THỂ TÍCH KHỐI NÓN

[2H2-1.3-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng .a Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là.. Tính

Trang 1

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 1.3 Khối nón: Tính thể tích.

MỨC ĐỘ 3

Câu 1 [2H2-1.3-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Tam giác ABC đều cạnh 2a , đường cao AH Thể

tích của khối nón tròn xoay sinh bởi miền tam giác ABC khi quay quanh AH là

A

3

3 6

a

3 3

a

3 4

a

 . D a3 3

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên AH a 3

Thể tích khối nón tròn xoay sinh bởi miền tam giác ABC khi quay quanh AH là:

3 2

3

a

V  a a  .

Câu 2 [2H2-1.3-3] [THPT Lê Hồng Phong] Một hình nón có thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua trục

của hình nón là một tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng 2a 2 Tính thể tích V của khối

nón

3

a

2 2

3

a

2 9

a

Chọn C.

Ta có tam giác SMN cân tại S Giả thiết tam giác, suy ra tam giác SMN vuông cân tại S

Thiết diện qua trục nên tâm O đường tròn đáy thuộc cạnh huyền MN

Vậy hình nón có bán kính đáy 1 2

2

R MN a , đường cao 1 2

2

h MN a

Thể tích khối nón 2 2 2 3

a

V R h  .

Câu 3 [2H2-1.3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Cho khối nón đỉnh O, trục OI

Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích của hai phần là:

A 1

1

8.

Chọn A.

Chọn D.

Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI 1 2

3



Trang 2

Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N Khi đó

mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính

2

 R

r , có

chiều

cao là

2

1



 � ��

� ��

V Phần dưới là khối nón cụt có thể tích

   R OI  R OI  R OI

2

1

2 2

1 24

24



R OI V

R OI

Câu 4 [2H2-1.3-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông

cân có cạnh góc vuông bằng a Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là.

A 1 2 2

2

a





và

3 2 4

a

2 2

a

 và 3

2 4

a

 .

C 1 2 2

2

a





và

3 2 12

a

2

a

 và 2 3

12

a

 .

Chọn C.

Ta có đường kính đáy là 2 2

2

a

a �R , chiều cao hình nón là 2 1 2

a

a  a 

2 1

tp xq d

a

Ta có

2

3

Câu 5 [2H2-1.3-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Trong không gian, cho hình thang vuông ABCD

(vuông tại A D, ) có AB3,DC AD1. Tính thể tích V của khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục DC

3

V  .

Chọn C.

Gọi V V V lần lượt là thể tích của hình vuông 1, ,2 3 ABCD, hình chữ nhật CEBF , hình tam giác

CFB khi quanh quanh trục CD

Thể tích khối V là 1 khối trụ: 1 2

V S hR h

Trang 3

V S hR h  Thể tích khối V là 1 khối chóp: 2 2

3

V  S h R h 

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD là:

V V    V V      

Câu 6 [2H2-1.3-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Cho hình thang ABCD có AB CD� và

ABAD BC a  , CD2a Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay hình thang

ABCD quanh trục là đường thẳng AB

A. 5 3

2 a B. 3 2 2 3

3 a

4 a D.  a3

Chọn C.

Ta có ABCD là hình thang cân.

Gọi V là thể tích khối trụ bán kính 1 1 3

2

a

r  , chiều cao h12a Khi đó

3 2

1 1 1

3 2

a

V r h   . Gọi V là thể tích khối trụ bán kính 2 2 3

2

a

r  , chiều cao 2

2

a

h  Khi đó

3 2

2 2 2

8

a

V r h  .

Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tìm Khi đó

3

5 2

4

a

V V  V   .

Câu 7 [2H2-1.3-3] [Cụm 1 HCM] Cho tam giác ABC vuông tại A , AB cm 6 , AC  cm Gọi 8 V 1

là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V là thể tích khối 2

nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC Khi đó, tỉ số 1

2

V

V bằng?

A 9

4

16

3

4.

Chọn B.

Trang 4

Khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB có bán kính đáy bằng r1  và8 chiều cao bằng h1 Khối nón tạo thành khi quay tam giác 6 ABC quanh cạnh AC có bán

kính đáy bằng r2  và chiều cao bằng 6 h2  nên ta có:8

1 1 1

2 2 2

.8 6 8 4 6 8 6 3

Câu 8 [2H2-1.3-3] [THPT CHUYÊN VINH] Cho nửa đường tròn đường kính AB2R và điểm C

thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt  CAB� và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên

AB Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục

AB đạt giá trị lớn nhất.

A.   �60 B.   �30 C. arctan 1

2 . D.   �45

Chọn C.

2

cos 2 cos sin 2 cos sin ; cos 2 cos

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là.

V  AH CH  R  

t   t �V  R t  t R t t  t � R ��   ��

Vậy V lớn nhất khi 2

3

t  khi arctan 1

2

Câu 9 [2H2-1.3-3] [TT Tân Hồng Phong] Cho hình thang ABCD có � � 90 A B   �, AB BC a  ,

2

AD a Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh CD

A 7 2 3

12

a

12

a

6

a

6

a

 .

Chọn C.

Trang 5

Khối nón đỉnh D , trục CD có CD a 2, bán kính đáy CA a 2

Nên khối nón có thể tích

3 2

1

a

V  CD CA   .

Khối chóp cụt có trục 2

2

a

CH  , hai đáy có bán kính CA a 2 và 2

2

a

HB nên thể tích

2

a

V  CH CA HB CA HB   .

Khối chóp đỉnh C , trục CH có thể tích 2 3

3

a

V  CH HB   . Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

3

1 2 3

7 2 6

a

V V V   V 

Câu 10 [2H2-1.3-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông

cân có cạnh góc vuông bằng a Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là.

A 1 2 2

2

a





và

3 2 4

a

2 2

a

 và 3

2 4

a

 .

C 1 2 2

2

a





và 2 3 12

a

2

a

 và 2 3

12

a

 .

Chọn C.

Ta có đường kính đáy là 2 2

2

a

a �R , chiều cao hình nón là 2 1 2

a

a  a 

tp xq d

a

Ta có

2

3

Câu 11 [2H2-1.3-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Trong không gian, cho hình thang vuông ABCD

(vuông tại A D, ) có AB3,DC AD1. Tính thể tích V của khối tròn xoay nhận được khi

quay hình thang ABCD xung quanh trục DC

3

V  .

B

Trang 6

Chọn C.

Gọi V V V lần lượt là thể tích của hình vuông 1, ,2 3 ABCD, hình chữ nhật CEBF , hình tam giác

CFB khi quanh quanh trục CD

V S hR h Thể tích khối V là 1 khối trụ: 2 2

V S hR h  Thể tích khối V là 1 khối chóp: 2 2

3

V  S h R h 

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD là:

V V    V V      

Câu 12 [2H2-1.3-3] [BTN 165] Hình chữ nhật ABCD cóAB6,AD4 Gọi M N P Q lần lượt là , , ,

trung điểm bốn cạnh AB , BC CD DA Cho hình chữ nhật , , ABCD quay quanh QN , tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng:

A V 8 B V 2 C V 6 D V 4

Chọn A.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD , suy ra MNPQ là hình thoi tâm O

2

OM OP AD Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là ,Q N và chung đáy.

* Bán kính đáy OM 2

* Chiều cao hình nón OQ ON  3

Vậy thể tích khối tròn xoay 2 1 2 8

3

V  ��OM ON�� 

Câu 13 [2H2-1.3-3] [BTN 161] Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên

và mặt đáy bằng 60� Tính diện tích xung quanh S xq và thể tích V của hình nón có đỉnh là S

và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S ABCD .

2 ;

6

xq

a

;

12

xq

a

S a V  .

;

12

xq

a

S a V 

2 ;

12

xq

a

S  a V 

Chọn C.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Do S ABCD là hình chóp đều nên SOACBD

Trang 7

Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp ABCD  

Do đó, �SBO � Kết hợp 60 2

2

a

r OB  ta suy ra :

.tan 60 3

2

2 cos 60 2.cos 60

Diện tích xung quanh của mặt nón: 2 2

2

xq

a

S r l a a Thể tích hình nón:

2

Câu 14 [2H2-1.3-3] [Cụm 1 HCM] Cho tam giác ABC vuông tại A , AB cm 6 , AC  cm Gọi 8 V 1

là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V là thể tích khối 2

nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC Khi đó, tỉ số 1

2

V

V bằng?

A 9

4

16

3

4.

Chọn B.

Khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB có bán kính đáy bằng r1  và8 chiều cao bằng h1 Khối nón tạo thành khi quay tam giác 6 ABC quanh cạnh AC có bán

kính đáy bằng r2  và chiều cao bằng 6 h2  nên ta có:8

Trang 8

2 2

1 1 1

2 2 2

.8 6 8 4 6 8 6 3

Câu 15 [2H2-1.3-3] [BTN 174] Người ta cắt một vật thể ( )H có hình nón với bán kính đáy 2 mét và

chiều cao 3 mét thành hai phần: (xem hình vẽ bên dưới)

* Phần thứ nhất  H là một khối hình nón có bán kính đáy r mét.1

* phần thứ hai  H là một khối nón cụt có bán kính đáy lớn 2 mét, bán kính đáy nhỏ r mét.2

Xác định r để cho hai phần  H và 1  H có thể tích bằng nhau:2

A r 34 B r316 C r39 D r3 6

Chọn A.

Gọi h là chiều cao của hình nón  H , ta có 1 2

3

r

h Ta cần có:

 

  1

2 3 2

2 3

3 2

H

V

Câu 16 [2H2-1.3-3] [BTN 166] Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng o

90 Thể tích của khối nón xác định bởi hình nón trên:

A 2 h 3 B

3 6 3

h

3

h

3

h

 .

Chọn C.

Do góc ở đỉnh của hình nón bằng 90 nên thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân 0

Suy ra bán kính đáy của hình nón là R h

Thể tích khối nón là :

3 2

1 R

h

V   h 

Câu 17 [2H2-1.3-3] [THPT Quoc Gia 2017] Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại , A AB a

và �ACB300 Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh

AC

A V a 3 B V  3a 3 C

3 3 3



3 3 9



Chọn C.

Đường cao hình nón là : 3

t an30

 AB 

Trang 9

Thể tích hình nón :

3



Câu 18 [2H2-1.3-3] [ THPT Chuyên Phan Bội Châu] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm

của tam giác đều BCD . M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB Quay hình thang BCMN.

quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

A 7 3

16

6 2

a

96

6

a

36

6

a

88

6 2

a

Chọn D.

K I

N M

O

C

A

H

.

Gọi các điểm như hình vẽ Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình thang BCMN quanh trục AO

Ta có : IMN OBC, là hai tam giác cân tại I , O

và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với

trục AO nên khi quay hình thang BCMN quanh.

đường thẳng AO ta được khối tròn xoay bị giới hạn bởi hai hình nón cụt gồm hình nón cụt được tạo ra khi quay tứ giác IMBO quanh trục AO và hình nón cụt tạo ra khi quay tứ giác IKHO quanh trục AO.

Lại có :

2

3

2

3

6 3 6

BO

BO a IM

OH

Vπ BO AO IM AI π OH AO IK AI

OH a IK

a

AO

πa

a AI

�

Trang 10

Câu 19 [2H2-1.3-3] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình)] Một khối nón có diện tích toàn phần bằng

10 và diện tích xung quanh bằng 6 Tính thể tích V của khối nón đó

3

V   . C.V 12. D. V 4 .

Chọn B.

Gọi khối nón có chiều cao là h , bán kính đáy là r , đường sinh là l

Ta có: S xq rl6 �rl6.

tp x q đ

S S S rlr   �rl r  .

Suy ra: r2 4�r2�l3

Khi đó: 2 2

5

h l r 

.4 5

V  r h    .

Câu 20 [2H2-1.3-3] [THPT Ngô Quyền] Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang

ABCD quanh trục OO�, biết OO�80, O D�24, O C�12, OA12, OB6

A V 20160 B V 45000 C V 43200 D V 21600

Chọn A.

Hướng dẫn giải.

Trang 11

Công thức tính thể tích khối nón cụt  2 2 

1 2 1 2

1 3

V  h R R R R Trong đó h là độ dài đường cao, R R lần lượt là bán kính hai đáy.1; 2

Gọi V là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang 1 AOO D� quanh trục OO�

Gọi V là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang 2 BOO C� quanh trục OO�

Khi đó V V V  1 2

1

3

V  OO O D� � OA O D OA�  

2

1

3

V  OO O C� � OB O C OB�  

Vậy V V V  1 2 26880 6720 20160 .

Câu 21 [2H2-1.3-3] [BTN 176] Cho tam giác ABC vuông tại A với AC3 ,a AB4a Cho tam giác

này quay quanh đường thẳng BC, thể tích vật thể tròn xoay sinh ra là :

A.

2 84 15

a

15

a

27

a

25

a

 .

Chọn B.

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC khi quay quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC

sinh ra hai khối nón chung đáy,bán kính đáy là R  AH và chiều cao lần lượt là HB và HC

Ta có: 1 2 12 1 2 12 12 252

AH  AB  AC  a  a  a Suy ra 2 252

144

AH

a

Thể tích khối tròn xoay sinh ra là :

1 2

V V V   AH HC  AH HB HC   a  .

HB HC BC  5a

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	2,24 MB