Lời giải Chọn C Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông là Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông là Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác là Câu 7123..
Trang 1Câu 463: [2H2-4.1-3] (MINH HỌA L2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5
được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của một hình vuông là tâm của hình
vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay
mô hình trên xung quanh trục
Lời giải Chọn C
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông là
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông là
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác là
Câu 7123 [2H2-4.1-3] (THPT THÁI PHIÊN HP -2017) Cho hình vuông có cạnh bằng
Gọi là trung điểm của thuộc cạnh thỏa mãn Gọi là thểtích khối tròn xoay khi quay đa giác quanh trục Tính
Trang 2A
M
C D
Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông quanh trục là
Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác quanh trục là
Câu 7144 [2H2-4.1-3] (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 -2017) Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường
tròn tâm và tâm Xét hình nón tròn xoay có đỉnh và đáy là đường tròn Xét hai mệnh đề sau:
(I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
(II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân tại
Hãy chọn câu đúng
A Cả 2 sai B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Cả 2 Câu đúng.
Lời giải Chọn A
Gọi là thiết diện qua trục của hình nón
là thiết diện qua trục của hình trụ
Xét (I): Nếu là tam giác đều, thì
⟹ nên chỉ là hình chữ nhật Vậy (I) sai.
Xét (II): Nếu là hình vuông, , thì: : Sai ( tam giác
vuông thì đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
Như vậy không phải là tam giác vuông cân tại : (II) sai.
Câu 463: [HH12.C2.4.D01.c] (MINH HỌA L2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh
bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của một hình vuông là
Trang 3tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay môhình trên xung quanh trục
Lời giải Chọn C
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông là
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông là
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác là
Câu 7123 [HH12.C2.4.D01.c] (THPT THÁI PHIÊN HP -2017) Cho hình vuông có cạnh
bằng Gọi là trung điểm của thuộc cạnh thỏa mãn Gọi làthể tích khối tròn xoay khi quay đa giác quanh trục Tính
Trang 4
A
M
C D
Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông quanh trục là
Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác quanh trục là
Câu 7144 [HH12.C2.4.D01.c] (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 -2017) Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2
đường tròn tâm và tâm Xét hình nón tròn xoay có đỉnh và đáy là đườngtròn Xét hai mệnh đề sau:
(I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
(II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân tại
Hãy chọn câu đúng
A Cả 2 sai B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Cả 2 Câu đúng.
Lời giải Chọn A
Gọi là thiết diện qua trục của hình nón
là thiết diện qua trục của hình trụ
Xét (I): Nếu là tam giác đều, thì
⟹ nên chỉ là hình chữ nhật Vậy (I) sai.
Xét (II): Nếu là hình vuông, , thì: : Sai ( tam giác vuông thì đường trung
tuyến bằng nửa cạnh huyền)
Như vậy không phải là tam giác vuông cân tại : (II) sai.
chồng lên nhau sao cho , lần lượt là trung điểm của , (như hình
Trang 5vẽ) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục, với là trung điểm
Lời giải Chọn D
Câu 42 [2H2-4.1-3] (THPT Kinh Môn - H i D ả ương - 2018 - BTN) ng - 2018 - BTN) Cho tam giác
vuông t i ại có , Quay tam giác này quanh tr c ụ , ta đ c m t hình ượ ột hình nón đ nh ỉnh G i ọ là di n tích toàn ph n c a hình nón đó và ện tích toàn phần của hình nón đó và ầ ủ là di n tích m t c u có ện tích toàn phần của hình nón đó và ặt cầu có ầ
đ ng kính ường kính Khi đó, t s ỉnh ố là:
Lời giải Chọn C
Trang 6Hình nón có : Gọi là cạnh của tam giác đều,
Suy ra cạnh hình vuông là .Diện tích toàn phần của hình nón
Câu 35: [2H2-4.1-3] (THPT Kim Liên - HN - L n 1 - 2017 - 2018 - BTN) ần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam giác có
, , Quay tam giác xung quanh c nh ại ta đ c kh iượ ố tròn xoay có th tích ể b ng:ằng:
Lời giải Chọn B
H
B
A
C
Trang 7Ta có
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Câu 49: [2H2-4.1-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình nón có thiết diện qua
trục là tam giác đều Gọi , lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đãcho Tính
Lời giải Chọn C
M I
A
S
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng
Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều
Gọi là trọng tâm tam giác đều , khi đó là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là .
Câu 47: [2H2-4.1-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - L n 2 - 2018 - BTN) ần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
vuông c nh ại G i ọ là đi m thu c c nh ể ột hình ại sao cho Đường kính ng
th ng qua ẳng qua vuông góc v i ớ c t ắt t i ại Th tích kh i tròn xoay t o thành khi ể ố ại quay t giác ứ giác quanh tr c ụ b ng ằng:
Trang 8A B C D
Lời giải Chọn B
I N
A N
Sau khi quay tứ giác quanh trục ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ)
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Câu 47: [2H2-4.1-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - L n 2 - 2018) ần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình vuông
c nh ại G i ọ là đi m thu c c nh ể ột hình ại sao cho Đường kính ng th ng qua ẳng qua vuông góc v i ớ c t ắt t i ại Th tích kh i tròn xoay t o thành khi quay t giác ể ố ại ứ giác quanh tr c ụ b ng ằng:
Lời giải Chọn B
Trang 9I N
A N
Sau khi quay tứ giác quanh trục ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ)
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Câu 42: [2H24.13] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu Đồng Tháp 2018
-BTN] Ông An đặt cầu cót hàng cho một hìnht cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng
cao để làm loại i chai nước có kích thước phần không gian bên trong củachai như hình vẽ, đáy dưới có bán kính , bán kính cổ chai ,
, , Tính thể tích phần không gian bên trongcủa chai nước
Lời giải Chọn A
Trang 10Thể tích khố i trụ bán kính đáy là chiều cao là:
.Thể tích khố i nón cụt có chiều cao là:
.Thể tích khố i trụ bán kính đáy là chiều cao ( khố i cổ chai) là:
.Thể tích phần không gian bên trong của chai nước là:
Câu 37: [2H2-4.1-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón có
chiều cao Tính chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo
Lời giải Chọn B
r
r' O'
O S
Câu 40: [2H2-4.1-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón có
bán kính đáy , chiều cao và một hình trụ nội tiếp hình nón
Trang 11(hình trụ có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hìnhnón) Tính thể tích của hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất?
Lời giải Chọn A
Diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất khi
Câu 48 [2H2-4.1-3] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Có một khối cầu bằng gỗ bán kính
Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng đối xứng nhau qua tâmkhối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu Người thợ đã khoan bỏ đi phần hình trụ cótrục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông góc với trục hình trụ là một hìnhtròn có bán kính bằng Tính thể tích V của phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến số thập
phân thứ ba)
Trang 12Lời giải Chọn D
Thế tích khối cẩu ban đầu là
Hướng dẫn giải Chọn C
Số lần múc để đầy thùng nước là lần
Câu 15: [2H2-4.1-3] Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba
quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần khônggian còn trống trong hộp chiếm:
Lời giải Chọn B
Gọi đường kính quả bóng bàn là Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là
Thể tích phần không gian còn trống:
Trang 13Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:
Câu 16: [2H2-4.1-3] Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả
bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó Gọi , lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
Lời giải Chọn A
r1=
r2 O' O
Gọi là bán kính quả bóng, là bán kính chiếc chén, là chiều cao chiếc chén
Thể tích của quả bóng là
và thể tích của chén nước là
Câu 17: [2H2-4.1-3] Cho hình thang cân có đáy nhỏ , đáy lớn , cạnh bên
quay quanh đường thẳng Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
Lời giải Chọn C
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
tích khối trụ có bán kính , chiều
cao trừ đi thể tích hai khối nón bằng
nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).
Trang 14Câu 18: [2H2-4.1-3] Cho tam giác đều cạnh và hình vuông nội tiếp trong tam giác
thuộc thuộc , thuộc Gọi là phần mặt phẳng chứa cácđiểm thuộc tam giác nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông Thể tích củavật thể tròn xoay khi quay quanh trục là đường thẳng qua vuông góc với là
Lời giải Chọn A
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục là đường thẳng bằng hiệu thể tíchkhối nón khi quay tam giác và thể tích khối trụ khi quay hình vuông quanh trục
là đường thẳng
Gọi độ dài cạnh hình vuông là Khi đó:
Câu 19: [2H2-4.1-3] Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là , đường kính đáy là , lượng
nước ban đầu trong cốc cao Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là
Trang 15Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu ? (Kết quảlàm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số).
Lời giải Chọn C
Thể tích của cốc nước sau khi thả 5 viên bi :
Gọi là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc
Câu 20: [2H2-4.1-3] Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có
dạng hình nón Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảyhết thì sẽ làm đầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng thể tíchkem đóng băng ban đầu Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế Tính tỉ
số
Lời giải Chọn: A
+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu)
+ Thể tích khối nón (phần ốc quế)
khối tròn xoay sinh ra khi hình thang quay quanh
Trang 16Lời giải Chọn B
Khối nón đỉnh , trục có chiều cao , bán kính đáy nên có thể tích
.Khối chóp cụt có trục , hai đáy có bán kính và nên thể tích khối chóp cụt là
Khối chóp đỉnh , trục có thể tích
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:
Câu 22: [2H2-4.1-3] Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước Tấm tôn thứ nhất
được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là mộthình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộptheo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có chiều cao còn tấm tôn thứ haiđược chế tạo thành một hình trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao Gọi , theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ Tính tỉ số
Lời giải Chọn B
Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh
Hình trụ có đáy là hình tròn có chu vi là bán kính hình tròn đáy là
Trang 17Vậy
Câu 44 [2H2-4.1-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Một hình thang cân
có đáy nhỏ , đáy lớn , cạnh bên Cho hình thang quay quanh ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Lời giải Chọn C
Gọi , là hai điểm sao cho là hình chữ nhật và , , , thẳng hàng
Gọi là thể tích cần tìm, là thể tích khối trụ có được khi cho hình chữ nhật quay quanh , là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác quay quanh , là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác quay quanh
Ta giả sử bán kính của mặt cầu là , khi đó bán kính trụ cũng là và chiều cao trụ
Trang 18Ta có:
Câu 36: [2H2-4.1-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hình nón có bán kính đáy
bằng , chiều cao bằng Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh củahình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón Tính bán kính mặt cầu đó
Lời giải Chọn D.
Đường phân giác của góc cắt tại là tâm mặt cầu cần tìm, bán kính
Câu 37: [2H24.13] (THPT Chu Văn An Hà Nội Lần 1 2017 2018 BTN) n 1 2017 2018
-BTN) Bại n An có một hìnht cố c giấy hình nón có đường kính ng kính đáy là và đột hình dàiđường kính ng sinh là Bại n dự định đựng một hìnht viên kẹo hình cầu sao cho toànbột hình viên kẹo nằng:m trong cố c (không phần nào của viên kẹo cao hơn miện tích toàn phần của hình nón đó và ng
cố c) Hỏi bại n An có thể đựng được viên kẹo có đường kính ng kính lớn nhất bằng:ngbao nhiêu?
S
B A
Lời giải
Chọn D
Trang 19Gọi là mặt cầu cót phẳng qua ng đi qua đỉnh nh và vuông góc với mặt cầu cót phẳng qua ng đáy của hìnhnón Khi đó cắt t hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện tích toàn phần của hình nón đó và n là đường kính ng tròn lớn.Viên kẹo có đường kính ng kính lớn nhất khi và chỉnh khi đường kính ng tròn lớn là đường kính ng trònnột hìnhi tiếp tam giác
Nửa chu vi tam giác là
Diện tích toàn phần của hình nón đó và n tích tam giác là
Bán kính đường kính ng tròn nột hìnhi tiếp tam giác : , do đó đường kính ng kinh
Câu 272 [2H2-4.1-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình thang cân có đáy
nhỏ , đáy lớn , cạnh bên quay quanh đường thẳng Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
Lời giải Chọn C
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
tích khối trụ có bán kính , chiều
cao trừ đi thể tích hai khối nón bằng
nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).
Câu 286 [2H2-4.1-3] Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu
Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất
Lời giải Chọn A
Trang 20Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O, R) thay đổi về đạt giá trị lớn nhất
Ta có:
Vậy
Câu 287 [2H2-4.1-3] Cho hình cầu tâm , bán kính Hình cầu ngoại tiếp một hình trụ tròn
xoay có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu lại nội tiếp trong một nón trònxoay có góc ở đỉnh bằng Tính tỉ số thể tích của hình trụ và hình nón
Lời giải Chọn A
Trang 21Bài toán quy về hình nón tâm ngoại tiếp hình vuông và nội tiếp tam giác đều
Ta thấy, tâm của hình tròn cũng chính là tâm của hình vuông đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều
Như vậy, đường cao của tam giác là
Trong tam giác (vuông tại H, ) Ta có:
Giả sử là chiều cao hình trụ (xem hình vẽ)
Trang 22Bán kính của khối trụ là Thể tích khối trụ là:
Câu 290 [2H2-4.1-3] Cho hình nón có chiều cao Tính chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất
nội tiếp trong hình nón theo
Lời giải Chọn B
Gọi theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm là đỉnh của hình nón,
là tâm của đáy hình nón, là tâm của đáy hình trụ và khác là một đường sinh của hìnhnón, là điểm chung của với khối trụ Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Ta có