD là:

(đvtt)

17 Cho hình cầu tâm O, bán kính R, đường kính SS' Một mặt phẳng vuông góc với SS' cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H, cho tam giác ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này, cho SH = x.Xác định x để SABC là một tứ diện đều, trong trường hợp này hãy tính thể tích của nó

A)

4

3

R

B)

2 3

R

C)

8 3

R

D) 3

R

Giải

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

HA HB HC SA SB SC

2

SAS SA SH SS Rx

2

SA SB SC Rx

2

AH x R x

(bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )

AB AC BC AH x R x

Lúc đó: S.ABC là tứ diện đều  SA AB

2Rx 3 2x R x 2Rx 3 2x R x

MẶT TRÒN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN

Câu 1 Hình nào sau đây là mặt nón tròn xoay?

A Hình gồm các đường thẳng đi qua một điểm cố định nằm ngoài mp P 

và cắt  P

theo một đường tròn

B Hình gồm các đường thẳng đi qua một điểm cố định và tiếp xúc với một mặt cầu cố định

C Hình gồm các tiếp tuyến của một mặt cầu tại các điểm nằm trên một đường tròn của mặt cầu

D Hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay l quanh đường thẳng cắt l.

Chọn (B)

Câu 2 Cho mặt nón tròn xoay đỉnh O có góc ở đỉnh bằng 600 Một mặt phẳng  P

vuông góc

với trục của mặt nón tại H., biết OH  Khi đó, a  P

cắt mặt nón theo đường tròn có bán kính bằng:

A

2

3

a

B

2 2

a

C

3 2

a

D

3 3

a

Chọn (D) Nếu điểm M nằm trên đường tròn giao tuyến thì OHM là tam giác vuông tại H, và góc

tại đỉnh O bằng 300 Vậy bán kính đường tròn là

.tan 30

3

a

R HM OH 

Câu 3 Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm S sao cho SO2R Hình gồm các tiếp tuyến đi qua S của mặt cầu tạo thành một mặt nón mà góc ở đỉnh bằng:

A 300 B 600 C 900 D 1200

Chọn (B) Nếu M là một tiếp điểm thì tam giác SOM vuông tại M và OM R OS, 2R nên

 300

OSM  Vậy góc ở đỉnh của mặt nón bằng 600

Câu 4 Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm S sao cho SO R 2 Hình gồm các tiếp tuyến

đi qua S của mặt cầu tạo thành một mặt nón mà góc ở đỉnh bằng:

A 300 B 600 C 900 D 1200

Chọn (C) Nếu M là một tiếp điểm thì tam giác SOM vuông tại M và OM R OS, R 2 nên

 450

OSM  Vậy góc ở đỉnh của mặt nón bằng 900

Câu 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Có hay không một mặt nón tròn xoay đi qua

trung điểm ba cạnh AB, BB’, B’C’ và đỉnh của mặt nón là C? Nếu có thì trục của mặt nón là đường thẳng nào?

A Không có B Có, trục là đường thẳng CB

C Có, trục là đường thẳng CB’ D Có, trục là đường thẳng CA’

Chọn (D) Đường thẳng đi qua C và trung điểm các cạnh AB, BB’, B’C’ tạo với đường thẳng

CA’ các góc bằng nhau

Câu 6 Cho hình nón có đường cao OH  và có bán kính đáy bằng R Khi đó, mặt cầu ngoạih tiếp hình nón đó có bán kính bằng:

A

2 2

h R

h



B

2 2 2

h R h



C

2 2 2

h R R



D

2 2

h R R



Chọn (B) Mặt phẳng đi qua OH cắt hình nón theo tam giác cân OMN có đường cao OH  vàh

cạnh đáy MN 2R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN

Câu 7 Cho hình nón có bán kính đáy bằng R, một mp P 

song song với mặt đáy, cắt hình nón

theo đường tròn bán kính R’ Khoảng cách giữa mp P 

và mặt đáy của hình nón bằng h Khi đó,

đường cao của hình nón bằng:

A

'

Rh

R R B '

Rh

R R C '

Rh

R R D '

Rh

R R

Chọn (C) Gọi đường cao của hình nón là h’ thì

'

h





Câu 8 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a Một mặt

nón có SA, SB, SC là những đường sinh thì góc ở đỉnh của mặt nón bằng:

A 900 B 1200 C 600 D 1350

Chọn (C) Gọi SH là đường cao hình chóp S.ABC thì tam giác SHA vuông ở H và

3,

AH a SH   góc ở đỉnh S bằng a 300 Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 600

Câu 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a Hình nón

ngoại tiếp hình chóp đó có góc ở đỉnh bằng:

A 900 B 1200 C 600 D 1350

Chọn (A) Góc ở đỉnh hình nón bằng góc ASC

Câu 10 Cho hình chóp đều S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và một hình nón

ngoại tiếp hình chóp đó Nếu gọi a là góc ở đỉnh của hình nón thì:

A

1

cos

3

a 

B

1 cos

3

a 

C a 1250 D a 1350

Chọn (A) Trục của hình nón là đường cao SH của hình chóp và



2

Nếu SA a  AB BC CA a   2 và

,

AH  SH 

Vậy

SH HSA

SA



Câu 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Khối nón đỉnh A, đáy là đường

tròn đi qua ba điểm A’, B, D có thể tích bằng:

A

3

6

a



B

2 3 8

a



C

3 3 27

a

D

3

27

a



Chọn (D) Tam giác A’BD là tam giác đều cạnh a 2 nên đường tròn ngoại tiếp nó có bán kính

6

3

a

và do đó có diện tích bằng

2 2 3

a

 Ngoài ra đường cao hình nón bằng

3 3

a

Câu 12 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, M là trung điểm AD Xét khối tròn xoay sinh bởi

hình thang ABCM ( cùng các điểm trong của nó ) khi quay quanh đường thẳng AB Thể tích của khối tròn xoay đó bằng:

A

3

3

4

a



B

3 3

a



C

3 7 10

a



D

3 7 12

a



Chọn (D)

Câu 13 Cho tam giác vuông cân ABC với AB AC a  Khi quay tam giác đó ( cùng với phần trong của nó ) quanh đường thẳng đi qua B và song song với AC, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

A

3

2

a



B

3 2 3

a



C

3 3

a



D

3 2 5

a



Chọn (B) Gọi C’ là điểm sao cho ABC’C là hình vuông, đường thẳng đi qua B và song song với

AC là đường thẳng BC’ Khi quay hình vuông quanh BC’, ta được khối trụ có thể tích

3 1

V a Khi quay tam giác BCC’ quanh BC’, ta được khối nón có thể tích

3 2 3

a

V 

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là V V1 2

Câu 14 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, M là trung điểm AD Xét khối tròn xoay sinh bởi tam

giác CDM ( cùng các điểm trong của nó ) khi quay quanh đường thẳng AB Thể tích của khối tròn xoay đó bằng:

A

3

3

4

a



B

3 3

a



C

3 5 12

a



D

3 7 12

a



Chọn (C) Khi quay quanh AB, hình vuông ANCD sinh ra mặt trụ có thể tích V1a3, còn hình

thang AMCB sinh ra hình nón cụt có thể tích

3 2

7 12

a

V  

Thể tích cần tìm bằng V V1 2

Câu 15 Gọi H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông ABCD cạnh a và đường tròn nội tiếp

hình vuông đó Khi quay H quanh đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

A

3

3

a



B

3 2

a



C

3 6

a



D

3 12

a



Chọn (D) Khi quay thì hình vuông ABCD sinh ra khối trụ có thể tích

V   a

đường tròn sinh ra mặt cầu có thể tích

2

4

V    

  Thể tích cần tìm là V V1 2

Câu 16 Gọi H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông ABCD cạnh a và đường tròn nội tiếp

hình vuông đó Khi quay H quanh đường thẳng AC, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

A

3

3

a



B

3 2 1 6

a

C

3 2 3

a



D

3 3 4

a



Chọn (B) Khi quay quanh AC, hình vuông ABCD sinh ra khối tròn xoay có thể tích V bằng hai1

lần thể tích khối nón sinh ra bởi tam giác ABD nên

1

V    

còn đường tròn sinh ra mặt cầu có thể tích

2

4

V    

  Thể tích cần tìm bằng

1 2

V V

Câu 17 Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a và b Quay tam giác đó ( Cùng với phần

trong của nó ) quanh đường thẳng chứa cạnh huyền, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

A

2 2

2 2

3

a b

a b



 B

2 2





C

2 2 2





D  

2 2

3

a b

a b





Chọn (A)

Câu 18 Cho hình thang cân có đáy nhỏ bằng chiều cao và bằng a, đáy lớn bằng 2a Quay hình

thang đó ( cùng với phần trong của nó ) quanh trục đối xứng của hình thang, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

A

3

5

12

a



B

3 7 4

a



C

3 7 6

a



D

3 7 12

a

