bài tập tổng hợp hình học không gian 11

Có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mpABCD, nên góc giữa SB với mpABCD là góc... Từ đó suy ra AO là hình chiếu vuông góc của AD trên mpSAC, do đó góc giữa AC với... Và MN là đường

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG IV

Câu 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B

với AD2a, ABBC a Mặt phẳng (SAD) vuơng gĩc với mặt phẳng(ABCD) Hình chiếu vuơng gĩc của S trên AD là điểm H Các mặt phẳng(SAB) và (SCD) cùng hợp với đáy (ABCD) một gĩc bằng 600

a) Chứng minh rằng tam giác ACD vuơng và SH(ABCD)

hai mặt phẳng (SAD) và mp(ABCD) vuơng gĩc với

nhau theo giao tuyến AD, mà

D O

góc với nhau theo giao tuyến SG, trong mp(SHG) dựng HI  SG,I SG 

a) Chứng minh BDSAC

b) Tính khoảng cách từ S đếnABCD và tính góc của SC vớiABCD

c) Gọi DM là đường cao  SAC Chứng minh M là trung điểm của S

LỜI GIẢI

a) Vì ABCD là nữa lục giác đều nên nội tiếp trong

đường tròn tâm O đường kính AD

Có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên

mp(ABCD), do đó SC,(ABCD)   SCA  60 0

SAC

C B

Do đó d AC,SD d AC,(Dx,SD)  d A,(Dx,SD) 

Trong mp(ABCD) dựng AMDx Dx(SAM)

theo giao tuyến SM, trong mp(SAM) dựng AN  SM, N SM 

Câu 3: Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.Biết AD2a, ABBC a, SAB    ABCD ; SAD    ABCD vàSA  2a.a) Chứng minh:SAABCD

b) Tính góc giữa đường thẳng SB vàABCD

c) Gọi O là trung điểm AC Chứng minh :SBO  SAC

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD

b) Có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên

mp(ABCD), nên góc giữa SB với mp(ABCD) là góc

a) Chứng minh:tam giác SCD là tam giác vuông.

b) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳngSAC

Từ đó suy ra AO là hình chiếu vuông góc của

AD trên mp(SAC), do đó góc giữa AC với

G M J I O

O G F

c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳngABCD 

d) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳngSBC , với G là trọng tâm củatam giácSAD.

Trong  SAC vuông tại A có  SA a 2  0

O S

a) Chứng minh:CISAB ; BC SAC

Trong  SAO vuông tại A có  AO a 22 2  2

H O C

O C

Hình 2 x

O I

C B

e) Trong mp(ABCD) dựng Bx AC  AC mp SB, B x  

Từ đó có d AC,SB   d AC,(SB, B x)  d A,(SB, B x) 

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD cóSAABCD , đáy ABCD là hình thang

AB CD  vàAB  2CD, ABC  vuông tại C,SAACCB a 2 và E là trungđiểm AB

a) Chứng minh:SCD  SAD

b) Xác định và tính góc giữa SC vàSAB

c) Tính khoảng cách giữa AB và SC

LỜI GIẢI

 vuông cân tại C Có

CE là đường trung tuyến của  ABC  CE là đường

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với

ABBCCD a và AD  2a Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳngvuông góc vớiABCD H là trung điểm cạnh AD (cho biết các tam giácAHB,BHC,CHD là các tam giác đều)

a) Chứng minh: SH vuông góc vớiABCD

K G

D H

Trong  BHI vuông tại I, có  a 0 a 3

3

     vuông tại P

K

D H

A

S

I J

Hình 2

Q

I H

D A

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.

tam giác đều

a) Chứng minh: các tam giác SAD, SBC vuông

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng:SAD vàSBC

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

Theo câu a) cóBC(SAB) mà BC(SBC) (SAB)(SBC), hai mặt phẳngnày vuông góc với nhau theo giao tuyến SB, trong mp(SAB) dựng

cao của tam giác đều SAB)

I C H

B

S

J

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Biết

tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

a) Gọi H là trung điểm AB Chứng minh:SHABCD

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD

I M

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

a) Chứng minh 4 mặt bên của khối chóp là các tam giác vuông Tính khoảngcách từ A đến (SBC)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

LỜI GIẢI

a) Vì SA(ABCD) SAAB,SAAD SAB

và SAD là các tam giác vuông

Gọi E trung điểm của AB suy ra tứ giác ADCE

là hình vuông Xét  ABC có CE là đường trung

tuyến và CE 1AB ABC

2

   vuông tại C

Hình 2

I

C D

góc với nhau theo giao tuyến SC, trong mp(SAC) dựng AM  SC,M SC 

b) Theo câu a) có CD(SAD) mà

góc với nhau theo giao tuyến SD, trong mp(SAD) dựng

Dựng AIBx,IBx Bx(SAI), mà Bxmp SB,Sx  SB, B x (SAI),hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong mp(SAI) dựng

a) Chứng minh:BC  SA Tính SA theo a, biết SO  AB

b) Dựng OH  AB tại H Chứng minh:SOH  SAB

c) Tính khoảng cách từ O đến mp SAB  theo a

, mà AB(SAB) (SAB)(SOH)

c) Hai mặt phẳng (SAB) và (SOH) vuông góc với nhau theo giao tuyến SH, trongmp(SOH) dựng OISH,I SH  OI(SAB) Vậy d O,(SAB) OI

Trong  BHO vuông tại H có 0 a 3

G' G

K J

a) Chứng minh:SGG'  SAB

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SGG' vàABCD

Trong SAJ vuông tại A có  SA a  0

N M

O C

B

S

I

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 Gọi

M là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của đáy

a) Xác định hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳngSCD

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SMO và SCD

c) Tính khoảng cách giữa AB và SC

LỜI GIẢI

a) Vì O là tâm của đáy (ABCD) và S.ABCD là hình

chóp đều, nên SO(ABCD)

Gọi N trung điểm CD, dễ thấy 3 điểm M, O, N

thẳng hàng Và MN là đường trung bình của hình

mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SN, trong mp(SMN) dựng

b) Do (SMO) (SMN) , theo câu a) đã chứng minh được (SMN)(SCD) Suy ragóc giữa hai mặt phẳng này bằng 900

OI14

22

B C

C'

B'

A' H

a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA/ vàB C/ / vuông góc và tính khoảngcách giữa chúng

trọng tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh:ABM  SBC

b) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng SCG vàABC

G H M

b) Gọi H trung điểm của AB thì (SCG) (SCH)

Trong mp(ABC) dựng AI  CH,I CH   CH  SI

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AD2AB2a Tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuônggóc với mặt đáy (ABCD) Gọi H trung điểm của AD

M C H

D S

Hình 2

O E

M N

C D

a) Vì  SADđều nên SH  AD, hai mặt phẳng

(SAD) và (ABCD) vuông góc với nhau theo giao

b) Tương tự có AB(SAD) nên SA là hình

chiếu vuông góc của SB trên mp(SAD)

d) Mặt phẳng đáy (ABCD) được vẽ lại ở hình 2

Gọi N trung điểm của BC, gọi E  BD  HM,O  BD  HN

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.

Biết BCAB2AD2a; SH(ABC) với H trung điểm của AB; mặt bên SAB

là tam giác đều

a) Chứng minh các tam giác SAD, SBC vuông

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Hình 2

E

J D A

C

H B

Có hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau theo giao tuyến SB,dựng AGSB,G SB  AG(SBC) Vậy d A,(SBC)  AG Do tam giác SABđều nên AGa 3

Kết luận d A,(SBC)  a 3

d) Dựng HJCD, J CD  CD(SHJ)

góc với nhau theo giao tuyến SJ, dựng HK  SJ, K  SJ

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,

và G là trọng tâm của tam giác SAD

a) Chứng minh (SAO)(SBD); DESB

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ADB)

c) Gọi  là góc giữa mp(SBD) và (ABC) Tình tan 

Có 12 12 12 12 12 72 AE a 42

7

J I

Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

của SA và SB

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

vậy  SBC vuông tại B

Tương tự  SCD vuông tại D

G I

C

S

F

Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a,

a) Chứng minh AI(SBC)

b) Tính góc hợp bởi đường thẳng SA và mp(SBC)

c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAI)

d) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SB và AC Tính

LỜI GIẢI

a) Vì  ABC đều nên AI  BC và AISB AI(SBC)

b) Có SI là hình chiếu vuông góc của SA trên

góc với nhau theo giao tuyến SI, dựng

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,

tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi H làtrung điểm của AB và M trung điểm của AD

a) Chứng minh SH(ABCD) và (SAB)(SAD)

b) Tính góc giữa BD và mp(SAD)

c) Chứng minh CD(SHO) và khoảng cách từ O đến mp(SCD)

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD)

J

E M

O H

b) Hai mp(SAB) và mp(SAD) vuông góc với nhau theo giao tuyến SA Dựng

mp(SHO) dựng HISE,I SE  HI(SCD) Vậy d H,(SCD)  HI

Trong  SHE có 2 2 2 2 2 2

HI7

F M

B A

H

Trong  HBCvuông tại B có

2 2

2 2

a

a 54

10aa4

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB  2a, AD  3a Gọi H là điểm trên cạnh AD sao cho AHa,SH(ABCD)

và SH2a 2

a) Chứng minh CD(SAD) và tính góc giữa đường thẳng SC với mp(SAD).b) Gọi I trung điểm của CD Chứng minh ba mặt phẳng (SHB),(SHI),(ABCD)

vuông góc với nhau từng đôi một

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBI) và (ABCD)

d) AC và BH cắt nhau tại M Tính khoảng cách từ M đến mp(SBI)

b) Dễ dàng thấy SHB  ABCD và SHI  ABCD

Áp dụng Pitago cho các tam giác vuông  ABH, DIH, BCI  

Từ đó ta có BH2HI2BI2  BHI vuông tại H.

a) Chứng minh mặt phẳng (SIJ) vuông góc với mp(SAB)

b) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

L K

.c) Có (SIJ)(SCD) theo giao tuyến SJ, trong mp(SIJ) dựng IK  SJ,K  SJ

d) Trong mp(SCD) từ K dựng đường thẳng d AB CD   Trong mp(AB,d) dựng

mp(SCD), nên SA,(SCD)   ASL

N

G M O

B S

Câu 29: Cho hình chóp tam giác đếu S.ABC có độ dài cạnh bên và cạnh đáy

đếu bằng a Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M và N lần lượt là trungđiểm của AC và SB

a) Tính độ dài đường cao SG

b) Tính góc giữa cạnh bên SA và mp(ABC)

Hình 2

N S

Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, O là trung

điểm của AC, SA vuông góc với đáy (ABC), SAa 6 , ABBCa

a) Chứng minh (SAB)(SBC)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC), góc giữa SO và mặt phẳng(ABC)

A C

S

H F K

Có AO là hình chiếu vuông góc của SO trên mp(ABC), nên

Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết SA

vuông góc với đáy (ABC), SAa 2 ,AB a, BC 2a H là chân đường cao vẽthừ đỉnh B của tam giác ABC

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

K H

B A

a) Do SASBSC chân đường cao H của S trên

mp(ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC

 Vì  ABC vuông tại A nên tâm đường tròn

ngoại tiếp là trung điểm đoạn BC Suy ra H trung

điểm của BC

Trong mp(ABCD) dựng

K I H

B A

.b) Có AB CD mà CD(SCD) AB (SCD)

Do đó: d AB,SC  d AB,(SCD)  d B,(SCD) 

Trong mp(ABCD) dựng

  , hai mặt phẳng này vuông góc với

nhau theo giao tuyến SI, trong mp(SHI) dựng

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có AB = a, BC = 2a,

góc ABC = 60, SA vuông góc với đáy (ABCD) góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.

Kẻ Dx // AC Gọi EDxAB  ABDxtại E

góc với nhau theo giao tuyến SE

B

S

H F

a 3 2a

a 60°

x

D

Trong SAE có: 12 12 12 12 12 42

AF2

Câu 34: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và

AB = 2a , BC = a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm

bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng EF

và SK không phụ thuộc vào vị trí K Hãy tính khoảng cách này theo a

Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAD) không đổi nên khoảng cách giữa haiđường thẳng EF và SK cũng không đổi, nghĩa là khoảng cách này không phụ thuộcvào điểm K

Dựng OIAD I AD  , có: ADSO và ADOI

    : hai mặt phẳng này vuông góc với nhautheo giao tuyến SI

I

F E

O C

B

S

K H

Trong SOIvuông tại O có:

Câu 35: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đáy đều bằng a,

góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 600 Hình chiếu vuông góc của A trênmặt phẳng (A'B'C') là trung điểm H của cạnh B'C'

Tính khoảng cách hai đáy Tính góc giữa BC và AC' Tính góc giữa (ABB'A')

và mặt đáy

LỜI GIẢI

Tính khoảng cách hai đáy.

A'H là hình chiếu vuông góc của

AA' trên mặt phẳng (A'B'C'), nên góc

giữa AA' và mặt phẳng (A'B'C') là góc

Tính góc giữa (ABB'A') và mặt đáy.

Dựng C'D và HE cùng vuông góc với A'B' lần lượt tại D và E

Vì HE là đường trung bình của tam giác C'DB' nên HE 1C' D a 3

Câu 36: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B, C, D, A', B', D' đến đườngchéo AC' bằng nhau Tính khoảng cách đó

b) Chứng minh rằng B'D vuông góc với mặt phẳng (BA'C')

c) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD)

d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA'C') và (ACD')

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'

f) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'

LỜI GIẢI

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên

các tam giác sau là các tam giác vuông bằng

nhau và đều nhận AC' làm cạnh huyền:

ABC' , AA'C',

AD'C', ADC', AB'C'

Từ đó suy ra khoảng cách từ các điểm B, C,

D, A', B', D' đến đường chéo AC' bằng nhau

Gọi khoảng cách từ B đến AC' là h

Suy ra B'HBA'C' (1) , với H là tâm tam giác đều BA'C'

Tương tự ta có D.BA'C' là hình chóp đều  DHBA'C' (2)

Từ (1) và (2) suy ra B' D BA'C'

O'

O

Q P

I J

B' A'

C'

B

A D'

K

Ta có DCBCC' B'   DCBC' (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC'A' B'CD

d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA'C') và (ACD').

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai mặt đáy ABCD và A'B'C'D'

Trong mp(BDD'B'), gọi G1DB' BO'

Vậy: B'G1BA'C'd B', BA'C'   B'G1

Hoàn toàn tương tự: d D, ACD'   DG2

Dễ dàng chứng minh được: (ACD') // (BA'C')

Từ đó suy ra G1G1 là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD') và (BA'C').Mặt phẳng (BDD'B') được vẽ lại ở hình 2

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'

Có BC' và CD' lần lượt thuộc hai mặt phẳng (BA'C') và (ACD')

Theo câu d) có (BA'C') // (ACD') Vậy khoảng cách giữa BC' và CD' bằng

khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD') và (BA'C') và bằng a 3

f) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'

Gọi I và J lần lượt là tâm của hai hình vuông BCC'B' và ADD'A'

 PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC' và AB'.

Vậy: PQ là đoạn vuông góc chung của AB' và BC'

Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên

(SAD) là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi I, M, Flần lượt trung điểm của AD, AB, SB và K là giao điểm của BI và CM

a) Chứng minh mp(CMF) vuông góc với mp(SIB)

b) Tính BK và KF

c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA

Trong SIBvuông tại I:

  ( vì AE là đường cao SADđều )

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA

Gọi N trung điểm của CD

Ta có: AN // CM CM // mp SAN  (Vì AN  mp (SAN))

Nên d(CM,SA) d(CM,mp(SAN)) d(K,mp SAN)) Do K CM    

Gọi PANBI Ta có BIAN( vì AN // CM)

Vậy: ANmp SIP  Từ I kẻ IQSP IQ d I,mp SAN    

Thật vậy, vì IQ vuông góc với cả hai đường thẳng SP và AN cùng thuộc mp(SAN)

B M

N I